Анализ цепей с индуктивно связанными элементами

Анализ цепей с индуктивно связанными элементами

Электрические цепи могут содержать элементы, индуктивно связанные друг с другом. Такие элементы могут связывать цепи, электрически (гальванически) разделенные друг от друга.

В том случае, когда изменение тока в одном из элементов цепи приводит к появлению ЭДС в другом элементе цепи, говорят, что эти два элемента индуктивно связаны, а возникающую ЭДС называют ЭДС взаимной индукции. Степень индуктивной связи элементов характеризуется коэффициентом связи

Анализ цепей с индуктивно связанными элементами

где М - взаимная индуктивность элементов цепи (размерность - Гн); Анализ цепей с индуктивно связанными элементами -собственные индуктивности этих элементов.

Анализ цепей с индуктивно связанными элементами
Следует отметить, что всегда к<1.

Пусть имеем две соосные катушки в общем случае с ферромагнитным сердечником (см. рис. 1). На рис. 1 схематично показана картина магнитного поля при наличии тока i1 в первой катушке (направление силовых линий магнитного потока определяется по правилу правого буравчика). Витки первой катушки сцеплены с магнитным потоком самоиндукции Ф11, а витки второй катушки - с магнитным потоком взаимной индукции Ф21, который отличается от Ф11 (Ф21< Ф11) за счет потоков рассеяния.

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по теоретическим основам электротехники (ТОЭ):

Основы электротехники: формулы и лекции и примеры заданий с решением

По определению

Анализ цепей с индуктивно связанными элементами

Анализ цепей с индуктивно связанными элементами
Если теперь наоборот пропустить ток Анализ цепей с индуктивно связанными элементами по второй катушке, то соответственно получим

Анализ цепей с индуктивно связанными элементами

Анализ цепей с индуктивно связанными элементами
При этом

Анализ цепей с индуктивно связанными элементами
Следует отметить, что коэффициент связи мог бы быть равным 1, если бы Анализ цепей с индуктивно связанными элементами, то есть когда весь поток, создаваемый одной катушкой, полностью пронизывал бы витки другой катушки. Практически даже различные витки одной и той же катушки пронизываются разными потоками. Поэтому с учетом рассеяния Анализ цепей с индуктивно связанными элементами . В этой связи

Анализ цепей с индуктивно связанными элементами
Рассмотрим цепь переменного тока на рис. 2, в которую последовательно включены две катушки индуктивности Анализ цепей с индуктивно связанными элементами и Анализ цепей с индуктивно связанными элементами , индуктивно связанные друг с другом, и резистор R.

Анализ цепей с индуктивно связанными элементами
При изменении тока i в цепи в катушках индуцируются ЭДС само- и взаимоиндукции. При этом ЭДС взаимной индукции должна по закону Ленца иметь такое направление, чтобы препятствовать изменению потока взаимной индукции.

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Резонансные явления в цепях синусоидального тока

Векторные и топографические диаграммы. Преобразование линейных электрических цепей

Особенности составления матричных уравнений при наличии индуктивных связей и ветвей с идеальными источниками

Методы расчета, основанные на свойствах линейных цепей

Тогда, если в цепи протекает гармонически изменяющийся ток Анализ цепей с индуктивно связанными элементами, то в первой катушке индуцируется ЭДС

Анализ цепей с индуктивно связанными элементами

а во второй -

Анализ цепей с индуктивно связанными элементами
Катушки можно включить так, что ЭДС самоиндукции будет суммироваться с ЭДС взаимоиндукции; при переключении одной из катушек ЭДС взаимоиндукции будет вычитаться из ЭДС самоиндукции. Один из зажимов каждой катушки на схеме помечают, например точкой или звездочкой. Этот символ означает, например, что когда ток первой катушки, протекающей из определенной точки, увеличивается, ЭДС взаимной индукции, действующая на точку с другого конца, индуцируется ко второй катушке. Различают согласные и противокольцевые включения. При согласном включении токи в катушках одинаково ориентированы по отношению к их одноименным зажимам. При этом ЭДС само- и взаимоиндукции складываются - случай, показанный на рис. 2. При встречном включении катушек токи ориентированы относительно одноименных зажимов различно. В этом случае ЭДС само- и взаимоиндукции вычитаются. Таким образом, тип включения катушек (согласное или встречное) определяются совместно способом намотки катушек и направлении токов в них.

Перейдя к комплексной форме записи (7) и (8), получим

Анализ цепей с индуктивно связанными элементами

Анализ цепей с индуктивно связанными элементами

где Анализ цепей с индуктивно связанными элементами - сопротивление взаимоиндукции (Ом).

Для определения тока в цепи на рис. 2 запишем

Анализ цепей с индуктивно связанными элементами

откуда

Анализ цепей с индуктивно связанными элементами

Что такое теоретические основы электротехники (ТОЭ) вы узнаете по этой ссылке:

Воздушный (линейный) трансформатор

Одним из важнейших элементов электрических цепей является трансформатор, служащий для преобразования величин токов и напряжений. В простейшем случае трансформатор состоит из двух гальванически несвязанных и неподвижных катушек без ферромагнитного сердечника. Такой трансформатор называется воздушным. Он является линейным. Наличие ферромагнитного сердечника обусловило бы нелинейные свойства трансформатора.

Анализ цепей с индуктивно связанными элементами
На рис. 3 представлена схема замещения трансформатора, первичная обмотка которого включена на напряжение U1, а от вторичной обмотки получает питание приемник с сопротивлением Анализ цепей с индуктивно связанными элементами.

В трансформаторе энергия из первичной цепи передается во вторичную посредством магнитного поля. Если в первичной цепи под действием напряжения источника возникает переменный ток, то во вторичной цепи за счет магнитной связи катушек индуцируется ЭДС, вызывающая протекание тока в нагрузке.

По второму закону Кирхгофа для первичной и вторичной цепей трансформатора можно записать

Анализ цепей с индуктивно связанными элементами
Таким образом, уравнения воздушного трансформатора имеют вид:

Анализ цепей с индуктивно связанными элементами

Анализ цепей с индуктивно связанными элементами

где Анализ цепей с индуктивно связанными элементами - активные сопротивления обмоток; Анализ цепей с индуктивно связанными элементами

Если уравнения (11) и (12) решить относительно Анализ цепей с индуктивно связанными элементами , предварительно подставив в (12) Анализ цепей с индуктивно связанными элементами и обозначив Анализ цепей с индуктивно связанными элементами, то получим

Анализ цепей с индуктивно связанными элементами
где Анализ цепей с индуктивно связанными элементами - вносимые активное и реактивное

сопротивления.

Таким образом, согласно (13) воздушный трансформатор со стороны первичной обмотки может рассматриваться как двухполюсник с сопротивлением Анализ цепей с индуктивно связанными элементами.

Анализ цепей с индуктивно связанными элементами

Баланс мощностей в цепях с индуктивно связанными элементами

Пусть имеем схему по рис. 4, где А - некоторый активный четырехполюсник. Для данной цепи можно записать

Анализ цепей с индуктивно связанными элементами
Обозначим токи Анализ цепей с индуктивно связанными элементами как: Анализ цепей с индуктивно связанными элементами

Тогда для комплексов полных мощностей первой и второй ветвей соответственно можно записать:

Анализ цепей с индуктивно связанными элементами
Рассмотрим в этих уравнениях члены со взаимной индуктивностью:

Анализ цепей с индуктивно связанными элементами

Анализ цепей с индуктивно связанными элементами

где Анализ цепей с индуктивно связанными элементами

Из (14) и (15) вытекает, что

Анализ цепей с индуктивно связанными элементами

Анализ цепей с индуктивно связанными элементами
Соотношение (16) показывает, что активная мощность передается от первой катушки ко второй. При этом суммарная реактивная мощность, обусловленная взаимной индукцией, равна нулю, т.к. Анализ цепей с индуктивно связанными элементами. Это означает, что на общий баланс активной мощности цепи индуктивно связанные элементы не влияют.

Суммарная реактивная мощность, обусловленная взаимоиндукцией, равна

Анализ цепей с индуктивно связанными элементами

Таким образом, общее уравнение баланса мощностей с учетом индуктивно связанных элементов имеет вид

Анализ цепей с индуктивно связанными элементами

Анализ цепей с индуктивно связанными элементами

где знак “+” ставится при согласном включении катушек, а Анализ цепей с индуктивно связанными элементами - при встречном.
Расчет разветвленных цепей при наличии взаимной индуктивности может быть осуществлен путем составления уравнений по законам Кирхгофа или методом контурных токов. Непосредственное применение метода узловых потенциалов для расчета таких цепей неприемлемо, поскольку в этом случае ток в ветви зависит также от токов других ветвей, которые наводят ЭДС взаимной индукции.

В качестве примера расчета цепей с индуктивно связанными элементами составим контурные уравнения для цепи на рис. 5:

Анализ цепей с индуктивно связанными элементами
Чтобы обойти указанное выше ограничение в отношении применения метода узловых потенциалов для расчета рассматриваемых схем можно использовать эквивалентные преобразования, которые иллюстрируют схемы на рис.

6, где цепь на рис. 6,б эквивалентна цепи на рис. 6,а. При этом верхние знаки ставятся при согласном включении катушек, а нижние - при встречном.