Алгебраические операции с комплексными числами
Содержание:
- Действия над комплексными числами, заданными в алгебраической форме
- Вычитание комплексных чисел
- Умножение комплексных чисел
- Деление комплексных чисел
- Примеры с решением
- Пример задачи с решением 2.1
- Пример задачи с решением 2.2
- Пример задачи с решением 2.3
- Пример задачи с решением 2.4
Действия над комплексными числами, заданными в алгебраической форме
Алгебраическая форма комплексного числа
Как отмечалось ранее, комплексное число можно задавать в виде или . Последующее изучение комплексных чисел показывает, что комплексные числа можно задавать и другими способами.
Комплексное число, заданное в виде , называется комплексным числом в алгебраической форме.
Рассмотрим действия над комплексными числами, заданными в алгебраической форме.
По этой ссылке вы найдёте полный курс лекций по теоретическим основам электротехники (ТОЭ):
Основы электротехники: формулы и лекции и примеры заданий с решением |
Сложение комплексных чисел
Определение. Суммой двух комплексных чисел называется такое комплексное число, действительная часть которого равняется сумме действительных частей слагаемых, а мнимая часть - сумме мнимых частей слагаемых, то есть
Следовательно, чтобы сложить два комплексных числа, нужно сложить их действительные части, что дает действительную часть суммы, и сложить мнимые части, что дает мнимую часть суммы.
Сумма комплексно-сопряжённых чисел всегда является действительным числом.
Следовательно,
Свойства суммы комплексных чисел
1. Сложение комплексных чисел является коммутативным, то есть для любых комплексных чисел справедливо равенство
2. Сложение комплексных чисел является ассоциативным, то есть для любых комплексных чисел справедливо равенство
Возможно вам будут полезны данные страницы:
Линейные электрические цепи однофазного синусоидального переменного тока |
|
|
|
Вычитание комплексных чисел
Определение. Разностью двух комплексных чисел называется такое число, которое в сумме с вычитаемым дает уменьшаемое.
Вычитание комплексных чисел является всегда возможным.
Теорема Для любых комплексных чисел всегда существует разность , определяемая однозначно.
Доказательство
Докажем, что существует такое число , которое удовлетворяет условию , то есть что или . На основании равенства комплексных чисел приходим к системе уравнений
Эта система уравнений имеет решение, и к тому же лишь одно, а именно:
что и нужно было доказать.
Следовательно, разность двух комплексных чисел - это такое комплексное число, действительная и мнимая части которого равняются соответственно разности действительных и мнимых частей уменьшаемого и вычитаемого, то есть
Разность комплексно-сопряжённых чисел всегда является мнимым числом.
или
Умножение комплексных чисел
Определение. Произведением двух комплексных чисел и называется комплексное число, определяемое формулой
Практически, чтобы умножить комплексные числа, следует умножить их по правилу умножения многочленов, заменив при этом на -1, и привести подобные члены.
Произведение комплексно-сопряжённых чисел всегда является действительным числом.
Следовательно,
или
Свойства произведения комплексных чисел
1. Умножение комплексных чисел является коммутативным, то есть для любых комплексных чисел справедливо равенство
2. Умножение комплексных чисел является ассоциативным, то есть для любых комплексных чисел справедливо равенство
3. Умножение комплексных чисел является дистрибутивным относительно сложения, то есть для любых комплексных чисел справедливо равенство
Деление комплексных чисел
Определение. Частным от деления комплексных чисел называется такое комплексное число, которое в произведении с делителем дает делимое, если делитель отличается от нуля.
Докажем, что всегда существует частное от деления двух комплексных чисел, если знаменатель отличается от нуля.
Теорема Частное определяется однозначно для любых комплексных чисел если
Доказательство.
Пусть . Докажем, что существуют такие числа х и у, которые удовлетворяют уравнению Выполнив умножение, получим:
Исходя из равенства комплексных чисел, имеем систему уравнений
Решив эту систему уравнений, находим
Следовательно, система уравнений имеет решение, и к тому же единственное. Тогда
ЗАМЕЧАНИЕ. Деление комплексных чисел в алгебраической форме удобно выполнять следующим образом. Числитель и знаменатель следует умножить на число, комплексно-сопряженное знаменателю, после чего в числителе и знаменателе выполнить умножение комплексных чисел по правилу умножения многочленов. Полученный результат записать в алгебраической форме.
Что такое теоретические основы электротехники (ТОЭ) вы узнаете по этой ссылке:
Примеры с решением
Пример задачи с решением 2.1
Выполнить действия:
Решение:
Использовав формулы (2.1), (2.2), (2.5), (2.6), получим:
Ответ:
Пример задачи с решением 2.2
Найти значение выражения
Решение:
Воспользовавшись правилом умножения многочленов, имеем
Ответ:
Пример задачи с решением 2.3
Выполнить действия:
Решение:
Воспользуемся правилом умножения многочленов:
4) По формуле (2.8) имеем:
Ответ:
Пример задачи с решением 2.4
Выполнить действия:
Решение:
Деление комплексных чисел можно выполнять по формуле (2.13), но проще это сделать, умножив числитель и знаменатель на число, комплексносопряжённое знаменателю.
Ответ: