Алгебраические операции с комплексными числами

Алгебраические операции с комплексными числами

Действия над комплексными числами, заданными в алгебраической форме

Алгебраическая форма комплексного числа

Как отмечалось ранее, комплексное число можно задавать в виде Алгебраические операции с комплексными числами или Алгебраические операции с комплексными числами. Последующее изучение комплексных чисел показывает, что комплексные числа можно задавать и другими способами.

Комплексное число, заданное в виде Алгебраические операции с комплексными числами, называется комплексным числом в алгебраической форме.

Рассмотрим действия над комплексными числами, заданными в алгебраической форме.

По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по теоретическим основам электротехники (ТОЭ):

Основы электротехники: формулы и лекции и примеры заданий с решением

Сложение комплексных чисел

Определение. Суммой двух комплексных чисел называется такое комплексное число, действительная часть которого равняется сумме действительных частей слагаемых, а мнимая часть - сумме мнимых частей слагаемых, то есть

Алгебраические операции с комплексными числами

Следовательно, чтобы сложить два комплексных числа, нужно сложить их действительные части, что дает действительную часть суммы, и сложить мнимые части, что дает мнимую часть суммы.

Сумма комплексно-сопряжённых чисел всегда является действительным числом.

Алгебраические операции с комплексными числами
Следовательно,

Алгебраические операции с комплексными числами

Свойства суммы комплексных чисел

1. Сложение комплексных чисел является коммутативным, то есть для любых комплексных чисел Алгебраические операции с комплексными числами справедливо равенство

Алгебраические операции с комплексными числами

2. Сложение комплексных чисел является ассоциативным, то есть для любых комплексных чисел Алгебраические операции с комплексными числами справедливо равенство

Алгебраические операции с комплексными числами

Возможно вам будут полезны данные страницы:

Линейные электрические цепи однофазного синусоидального переменного тока

Расчет электрических цепей переменного тока

Анализ электрического состояния цепи переменного тока

Анализ цепи с резистивным элементом

Вычитание комплексных чисел

Определение. Разностью двух комплексных чисел называется такое число, которое в сумме с вычитаемым дает уменьшаемое.

Вычитание комплексных чисел является всегда возможным.

Теорема Для любых комплексных чисел Алгебраические операции с комплексными числами всегда существует разность Алгебраические операции с комплексными числами, определяемая однозначно.

Доказательство

Докажем, что существует такое число Алгебраические операции с комплексными числами, которое удовлетворяет условию Алгебраические операции с комплексными числами, то есть что Алгебраические операции с комплексными числами или Алгебраические операции с комплексными числами Алгебраические операции с комплексными числами. На основании равенства комплексных чисел приходим к системе уравнений

Алгебраические операции с комплексными числами

Эта система уравнений имеет решение, и к тому же лишь одно, а именно:

Алгебраические операции с комплексными числами

что и нужно было доказать.

Следовательно, разность двух комплексных чисел - это такое комплексное число, действительная и мнимая части которого равняются соответственно разности действительных и мнимых частей уменьшаемого и вычитаемого, то есть

Алгебраические операции с комплексными числами

Разность комплексно-сопряжённых чисел всегда является мнимым числом.

Алгебраические операции с комплексными числами

или

Алгебраические операции с комплексными числами

Умножение комплексных чисел

Определение. Произведением двух комплексных чисел Алгебраические операции с комплексными числами и Алгебраические операции с комплексными числами называется комплексное число, определяемое формулой

Алгебраические операции с комплексными числами

Практически, чтобы умножить комплексные числа, следует умножить их по правилу умножения многочленов, заменив при этом Алгебраические операции с комплексными числами на -1, и привести подобные члены.

Алгебраические операции с комплексными числами

Произведение комплексно-сопряжённых чисел всегда является действительным числом.

Алгебраические операции с комплексными числами

Следовательно,

Алгебраические операции с комплексными числами

или

Алгебраические операции с комплексными числами

Свойства произведения комплексных чисел

1. Умножение комплексных чисел является коммутативным, то есть для любых комплексных чисел Алгебраические операции с комплексными числами справедливо равенство

Алгебраические операции с комплексными числами

2. Умножение комплексных чисел является ассоциативным, то есть для любых комплексных чисел Алгебраические операции с комплексными числами справедливо равенство

Алгебраические операции с комплексными числами

3. Умножение комплексных чисел является дистрибутивным относительно сложения, то есть для любых комплексных чисел Алгебраические операции с комплексными числами Алгебраические операции с комплексными числамисправедливо равенство

Алгебраические операции с комплексными числами

Деление комплексных чисел

Определение. Частным от деления комплексных чисел называется такое комплексное число, которое в произведении с делителем дает делимое, если делитель отличается от нуля.

Докажем, что всегда существует частное от деления двух комплексных чисел, если знаменатель отличается от нуля.

Теорема Частное Алгебраические операции с комплексными числами определяется однозначно для любых комплексных чисел Алгебраические операции с комплексными числами если Алгебраические операции с комплексными числами

Доказательство.

Пусть Алгебраические операции с комплексными числами. Докажем, что существуют такие числа х и у, которые удовлетворяют уравнению Алгебраические операции с комплексными числами Выполнив умножение, получим:

Алгебраические операции с комплексными числами

Исходя из равенства комплексных чисел, имеем систему уравнений

Алгебраические операции с комплексными числами

Решив эту систему уравнений, находим

Алгебраические операции с комплексными числами

Следовательно, система уравнений имеет решение, и к тому же единственное. Тогда

Алгебраические операции с комплексными числами

ЗАМЕЧАНИЕ. Деление комплексных чисел в алгебраической форме удобно выполнять следующим образом. Числитель и знаменатель следует умножить на число, комплексно-сопряженное знаменателю, после чего в числителе и знаменателе выполнить умножение комплексных чисел по правилу умножения многочленов. Полученный результат записать в алгебраической форме.

Что такое теоретические основы электротехники (ТОЭ) вы узнаете по этой ссылке:

Примеры с решением

Пример задачи с решением 2.1

Выполнить действия:

Алгебраические операции с комплексными числами

Решение:

Использовав формулы (2.1), (2.2), (2.5), (2.6), получим:

Алгебраические операции с комплексными числами

Ответ: Алгебраические операции с комплексными числами

Пример задачи с решением 2.2

Найти значение выражения Алгебраические операции с комплексными числами

Решение:

Воспользовавшись правилом умножения многочленов, имеем

Алгебраические операции с комплексными числами

Ответ: Алгебраические операции с комплексными числами

Пример задачи с решением 2.3

Выполнить действия:

Алгебраические операции с комплексными числами

Решение:

Воспользуемся правилом умножения многочленов:

Алгебраические операции с комплексными числами

4) По формуле (2.8) имеем:

Алгебраические операции с комплексными числами

Ответ: Алгебраические операции с комплексными числами

Пример задачи с решением 2.4

Выполнить действия:

Алгебраические операции с комплексными числами

Решение:

Деление комплексных чисел можно выполнять по формуле (2.13), но проще это сделать, умножив числитель и знаменатель на число, комплексносопряжённое знаменателю.

Алгебраические операции с комплексными числами
Ответ: Алгебраические операции с комплексными числами