Анализ цепи с последовательным соединением

Содержание:

  1. Схема цепи с последовательным соединением элементов
  2. Векторная диаграмма
  3. Треугольник напряжений цепи с последовательным соединением элементов
  4. Пример задачи с решением

Схема цепи с последовательным соединением элементов

В общем случае любое реальное устройство, содержащееся в электрической цепи, может быть представлено в схеме замещения тремя идеальными элементами. Поэтому целесообразно при анализе цепей синусоидального тока знать соотношение тока и напряжения для участка цепи с тремя последовательно соединенными элементами: резистором, идеальным индуктивным и идеальным емкостным элементами.

Схема замещения такой неразветвленной цепи показана на рис. 23.

Анализ цепи с последовательным соединением

Рис. 23. Схема цепи с последовательным соединением элементов R, L, С.

Под действием синусоидального напряжения в цепи возникает синусоидальный ток Анализ цепи с последовательным соединением. Необходимо определить соотношение между синусоидальными током и напряжением этой цепи по величине и по фазе.

Синусоидальный ток с амплитудой Анализ цепи с последовательным соединением и начальной фазой Анализ цепи с последовательным соединением, изображается в виде:

Анализ цепи с последовательным соединением

или в комплексной форме:

Анализ цепи с последовательным соединением

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по теоретическим основам электротехники (ТОЭ):

Основы электротехники: формулы и лекции и примеры заданий с решением

По второму закону Кирхгофа для контура рассматриваемой цепи полное напряжение цепи соотносится с напряжениями на отдельных элементах в виде:

Анализ цепи с последовательным соединением

Как показано ранее (51), (71), (90), напряжение на каждом из элементов соотносятся с током в соответствии с законом Ома:

Анализ цепи с последовательным соединением

Ток во всех элементах при их последовательном соединении одни и тот же. Тогда выражение (98) может быть представлено в виде:

Анализ цепи с последовательным соединением

или Анализ цепи с последовательным соединением

Здесь Анализ цепи с последовательным соединением

- комплексное полное сопротивление цепи с тремя последовательно соединенными элементами.

Таким образом выражение (103) определяет соотношение между комплексным током и комплексным напряжением также в форме закона Ома: комплексный ток в цепи с тремя последовательно соединенными элементами прямо пропорционален комплексному напряжению и обратно пропорционален комплексному полному сопротивлению этой цепи.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Анализ цепи с катушкой индуктивности

Анализ цепи с конденсатором

Мощность цепи синусоидального тока

Коэффициент мощности и его экономическое значение

Модуль и аргумент комплексного полного сопротивления определяются параметрами отдельных элементов.

Исходя из (104), модуль комплексного полного сопротивления

Анализ цепи с последовательным соединением

где Анализ цепи с последовательным соединением - реактивное сопротивление цепи.

Аргумент комплексного полного сопротивления Анализ цепи с последовательным соединением

В соответствии с законом Ома в комплексном виде для этой цепи (103),

Анализ цепи с последовательным соединением

Исходя из полученного выражения (107), действующее значение тока

Анализ цепи с последовательным соединением

начальная фаза тока

Анализ цепи с последовательным соединением или Анализ цепи с последовательным соединением

Как видно, действующие значения тока и напряжения в этой цепи также определяется полным сопротивлением Z в форме закона Ома. По фазе напряжение опережает ток на угол Анализ цепи с последовательным соединением. При этом полное сопротивление и разность фаз определяются соотношением сопротивлений трех элементов в соответствии выражениями (105) и (106).

Тот же результат может быть получен посредством наглядного графического изображения тока и напряжений на векторной диаграмме.

Векторная диаграмма

Векторная диаграмма для рассматриваемой цепи показана на рис. 24.

Здесь начальная фаза тока принята произвольно равной нулю Анализ цепи с последовательным соединением. При этом вектор тока направлен вдоль вещественной оси комплексной плоскости.

Анализ цепи с последовательным соединением

Рис. 24. Векторная диаграмма цепи с последовательным соединением элементов L, R, С.

Вектор напряжения индуктивного элемента повернут относительно вектора тока на Анализ цепи с последовательным соединением в сторону опережения в соответствии со свойствами этого элемента (66). Вектор напряжения резистора направлен вдоль вектора тока в соответствии с характеристиками резистора (47). Вектор напряжения емкостного элемента повернут на угол Анализ цепи с последовательным соединением относительно вектора тока в сторону отставания в соответствии со свойствами емкостного элемента (85). Длина векторов напряжений определяется их действующими значениями по закону Ома для каждого из элементов в соответствии с (67), (46), (83).

Соотношение напряжений по второму закону Кирхгофа (98) на векторной диаграмме соответствует векторному сложению. При этом вектор полного напряжения цепи на рис. 24 определяется суммой трех векторов напряжений на отдельных элементах:

Анализ цепи с последовательным соединением

Из построенной векторной диаграммы возможен анализ соотношения тока и полного напряжения цепи. Для этого выделим на векторной диаграмме прямоугольный треугольник ОАВ (рис. 25).

Треугольник напряжений цепи с последовательным соединением элементов

Анализ цепи с последовательным соединением

Рис. 25.

Треугольник напряжений цепи с последовательным соединением элементов. Обозначить ОАВ

Нижний катет треугольника пропорционален напряжению резистора, которое определяется его активным сопротивлением, и его называют активной составляющей напряжения Анализ цепи с последовательным соединением. Правый катет треугольника пропорционален разности напряжений двух реактивных элементов: индуктивного и емкостного, и его называют реактивной составляющей напряжения:

Анализ цепи с последовательным соединением

Гипотенуза треугольника пропорциональна величине полного напряжения цепи U. Угол Анализ цепи с последовательным соединением определяет разность фаз всей цепи.

Этот треугольник называют треугольником напряжений и используют для наглядного представления соотношения между отдельными составляющими напряжений при анализе цепи с последовательным соединением R,L,C -элементов.

Поделим стороны треугольника напряжений на величину тока Анализ цепи с последовательным соединением. При этом получается подобный треугольник (рис. 26) со сторонами:

Анализ цепи с последовательным соединением

Рис. 26. Треугольник сопротивлений цепи с последовательным соединением элементов.

Анализ цепи с последовательным соединением - активное сопротивление резистора;

Анализ цепи с последовательным соединением - реактивное сопротивление, определяемое разностью индуктивного и емкостного сопротивлений;

Анализ цепи с последовательным соединением- полное сопротивление цепи, определяющее соотношение по величине тока и полного напряжения.

Угол Анализ цепи с последовательным соединением определяет разность фаз всей цепи.

Этот треугольник называют треугольником сопротивлений и используют для наглядного представления соотношения между сопротивлениями отдельных элементов и полным сопротивлением цепи с последовательным соединением R,L,C - элементов.

По теореме Пифагора для треугольника сопротивлений модуль полного сопротивления

Анализ цепи с последовательным соединением

Он определяет соотношение по величине между током и полным напряжением.

Из того же треугольника разность фаз для всей цепи

Анализ цепи с последовательным соединением

Она описывает соотношение по фазе между током и полным напряжением и определяет аргумент комплексного полного сопротивления.

Таким образом, комплексное полное сопротивление может быть записано в виде:

Анализ цепи с последовательным соединением

Оно определяет соотношение между током и напряжением по закону Ома в комплексном виде:

Анализ цепи с последовательным соединением

При этом модуль комплексного полного сопротивления Z определяет соотношение по величине действующих значений напряжения и тока: Анализ цепи с последовательным соединением, а аргумент комплексного сопротивления определяет соотношение синусоидальных напряжения и тока по фазе: Анализ цепи с последовательным соединением

Полученные при графическом анализе выражения (112) - (115) соответствуют записанным ранее (105) - (107).

Эти выражения справедливы для цепи, содержащей в общем случае три идеальных элемента, соединенные последовательно. В частности, реальное устройство может быть представлено эквивалентной схемой с двумя или одним идеальным элементом. В этом случае полученное выражение также верно. Следует лишь формально принять сопротивление отсутствующего элемента равным нулю.

Что такое теоретические основы электротехники (ТОЭ) вы узнаете по этой ссылке:

Пример задачи с решением

Для цепи на рис. 21 определить напряжение источника, используя понятие полного комплексного сопротивления.

Рассматривая эту цепь как частный случай цепи с тремя идеальными элементами, можно принять емкостное сопротивление равным нулю Анализ цепи с последовательным соединением. При этом комплексное полное сопротивление

Анализ цепи с последовательным соединением

Напряжение всего участка по закону Ома в комплексном виде:

Анализ цепи с последовательным соединением

Аналогичным образом можно определять комплексное полное сопротивление участка цепи, содержащего два других идеальных элемента, или один из них.

Используя графические изображения в форме треугольников напряжений и сопротивлений, можно записать выражения, полезные при расчете и анализе такой электрической цепи:

Анализ цепи с последовательным соединением

Для анализа энергетических соотношений в цепи с последовательным соединением R, L, С - элементов определим характер изменения мгновенной мощности в этой цепи:

Анализ цепи с последовательным соединением

Или, используя действующие значения тока и напряжения,

Анализ цепи с последовательным соединением

Как видно из полученного выражения (121), мощность в рассматриваемой цепи изменяется во времени по гармоническому закону с двойной частотой. При этом колебания мощности происходят вокруг среднего значения, определяемого первым слагаемым в правой части этого выражения.

Среднее значение мощности определяет активную мощность. Тогда активная мощность

Анализ цепи с последовательным соединением или

Анализ цепи с последовательным соединением Как видно, активная мощность определяется мощностью резистора. Произведение действующих значений тока и полного напряжения цепи называют полной мощностью Анализ цепи с последовательным соединением

Анализ цепи с последовательным соединением

Единица полной мощности - ВА, кВА, МВА.

Исходя из (123 ) и (124) соотношение активной и полной мощностей:

Анализ цепи с последовательным соединением, или Анализ цепи с последовательным соединением

Активная мощность определяет необратимое преобразование электрической энергии в другие виды энергии, т.с. полезную работу, совершаемую током в электрической цепи. В общем случае активная мощность является частью общего значения тока и определяется произведением текущего значения тока на общее напряжение. Этот процент активной мощности определяется по уравнению (125). Отношение активной мощности к полной называется коэффициентом мощности. Принимая во внимание выражение (125), коэффициент мощности обозначают Анализ цепи с последовательным соединением

Коэффициент мощности можно определить соотношением сопротивлений отдельных элементов, например, исходя из треугольника сопротивлений (рис. 26):

Анализ цепи с последовательным соединением

Графически соотношение активной и полной мощности отображается треугольником мощностей. Для построения треугольника мощностей умножим треугольник напряжений на действующее значение тока. При этом образуется подобный прямоугольный треугольник (рис. 27).

Анализ цепи с последовательным соединением Рис. 27. Треугольник мощностей цепи с последовательным соединением элементов.

Нижний катет треугольника пропорционален активной мощности:

Анализ цепи с последовательным соединением

Правый катет треугольника пропорционален величине:

Анализ цепи с последовательным соединением

Это реактивная мощность всей цепи.

Гипотенуза треугольника оказывается равной полной мощности:

Анализ цепи с последовательным соединением

Из треугольника мощностей:

Анализ цепи с последовательным соединением

Анализ цепи с последовательным соединением или Анализ цепи с последовательным соединением

Что соответствует полученным ранее выражениям.

При выполнении расчетов в комплексном виде комплексное значение полной мощности определяется произведением комплексного напряжения на сопряженный комплексный ток:

Анализ цепи с последовательным соединением

Здесь Анализ цепи с последовательным соединением сопряженный комплексный ток. Тогда:

Анализ цепи с последовательным соединением

В рассматриваемой цепи с последовательным соединением R, L, С - элементов при разном соотношении сопротивлений элементов Анализ цепи с последовательным соединением создается разный режим работы. При этом характер цепи определяется разностью фаз (/>, значения которой могут быть положительными или отрицательными в диапазоне от Анализ цепи с последовательным соединением

Ниже рассматриваются режимы работы цепи при разных соотношениях индуктивного и емкостного сопротивлений.

Показанная на рис. 24 векторная диаграмма построена в предположении, что индуктивное сопротивление больше емкостного Анализ цепи с последовательным соединением. Реактивное сопротивление всей цепи положительно:

Анализ цепи с последовательным соединением

При этом в соответствии с законом Ома напряжение на индуктивном элементе больше емкостного:

Анализ цепи с последовательным соединением

Разность фаз всей цепи оказывается положительной, т.е. полное напряжение опережает по фазе ток на угол Анализ цепи с последовательным соединением, больший нуля:

Анализ цепи с последовательным соединением

Треугольник сопротивлений и треугольник мощностей для этого режима имеют вид, показанный на рис. 26,27.

В этом режиме цепь характеризуется активной мощностью Р и положительной реактивной мощностью Анализ цепи с последовательным соединением Положительное значение реактивной мощности свидетельствует о том, что индуктивная мощность больше емкостной, т.е. индуктивный элемент преобладает над емкостным элементом.

В этом режиме характер цепи называют активно-индуктивным.

При сопротивлении индуктивного элемента, меньшим емкостного, Анализ цепи с последовательным соединением < Анализ цепи с последовательным соединением реактивное сопротивление всей цепи отрицательно:

Анализ цепи с последовательным соединением

При этом в соответствии с законом Ома напряжение на индуктивном элементе меньше емкостного:

Анализ цепи с последовательным соединением

Векторная диаграмма для этого режима показана на рис. 28.

Анализ цепи с последовательным соединением Рис. 28. Векторная диаграмма неразветвленной цепи при Анализ цепи с последовательным соединением

Разность фаз всей цепи оказывается отрицательной, т.е. полное напряжение отстает по фазе от тока:

Анализ цепи с последовательным соединением

Треугольник сопротивлений и треугольник мощностей для этого режима показаны на рис. 29.

Анализ цепи с последовательным соединением Рис. 29. Треугольник сопротивлений и треугольник мощностей при Анализ цепи с последовательным соединением

В этом режиме цепь характеризуется активной мощностью Р и отрицательной реактивной мощностьюАнализ цепи с последовательным соединением Отрицательное значение реактивной мощности свидетельствует о том, что индуктивная мощность меньше емкостной, т.е. емкостный элемент преобладает над индуктивным элементом.

В этом режиме характер цепи называют активно-емкостным.

Особый режим работы цепи возникает при равенстве индуктивного и емкостного сопротивлений:

Анализ цепи с последовательным соединением

Реактивное сопротивление всей цепи оказывается равным нулю:

Анализ цепи с последовательным соединением

При этом в соответствии с законом Ома напряжения на индуктивном и емкостном элементах равны между собой:

Анализ цепи с последовательным соединением

а реактивное напряжение равно нулю:

Анализ цепи с последовательным соединением

Векторная диаграмма для этого режима показана на рис. 30.

Анализ цепи с последовательным соединением Рис. 30. Векторная диаграмма неразветвленной цепи при Анализ цепи с последовательным соединением

Разность фаз всей цепи оказывается равной нулю, т.е. полное напряжение совпадает по фазе с током:

Анализ цепи с последовательным соединением

Треугольник сопротивлений и треугольник мощностей для этого режима вырождаются в отрезок, поскольку один катет становится равным нулю.

В этом режиме цепь характеризуется активной мощностью Р . Реактивная мощность равна нулю Анализ цепи с последовательным соединением. При этом активная мощность равна полной мощности:

Анализ цепи с последовательным соединением

а коэффициент мощности равен

Анализ цепи с последовательным соединением

Отсутствие реактивной мощности при наличии в цепи индуктивного и емкостного элементов свидетельствует о том, что реактивная индуктивная мощность и реактивная емкостная мощность взаимно компенсируются. При этом цепь имеет активный характер, поскольку обладает лишь активной мощностью.

Явление, возникающее в неразветвленной цепи с элементами L, R, С, когда полное напряжение и ток совпадают по фазе, называется резонансом напряжений.

Условие резонанса напряжений:

Анализ цепи с последовательным соединением

или

Анализ цепи с последовательным соединением

Создать резонанс напряжений в цепи можно изменяя параметры L или С при неизменной частоте, или изменяя частоту Анализ цепи с последовательным соединением при заданных параметрах L и С.

Рассмотрим случай, когда £ и С неизменны при изменении частоты. На рис. 31 показаны зависимости сопротивлений Анализ цепи с последовательным соединением и тока цепи Анализ цепи с последовательным соединением от частоты Анализ цепи с последовательным соединением

Анализ цепи с последовательным соединением Рис. 31. Зависимости Анализ цепи с последовательным соединением от частоты.

В точке Анализ цепи с последовательным соединением. При этом полное сопротивление минимально и определяется лишь активным сопротивлением резистора:

Анализ цепи с последовательным соединением

Эта точка определяет резонансную частоту Анализ цепи с последовательным соединением

Ток цепи в этом режиме наибольший:

Анализ цепи с последовательным соединением

Активная мощность определяется величиной резонансного тока:

Анализ цепи с последовательным соединением

Аналогичным образом возникает режим резонанс напряжений при неизменной частоте и изменении индуктивности индуктивного элемента, либо емкости емкостного элемента. При установлении равенства индуктивного и емкостного сопротивлений возникает резонанс напряжений. При этом полное сопротивление цепи минимально, а ток максимальный.

Признаком резонанса напряжений в цепи является максимальное значение тока и активной мощности

Резонанс напряжений используется в радиотехнических цепях при построении схем резонансных фильтров. При этом свойства цепи оказываются различными для сигналов разных частот.

В электротехнических установках частота неизменна. Здесь возникновение резонанса напряжений обусловлено изменением параметров элементов. При Анализ цепи с последовательным соединением при резонансе напряжений возможны перенапряжения на отдельных участках цепи.