РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ ПО ФИЗИКЕ ОБЩИЕ МЕТОДЫ ДЛЯ УНИВЕРСИТЕТОВ БЕЛИКОВ Б.С.
Решение задач по физике. Общие методы. Беликов Б.С.



____________________________________________________________________________

Преобразование скоростей 

Главное различие между принципом относительности Эйнштейна и принципом относительности Ньютона состоит в том, что законы преобразований, связывающие координаты и времена для движущихся относительно друг друга систем, различны. Правильный закон преобразований — это преобразование ЛоренцаЭти уравнения соответствуют относительно простому случаю, когда наблюдатели движутся относительно друг друга вдоль общей оси. Конечно, возможны и другие направления движения, но самое общее преобразование Лоренца довольно сложно: в нем перемешаны вместе все четыре величины. Мы будем по-прежнему пользоваться этой упрощенной формой, поскольку она отражает все основные черты теории относительности. Решение задач по физике. Общие методы. Беликов Б.С.Давайте теперь рассмотрим некоторые другие следствия из этого преобразования. Во-первых, интересно решить эти уравнения относительно Это система четырех линейных уравнений с четырьмя неизвестными, и ее можно решить, выразив через Результат весьма интересен, так как он указывает нам, как «покоящаяся» система координат выглядит с точки зрения «движущейся». Конечно, поскольку движения относительны и происходят с постоянной скоростью, наблюдатель, который «движется», может сказать, если захочет, что на самом деле движется другой, а сам он неподвижен. А так как он движется в противоположном направлении, то преобразование должно быть тем же самым, но с противоположным знаком у скорости. Именно это мы обнаруживаем в результате прямого решения системы. Если бы это было иначе, у нас было бы серьезное основание для беспокойства!Далее мы займемся интересным вопросом о сложении скоростей в теории относительности. Напомним: одна из первоначальных загадок состояла в том, что свет движется со скоростью 300000 км/с во всех системах, даже если они находятся в относительном движении. Это — частный случай более общей задачи, которую можно показать на следующем примере. Предположим, что некоторый предмет внутри космического корабля движется вперед со скоростью 200000 км/с и сам корабль движется со скоростью 200000 км/с. С какой скоростью движется предмет внутри корабля с точки зрения внешнего наблюдателя? Мы могли бы захотеть сказать — 400000 км/с, что больше скорости света. Это довольно неприятно, поскольку не должно быть движения быстрее света! Решение задач по физике. Общие методы. Беликов Б.С.Общая постановка задачи такова. Пусть предмет внутри корабля с точки зрения наблюдателя, находящегося внутри, движется со скоростью, а сам корабль по отношению к Земле имеет скорость и. Мы хотим знать, с какой скоростью vx этот предмет движется с точки зрения наблюдателя на Земле. Это, конечно, по-прежнему частный случай, потому что движение происходит в направлении оси. Могут быть также преобразования для скоростей в направлении оси у или в любом другом; в случае необходимости их можно вывести. Внутри корабля скорость равна vx., это означает, что перемещение равно скорости, умноженной на время: Решение задач по физике. Общие методы. Беликов Б.С.Теперь нам осталось вычислить, каковы у тела значения с точки зрения внешнего наблюдателя, если связаны соотношением. Поэтому мы просто подставляем Но здесь выражено через. Чтобы получить ту скорость, которую воспринимает внешний наблюдатель, мы должны разделить его расстояние на его время, а не на время другого человека! Поэтому нам надо также вычислить время с его позиции Теперь находим отношение После сокращения квадратных корней получаемЭто и есть искомый закон: результирующая скорость не равна алгебраической сумме этих скоростей (мы знаем, что этого и не должно быть, иначе у нас возникают неприятности), а скорректирована» знаменателемДавайте посмотрим теперь, что происходит. Предположим, что мы движемся внутри космического корабля со скоростью, равной половине скорости света, и сам корабль движется со скоростью, равной половине скорости света. Тогда и равно и оравно но в знаменателе делится на, поэтомуПо теории относительности выходит, что «половина» и «половина» составляют не «единицу». Конечно, небольшие скорости могут вполне складываться привычным способом, потому что пока скорости малы по сравнению со скоростью света, мы можем забыть о знаменателе но все становится иным и более интересным при больших скоростях.Давайте рассмотрим предельный случай. Просто из любопытства предположим, что человек внутри космического корабля наблюдает, как распространяется свет. Другими словами, и при этом космический корабль движется. Как это будет выглядеть для наблюдателя на Земле? Ответ будет таков:Следовательно, если что-либо движется со скоростью света внутри корабля, с точки зрения человека на Земле оно также будет двигаться со скоростью света! Это хорошо, ибо именно это утверждает теория относительности Эйнштейна.Конечно, возможны случаи, когда движение тела происходит не по направлению равномерного движения корабля. Например, объект внутри корабля может двигаться «вверх» со скоростью vy. относительно корабля, а сам корабль движется «горизонтально». Проделаем то же самое (только используя у вместо) и получимтак что если Таким образом, боковая скорость тела уже. Решение задач по физике. Общие методы. Беликов Б.С.Мы получили этот результат, пользуясь формулами преобразований, но мы могли также получить его непосредственно из принципа относительности по следующей причине всегда полезно посмотреть, можем ли мы понять причину. Мы уже обсуждали, как могут работать движущиеся часы; свет кажется распространяющимся под углом со скоростью с в неподвижной системе, в то время как он просто движется вертикально с той же скоростью в движущейся системе. Мы обнаружили, что вертикальная компонента скорости в неподвижной системе меньше скорости света, так как имеет множитель теперь предположим, что мы заставляем некоторую материальную частицу двигаться в тех же часах взад и вперед, но со скоростью, равной скорости света где целое число Тогда за то время, когда частица совершит один полет туда и обратно, свет проделает это ровно раз. Решение задач по физике. Общие методы. Беликов Б.С. То есть каждый «щелчок» частицы совпадет с каждым «тиканьем» световых часов. Этот факт должен иметь место и тогда, когда вся система движется, потому что физическое явление совпадения остается совпадением в любой системе. Следовательно, поскольку скорость су меньше скорости света, скорость vy частицы должна быть меньше соответствующей скорости на тот же множитель с квадратным корнем! Именно поэтому квадратный корень появляется в любой вертикальной скорости.