Скалярное произведение векторов. 

Продолжим изучение свойств векторов. Легко видеть, что длина шага в пространстве одинакова в любой системе координат. То есть, если конкретный шаг г представлен координатами, г в одной системе и координатами в другой, то расстояние должно быть одинаковым в обеих системах. ИмеемТеперь мы хотим удостовериться, что эти величины равны. Чтобы не связываться с квадратными корнями, будем сравнивать квадраты расстояний, то есть, мы должны определить, выполняется ли равенствоПодставив в это уравнение определенные соотношением значения убедимся, что так оно и есть. Значит, мы имеем еще одно равенство, справедливое для любых систем координат.Курс физики. Трофимова Т.И. Появилось нечто новое. Мы можем построить новую величину, функцию, называемую скалярной функцией, — величину, не имеющую направления, но одинаковую в обеих системах. Мы можем получать из вектора скаляр. Надо найти общее правило для этого построения. Ясно, что это правило мы только что нашли: надо сложить квадраты компонентов. Давайте теперь обозначим наше новообразование через. Это не вектор, а скаляр; это число, одинаковое в любой системе координат, и оно определено как сумма квадратов трех компонентов вектора:Курс физики. Трофимова Т.И. Вы можете спросить: «Но в какой системе координат?» Но это число не зависит от системы координат, поэтому ответ одинаков в любой системе координат. Так что теперь мы имеем новый видКурс физики. Трофимова Т.И. величины, новый инвариант или скаляр, полученный из «возведенного в квадрат» вектора. Если теперь определим следующую величину для двух векторов.то мы найдем, что эта величина совпадает в системах со штрихом и без штриха. Чтобы доказать это, заметим, что верно для. Поэтому сумма квадратов будет инвариантом:Если раскрыть скобки и привести подобные члены, то останутся только перекрестные произведения как раз такого вида, как в, а также суммы квадратов компонентов. Из инвариантности следует, что выражение тоже инвариантно. Что дает нам это произведение «с точкой»? Есть ли случаи в физике, когда скалярное произведение нам необходимо? Да, оно нужно нам постоянно. Например, в главе 4 кинетической энергией была названа величина но если объект движется в пространстве, нужно использовать сумму квадратов скоростей по направлениям осей так что согласно векторному анализу формула кинетической энергии имеет видЭнергия не имеет направления. Импульс же имеет направление, это — вектор, равный массе, умноженной на вектор скорости.Курс физики. Трофимова Т.И. Еще один пример скалярного произведения — работа, производимая силой при перемещении предмета из одного места в другое. Мы пока не давали определения работы, но она равна изменению энергии (например при поднятии тяжести), когда сила F действует на путиИногда удобно говорить о компоненте вектора в заданном направлении (скажем, вертикальном, поскольку это направление силы тяжести). Для этого удобно ввести единичный, вектор в направлении, которое нас интересует. Под единичным вектором мы понимаем такой вектор, скалярное произведение которого на самого себя равно единице. Пусть это будет вектор тогда . Скалярное произведение, т. е. оно равно компоненту а в направлении i. Это удобный способ получения компонента; на самом деле это позволяет нам получить все компоненты и написать довольно любопытные формулы.Предположим, что в некоторой заданной системе координат, мы ввели три вектора: единичный вектор по направлению единичный вектор по направлению единичный вектор по направлению г. Ясно, Что такое ? Когда два вектора расположены под прямым углом, их скалярное произведение равно нулю. Следовательно,Величина называется скалярным произведением двух векторов, и имеет много интересных и полезных свойств. Например, легко доказать, что Курс физики. Трофимова Т.И. Существует также простой геометрический способ вычисления, не требующий вычисления компонентов равно произведению длин векторов а и Ь, умноженному на косинус угла между ними. Почему? Предположим, что мы выбрали специальную систему координат, в которой а направлен вдоль оси тогда единственным компонентом а будет ах> равный, естественно, всей длине вектора а. Уравнение в этом случае сведется что равно длине, умноженной на компонент по направлению.Следовательно, в частной системе координат мы доказали, что равно произведению длин векторов на косинус угла между ними. Но если это верно в одной системе координат, это верно во всех системах, потому что независимо от системы координат. Используя эти свойства векторов мы можем записать любой вектор в видеТаким способом мы можем перейти от компонентов вектора к самому вектору. Курс физики. Трофимова Т.И. Данное обсуждение векторов отнюдь не является полным. Однако прежде чем пытаться углубиться в эту тему, научимся сначала использовать изложенные идеи в физике. После того как мы в достаточной мере овладеем основным материалом, мы обнаружим, что более глубокое проникновение в рассматриваемые проблемы дается нам гораздо легче. Позднее мы узнаем, что полезно определить еще один вид произведения двух векторов, которое называется векторным произведением и записывается как. Однако отложим обсуждение этих вопросов до более поздних глав.