Нажмите на баннер и автоматически будете на моей странице "Вконтакте"

 

 Телефон мобильный;

 8(965)049-25-97(Билайн)

 Электронная почта;

 89650492597@mail.ru

 

 


Решение задачи, контрольных для студентов

Решение задач — это процесс выполнение мыслительных действий, направленный на получение заданной цели.

Процесс решения задачи состоит из:
1)Подготовка данных;
2)Определение способа (метода) решения (если он не задан условием);
3)Нахождение решения задачи.

Если у вас нет времени или задали сложные примеры которые Учитель не смог грамотно объяснить, я смогу вам помочь, срок решения от четырёх дней. Цена определяется после изучения (просмотра) задания.


















Силы могут сообщать телам не только поступательное, но ивращательное движение. Вращательное воздействие силыопределяется величиной момента этой силы относительно центраРисунок 7F1 F2F3FnOF1F2F3FnRа б23вращения. Моментом МС(F) силы F относительно некоторой точки Сназывается произведение величины этой силы F на расстояние h отточки С до линии действия силы (рис. 8). При этом величина моментаМС(F) = h берется со знаком плюс, если сила стремится повернутьтело против часовой стрелки (как на рисунке), и со знаком минус – впротивном случае.Расстояние h называется плечом силы F относительно тоски С.Плечо силы не изменится, если точка приложения силы будетперемещаться вдоль линии ее действия. Поэтому величина моментаМС(F) не зависит от того, где выбрана точка приложения силы налинии ее действия.Если имеется система сходящихся сил F1, F2 … Fn, и сила Rявляется их равнодействующей, то справедливо следующее важноесоотношение:ni 1i ini 1С C i М (R) M (F ) Fh , (2.5)т.е. момент равнодействующей силы относительно некоторойточки равен алгебраической сумме моментов всех силотносительно той же точки. Это утверждение носит названиетеоремы Вариньона. Она справедлива и для пространственныхсистем сил, которые будут рассмотрены позднее.Теорема Вариньона позволяет рассмотреть вопрос о сложениипараллельных сил. Пусть F1 и F2 две параллельные одинаковонаправленные силы. Выберем на плоскости между линиями действиясил некоторую точку, обладающую следующим свойством: расстоянияот нее до линий действия сил F1 и F2 обратно пропорциональнымодулям сил F1 и F2. Тогда, согласно (2.5), момент равнодействующейR = F1 + F2 относительно этой точки будет равен нулю. Указаннаяточка называется центром параллельных сил. Следовательно,линия действия равнодействующей двух параллельных одинаковонаправленных сил проходит через центр параллельных сил.Правило сложения двух параллельных сил можно обобщить на любоеих число. В частности, если распределенная нагрузка q (н/м)действует на некотором участке длиной а и постоянна на нем, тоРисунок 8FhC24равнодействующая будет равна q?а и приложена к середине участкадействия нагрузки.Если силы F1 и F2 параллельны, противоположно направлены иразличны по величине, то центр параллельных сил будет находитьсяза линией действия большей силы и обладать тем же свойством. Вэтом случае равнодействующая также проходит через центрпараллельных сил и равна разности их модулей.Момент может создавать не только одиночная сила, но и двеособым образом заданные силы – пара сил. Парой сил называетсясистема из двух равных по модулю, противоположно направленныхпараллельных сил (рис. 9). Как следует из аксиомы 1, такая системасил не может быть уравновешенной. Кроме того, она не имеетравнодействующей. Поэтому пара сил представляет собой особуюмеру механического взаимодействия и является отдельным объектомизучения механики. В самом деле, если отдельная сила можетсообщать телу одновременно и поступательное и вращательноедвижение, то пара сил – только вращательное.Плоскость, в которой лежат силы, составляющие пару, называетсяплоскостью действия пары, а расстояние между линиями действиясил h – плечом пары. Моментом пары {F, - F} называется вектор М,перпендикулярный плоскости действия пары и направленный так, чтосилы стремятся повернуть тело против часовой стрелки, еслисмотреть со стороны вектора М. Модуль этого вектора М = F h.Следовательно, момент пары равен по величине моменту одной изсил относительно любой точки, лежащей на линии действия другойсилы, составляющей пару.В отличие от вектора силы момент пары – вектор свободный. Он независит от линии действия сил. Поэтому пару можно переносить влюбое другое положение в плоскости ее действия. Более того,величина момента пары не изменится, если ее перенести напараллельную плоскость. Следовательно, момент пары можноперенести параллельно самому себе в любую точку тела, к которомуона приложена.Если на тело действуют несколько пар с моментами М1, М2, …, М n ,то, так же как и отдельные силы их можно складывать по правиламРисунок 9F-Fh25сложения векторов. Пара, эквивалентная системе пар, действующих водной плоскости, будет иметь момент М, модуль которого равен:nii i F h1ni 1i М М , (2.7)где знак каждого слагаемого определяется направлением вращениясоответствующей пары.При равновесии тела правая часть соотношения (2.7) должнаобращаться в нуль.
Читать дальше »

2.6. Пространственная система сил Система сил называется пространственной, если линии их действия расположены в пространстве произвольным образом. Для пространственных систем сил остаются справедливыми все те положения, которые были сформулированы для плоской системы сил. Так, равнодействующая сходящихся сил в трехмерном случае Условие уравновешенности пространственной системы сходящихся сил может быть сформулировано в одной из трех форм: в векторной форме: в графической форме: силовой многоугольник должен быть замкнут. в аналитической форме: сумма проекций всех сил на каждую из осей декартовой системы координат должна быть равна нулю Момент силы относительно точки в трехмерном случае определяется несколько сложнее. Именно, момент МС(F) силы F относительно некоторой точки С равен векторному произведению радиус-вектора r, проведенного из точки С в точку приложения силы, на силу F: МС(F) = r х F . (2.10) В соответствии с правилами векторного произведения момент МС(F) представляет собой вектор, перпендикулярный плоскости, в которой лежат вектора r и F, и направленный так, что сила стремится повернуть тело против часовой стрелки, если смотреть со стороны вектора МС(F). Модуль момента силы равен: где h = r sin - расстояние от точки С до линии действия силы F, ? - угол между радиус-вектором и силой (рис. 12). Оно, как и в плоском случае, называется плечом силы. Плечо силы не изменится, если точка приложения силы будет перемещаться вдоль линии ее действия. Поэтому величина момента МС(F) не зависит от того, где выбрана точка приложения силы. Из формулы (2.11) видно, что момент силы относительно точки равен нулю в двух случаях: либо, когда сила равна нулю, либо, когда точка С лежит на линии действия силы. Теорема Вариньона для пространственной системы сил имеет более общую форму, чем соотношение (2.5) для плоской системы сил: если произвольная пространственная система сил имеет равнодействующую, то момент равнодействующей относительно некоторой точки равен векторной сумме моментов всех сил системы относительно той же точки. Как известно из аналитической геометрии, векторное произведение (2.10) может быть записано через определитель где i, j, k – орты декартовой системы координат с центром в точке С; x, y, z – проекции радиус-вектора; Fx, Fy, Fz – проекции силы на соответствующие координатные оси. Равенство (2.12) можно рассматривать как разложение вектора МС(F) по осям координат. Следовательно, каждый сомножитель перед единичным ортом представляет собой проекцию вектора МС(F) на соответствующую ось. Моментом Мm(F) силы F относительно некоторой оси m называется скалярная величина, равная проекции на ось m момента силы F относительно какой-либо точки, взятой на этой оси. Для вычисления момента силы относительно оси удобно воспользоваться следующим несложным построением: сначала провести плоскость перпендикулярную оси m и найти точку их пересечения, затем спроектировать силу на эту плоскость. Момент проекции относительно точки пересечения и будет равен моменту силы F относительно оси m. Правило знака для момента Мm(F) такое же как и при вычислении момента силы относительно точки. Момент силы относительно оси равен нулю тогда, когда сила F лежит в одной плоскости с осью m. В самом деле, в этом случае либо проекция силы на плоскость, перпендикулярную оси, равна нулю (сила F параллельна оси m), либо линия действия проекции силы проходит через точку пересечения указанной плоскости и оси. Из определения момента силы относительно оси следует, что сомножители перед единичными ортами в формуле (2.12) равны моментам силы F относительно осей декартовых координат: Мх(F) = yFz – zFy ; My(F) = zFx – xFz ; Mz(F) = xFy – yFx . Эти формулы позволяют вычислить моменты силы относительно координатных осей, если известны координаты точки приложения силы и ее проекции на оси координат. Пара сил для трехмерного случая определяется также как и для плоского случая. Однако, плоскость действия пары и, следовательно, вектор ее момента могут быть ориентированы в пространстве произвольным образом. Отсюда следует, что две пары сил будут эквивалентны, если векторы их моментов равны друг другу. Следовательно, пару сил можно переносить в пространстве произвольным образом, оставляя плоскость ее действия параллельной самой себе. Если к телу приложены несколько пар сил с моментами М1, М2, …, М n, то момент равнодействующей пары равен векторной сумме моментов всех пар: n
Читать дальше »

Условия равновесия пространственной системы сил В общем случае на тело может действовать система сил {Fi}n, произвольно расположенных в пространстве. Как и в случае плоской системы сил, эту систему сил можно привести к некоторому центру приведения О, т. е. действие системы сил {Fi}n можно заменить на эквивалентное действие одной силы R (главного вектора системы сил), приложенной в центре приведения, и пары с моментом М0 (главного момента системы сил). При этом главный вектор и главный момент определяются векторными равенствами:  Равенства (2.15) позволяют сформулировать условия эквивалентности двух систем сил {Fi}n и {Qi}m. Если главные векторы и главные моменты двух систем сил соответственно равны, то эти системы эквивалентны. В частности, для того чтобы система сил {Fi}n была уравновешенной необходимо и достаточно, чтобы одновременно выполнялись два векторные равенства: R = 0; МО = 0 (2.16) Их называют механическими условиями равновесия свободного твердого тела в векторной форме. С учетом соотношений (2.15) геометрическая интерпретация равенств (2.16) означает, что 31 многоугольник сил и многоугольник моментов сил при равновесии свободного твердого тела должны быть замкнутыми. В проекциях на оси декартовой системы координат равенства (2.16) дадут шесть соотношений вида: 0  n i 1 Оz М i F . В силу произвольности выбора системы координат эти соотношения означают, что в случае равновесия свободного твердого тела алгебраическая сумма проекций всех сил, действующих на него, на три взаимно перпендикулярные оси равна нулю (первые три равенства), а также алгебраическая сумма моментов всех сил относительно этих же осей равна нулю (другие три равенства). 2.8. Силы трения Силы трения – одни из самых распространенных сил в природе и технике. При работе машин и механизмов их, как правило, нельзя не учитывать. Они могут играть положительную роль (например, во фрикционных передачах), но чаще всего их влияние носит отрицательный характер и связано с потерями полезной энергии. Различают трение скольжения и трение качения, природа которых различна. Трение скольжения проявляется в виде сопротивления относительному перемещению соприкасающихся тел при наличии сдвигающей силы Р (см. рис.). При этом реакция R отклоняется от нормали в отличие от реакции гладкой поверхности (рис. 3). Появляется ненулевая касательная составляющая реакции опоры Fтр, которая называется силой трения. Из уравнения равновесия следует, что сила трения равна сдвигающей силе Р по величине и противоположна ей по направлению. При увеличении сдвигающей силы будет увеличиваться и сила трения. Однако при достижении силой Р некоторого значения равновесие тела нарушится, и начнется его скольжение по поверхности. В момент нарушения равновесия сила трения Fтр будет иметь наибольшее значение, которое называется силой трения покоя. Опыт показывает, что она пропорциональна нормальной составляющей N опорной реакции: Fтр R P G N 32 у х О P G Fтр = f N . (2.18) Коэффициент пропорциональности f называется коэффициентом трения скольжения. Его величина зависит от степени шероховатости контактирующих поверхностей, от материалов тела и поверхности, а также от физических свойств соприкасающихся тел. В каждом конкретном случае он определяется экспериментально. Трение качения проявляется в виде сопротивления перекатыванию округленного тела по поверхности и связано с другими физическими причинами. Опытным путем нетрудно установить, что, если к центру цилиндра весом G, лежащему на горизонтальной поверхности, приложить небольшую по величине силу Р, то цилиндр останется неподвижным. Упрощенно это можно объяснить следующим образом. Опорная поверхность под действием веса цилиндра деформируется (на рисунке деформации показаны в сильно преувеличенном виде). Реакция опорной поверхности смещается на некоторое расстояние а от вертикали, проходящей через центр цилиндра. Вертикальная составляющая реакции равна весу цилиндра G, а горизонтальная составляющая – величине перекатывающей силы Р. Таким образом, цилиндр находится в равновесии под действие двух пар. Уравнение равновесия, составленное при максимальном значении перекатывающей силы Рmax (на пороге равновесия), позволяет для последней получить: G  max ,  где R – радиус цилиндра. Если Р ? Рmax , цилиндр остается неподвижным. При Р ? Рmax цилиндр начнет движение. Величину а смещения в сторону движения точки приложения реакции называют плечом силы трения качения или коэффициентом трения качения. Она зависит от упругих свойств материалов перекатывающихся тел, прижимающей силы (в рассмотренном случае веса цилиндра), относительной угловой скорости тел. Безразмерная величина а / R в соотношении (2.19), как правило, значительно меньше коэффициента трения скольжения f в (2.18). Поэтому в технических устройствах для уменьшения сопротивления и снижения потерь энергии на трение стремятся заменить трение 33 скольжения трением качения с помощью подшипников, катков, колес, роликов и т. д.
Читать дальше »

Контрольные вопросы 1. Какие системы сил называются эквивалентными? 2. Что такое равнодействующая системы сил? 3. Какие системы сил называются уравновешенными? 4. В чем состоят основные задачи статики? 5. В чем различие между внешними и внутренними силами, действующими на точки механической системы? 6. Сформулируйте основные аксиомы статики. 7. В чем состоит принцип отвердевания? 8. Какие силы называются активными, а какие пассивными? 9. Перечислите типы связей. Какие реакции они вызывают? 10. В чем различие связей, моделируемых гладкой поверхностью и шарнирно-подвижной опорой? 11. Какие силы называются сходящимися? 12. Как строится силовой многоугольник? 13. Сформулируйте условия уравновешенности плоской системы сходящихся сил. 14. Что такое момент силы относительно точки? 15. Что такое момент силы относительно оси? 16. Сформулируйте теорему Вариньона для плоской системы сил. 17. Что такое главный вектор и главный момент системы сил? 18. Чему равна равнодействующая параллельных сил и как найти ее линию действия? 19. Сформулируйте условия равновесия пространственной системы сил. 20. Что такое пара сил и какое воздействие на твердые тела она оказывает? 21. Почему момент пары сил является свободным вектором? 22. Как найти пару сил, эквивалентную системе пар? 23. Чем отличается трение скольжения от трения качения? Какова физическая природа того и другого? 24. Что такое коэффициент трения скольжения и от чего он зависит? 25. Что такое коэффициент трения качения? От каких факторов зависит его величина?
Читать дальше »

КИНЕМАТИКА Как уже отмечалось во введении, один из разделов механики изучает количественные характеристики различных типов движения материальных тел, отвлекаясь от причин, вызвавших это движение. Этот раздел называется кинематикой. Здесь также реализуется принцип «от простого к сложному». Сначала рассматриваются кинематические характеристики точки, затем простейшие виды движения твердого тела и, наконец, сложное движение точки. В заключение даются общие понятия о сферическом движении и движении свободного твердого тела. Способы задания движения точки При движении тела все его точки совершают определенные перемещения в пространстве. Поэтому анализ движения тела целесообразно начать с изучения движения отдельной точки. Задать движение точки означает указать такой способ, с помощью которого можно точно указать ее положение в любой момент времени в некоторой заранее выбранной системе координат. Существует три способа задания движения точки: векторный, координатный и естественный. При векторном способе задания движения положение точки М в пространстве задается радиус-вектором r , начало которого в любой момент времени ? совпадает с началом системы координат, а конец – с точкой М. Таким образом, векторное уравнение однозначно определяет местоположение точки М в произвольный момент времени. С течением времени конец вектора r (?) описывает в пространстве некоторую непрерывную линию, которая называется траекторией точки М. Следовательно, траектория представляет собой геометрическое место точек пространства, через которые последовательно проходит точка М. При координатном способе задания движения положение точки М определяется тремя координатами (например, декартовыми), которые, также как и радиус-вектор r (?), являются функциями времени: Нетрудно видеть, что способы задания движения точки (3.1) и (3.2) связаны между собой, поскольку проекциями радиус-вектора на оси координат являются координаты конца вектора r: где i, j, k – единичные орты декартовой системы координат. Естественный способ задания движения точки используется тогда, когда траектория ее движения заранее известна. В этом случае на траектории выбирается некоторая фиксированная точка О (начало отсчета) и положительное направление от точки О вдоль траектории. Тогда положение точки М будет однозначно определено длиной дуги s по траектории от начала отсчета О – дуговой координатой. Ее величина при движении точки М будет функцией времени: Следует различать величину пройденного пути от значения дуговой координаты. Разница между этими понятиями очевидна, например, при движении точки по замкнутой кривой.
Читать дальше »

Скорость и ускорение движущейся точки Основными кинематическими характеристиками движения являются скорость и ускорение. При различных способах задания движения они вычисляются по разному. По своему физическому смыслу скорость является мерой изменения во времени положения точки. Пусть точка М движется по криволинейной траектории (рис. 13), а ее положение в моменты времени и 1 определяется радиус- векторами r и r1. Изменение положения точки М за промежуток времени характеризуется вектором r. Отношение Vср = представляет собой среднюю за промежуток скорость точки М. Очевидно, что вектор Vср направлен по секущей ММ1. В пределе при 0 точка М1 будет неограниченно приближаться к точке М, секущая ММ1 займет положение касательной к траектории в точке М, а вектор Vср будет равен мгновенному значению скорости точки V в момент времени Таким образом, скорость точки в данный момент времени при векторном способе задания ее движения равна производной от радиус-вектора по времени и направлена по касательной к траектории движения. Для того чтобы получить скорость точки при координатном способе задания движения воспользуемся соотношением (3.3). Дифференцирование его по времени в соответствии с (3.5) для скорости точки М дает: Следовательно, проекции вектора скорости точки на координатные оси могут быть получены путем дифференцирования зависимостей (3.2) по времени. Тогда модуль вектора скорости равен: а его направление задается углами, которые образует вектор скорости с осями координат. Косинусы этих углов (направляющие косинусы) определяются с помощью формул: При естественном способе задания движения точки каждому значению дуговой координаты s соответствует определенное положение радиус-вектора r. Другими словами, радиус-вектор точки является функцией дуговой координаты, которая, в свою очередь, согласно (3.4), зависит от времени. Это значит, что векторная величина r может рассматриваться как сложная функция ?: r = r(s(?)). Правила дифференцирования сложной функции позволяют записать: С помощью рис. 13 нетрудно понять, чему равен первый сомножитель, который является пределом отношения ?r / ?s. В этом отношении знаменатель представляет собой длину дуги от точки М до точки М1. Когда последняя неограниченно приближается к точке М, длина дуги ?s неограниченно приближается к длине вектора ?r. Следовательно, в пределе получится единичный вектор, который, как отмечалось выше, направлен вдоль касательной к траектории движения в точке М. Обозначим единичный вектор касательной через m. Тогда на основании предыдущего равенства справедливо соотношение: Из полученного соотношения следует, что при естественном способе задания движения модуль скорости V равен производной от дуговой координаты по времени, а вектор V направлен по касательной в сторону движения точки. Мерой изменения во времени величины и направления скорости служит ускорение точки. Следовательно, при векторном способе задания движения ускорение W определяется равенством: С учетом (3.3) и (3.6) проекции ускорения на оси декартовой системы координат вычисляются по формулам: Модуль вектора ускорения и его направление можно найти с помощью соотношений, аналогичных (3.7) и (3.8): Предыдущие соотношения позволяют вычислить ускорение точки при векторном и координатном способах задания ее движения. При естественном способе скорость определяется выражением (3.9). Тогда для ускорения можно записать: Здесь учтено, что при движении точки по криволинейной траектории с течением времени меняются оба сомножителя в скобках. Производная dm / d? характеризует скорость изменения направления единичного вектора касательной m, проведенной к траектории в точке М при ее движении, т. е. при изменении дуговой координаты s. Ее можно записать в виде: В дифференциальной геометрии доказывается, что вектор dm /ds направлен вдоль внутренней нормали n к кривой, а его длина обратно пропорциональна локальному радиусу кривизны ? кривой в данной точке. С учетом сказанного равенство (3.14) примет вид: Следовательно, при естественном способе задания движения точки ее ускорение может быть найдено как сумма двух векторов. Один вектор Wm направлен вдоль касательной m к траектории движения (рис. 14), его величина определяется быстротой изменения модуля Вектор Wm называется касательным ускорением. Касательное ускорение существует при неравномерном криволинейном движении, направлено по касательной к траектории при ускоренном движении (в сторону положительного отсчета дуговой координаты) и в обратном направлении – при замедленном. Другой вектор Wn направлен по нормали n к траектории в сторону ее вогнутости (рис. 14), его величина определяется быстротой изменения направления скорости движения точки. Вектор Wn называется нормальным ускорением. Величина нормального ускорения всегда положительна и равна: Модуль полного ускорения W может быть найден через величины касательного и нормального ускорений: m n W ? W ? W (3.18) Соотношения (3.16) и (3.17) позволяют проанализировать некоторые частные случаи движения точки. Так, если траекторией движения точки служит прямая линия, то радиус кривизны ? = ?, и нормальное ускорение, согласно (3.17), равно нулю. В этом случае полное ускорение совпадает с касательным. При этом если направления векторов скорости и ускорения совпадают, то движение точки ускоренное, если их направления противоположны, то – замедленное. При равномерном движении модуль скорости точки Поэтому, согласно (3.16) касательное ускорение равно нулю, и полное ускорение совпадает с нормальным. Интегрирование последнего равенства позволяет получить уравнение равномерного движения: s = V ? + s0 , (3.19) которое определяет величину дуговой координаты в любой момент времени. Объединяя оба рассмотренных случая, приходим к равномерному прямолинейному движению, при котором и касательное, и нормальное ускорения отсутствуют. Наконец, при равнопеременном движении точки величина ее касательного ускорения постоянна: Wm = const. Дважды интегрируя соотношение (3.16) можно получить закон изменения скорости и дуговой координаты при этом типе движения: 40 В качестве примера использования приведенных соотношений рассмотрим следующую задачу. При работе механизма, изображенного на рис. 15, кривошип ОС равномерно вращается вокруг шарнира О. Ползуны В и D перемещаются по направляющим, роль которых на рисунке выполняют оси координат Ох и Оy. На шатуне ВD находится точка М, совершающая в плоскости Охy движение, заданное уравнениями: x = a cos k?; y = b sin k?. Требуется найти траекторию движения точки М, ее скорость и ускорение в те моменты времени, когда она пересекает ось Оy. Для нахождения траектории исключим время из уравнений движения точки М. Разделим первое уравнение на а, второе уравнение - на b и воспользуемся тригонометрическим тождеством: sin2? + cos2? = 1. В результате получим соотношение, связывающее координаты точки М в произвольный момент времени: Полученное уравнение, как известно, является уравнением эллипса с полуосями а и b и с центром в начале координат. Таким образом, траекторией любой точки на шатуне служат эллипсы. Поэтому механизм, изображенный на рис. 15, называется эллипсограф. Найдем моменты времени, когда точка М пересекает ось Оу. Для точек на этой оси х = 0. Приравнивая первое уравнение движения к нулю, получаем: ?i = (? / 2 + ? i) / k. Проекции скорости на координатные оси определим, дифференцируя уравнения движения точки М по времени: В моменты времени, соответствующие переходу точки через ось Оу, проекция скорости Vx = - ak для четных значений i, Vx = ak для нечетных i . Проекция Vу = 0 в обоих случаях. Следовательно, вектор скорости точки М в эти моменты времени параллелен оси Ох. Ускорение точки определим, дифференцируя выражения для проекций скорости по времени: и, соответствующие переходу точки через ось Оу, проекция Wx =0, а проекция Wу = -bk2 для четных значений i, Wу = bk2 для нечетных i. Следовательно, в указанные моменты времени ускорение направлено к центру эллипса по главной нормали к траектории движения точки М.
Читать дальше »

Поступательное и вращательное движение твердого тела Поступательным движением твердого тела называется такое движение, при котором любая прямая, связанная с телом, перемещается в пространстве, оставаясь параллельной самой себе. Другими словами, при поступательном движении отсутствуют какие- либо повороты тела. Покажем, что при таком характере движения все точки тела двигаются по идентичным траекториям, в каждый момент времени имеют одинаковые скорости и ускорения. Выберем в движущемся теле две произвольные точки А и В (рис. 16). Их положение определяется радиус-векторами rА и rВ, которые меняются с течением времени. Пусть r – вектор с началом в точке А и концом в точке В. Рисунок 16 rB rА О А В r 42 Векторы rА , rВ и r в любой момент времени связаны соотношением: rВ = r + rА. Если тело движется поступательно, то, согласно определению, r = const. С учетом этого продифференцируем векторное равенство по времени: . скорости точек А и В одинаковы как по величине, так и по направлению в любой момент времени. Дифференцируя вторично, убеждаемся, что и ускорения точек также одинаковы. Следовательно, поступательное движение твердого тела полностью определяется движением одной из его точек. Другими словами, кинематика поступательного движения твердого тела сводится к кинематике точки. Поэтому все положения подразделов 3.1 и 3.2 применимы для описания этого типа движения тела. Еще одним простейшим типом движения твердого тела является вращательное движение. При вращательном движении все точки тела, лежащие на некоторой прямой, остаются неподвижными во все время движения. Указанная прямая называется осью вращения. Точки тела, не лежащие на оси вращения, движутся в плоскостях, перпендикулярных оси вращения, по окружностям с центром на оси. Их положение в произвольный момент времени однозначно определяется углом ? поворота тела относительно некоторой фиксированной неподвижной плоскости, проходящей через ось вращения. Угол поворота принято считать положительным, если вращение происходит против часовой стрелки, и отрицательным – в противном случае. При вращении угол поворота тела меняется во времени: ? = ? () (3.21) Это уравнение служит уравнением вращательного движения твердого тела. Кинематическими характеристиками вращательного движения являются угловая скорость и угловое ускорение. Угловой скоростью  называется вектор, лежащий на оси вращения. Модуль этого вектора, характеризует быстроту изменения угла поворота во времени:(3.22) 43 Направление вектора угловой скорости выбирается так, чтобы вращение происходило против часовой стрелки, если смотреть с конца вектора . Единица измерения угловой скорости – радиан в секунду (рад / с или с -1). В технике часто используется другая единица измерения – обороты в минуту n (об / мин). Их связывает простое соотношение:  =  n / 30. Угловое ускорение  также изображается вектором, лежащим на оси вращения. Модуль вектора  характеризует быстроту изменения угловой скорости во времени:) Направление вектора углового ускорения  совпадает с направлением вектора угловой скорости , если движение тела ускоренное, и противоположно ему, если движение замедленное. Верно и обратное утверждение. В зависимости от значений кинематических характеристик  различают следующие частные случаи вращательного движения твердого тела. При равномерном вращательном движении угловое ускорение ? = 0. Тогда, согласно (3.23), движение происходит с постоянной угловой скоростью: ? = const. Интегрирование (3.22) приводит к уравнению равномерного вращательного движения тела: ?() = ?0 + ? . При равнопеременном вращательном движении угловое ускорение ? = const. Дважды интегрируя (3.23), приходим к уравнению равнопеременного вращательного движения: . В приведенных формулах через ?0 и ?0 обозначены значения угла поворота и угловой скорости при  = 0. Угловая скорость и угловое ускорение являются кинематическими характеристиками тела в целом, а не его отдельных точек. Для того чтобы найти скорости и ускорения точек при вращательном движении, необходимо применить положения предыдущего параграфа. Траектория любой точки тела при его вращении представляет собой окружность, которая лежит в плоскости, перпендикулярной оси вращения. Центр окружности находится на оси, а ее радиус равен расстоянию от оси до данной точки. Поскольку траектория точки известна, целесообразно применить естественный способ задания ее движения. Дуговую координату s будем отсчитывать вдоль дуги окружности в направлении положительного изменения угла поворота. Тогда угол поворота  и дуговая координата связаны между собой известным соотношением: s = R. Согласно (3.9), модуль скорости точки равен: . величина скорости точек вращающегося тела пропорциональна их расстояниям до оси вращения и угловой скорости. Направление вектора скорости совпадает с направлением касательной к окружности – траектории точки. Ускорение точки при естественном способе задания движения в соответствии с (3.15) является суммой двух ускорений: касательного и нормального. Величина касательного ускорения определяется формулой (3.16). Для рассматриваемого кругового движения точки она равна:  Величину нормального ускорения можно найти с помощью соотношения (3.17). Для рассматриваемого случая она равна: Модуль полного ускорения найдем, используя (3.18):  Выведенные формулы допускают более общую запись с помощью операций векторной алгебры. Поместим начало координат в произвольную точку оси вращения (рис. 17). Тогда положение некоторой точки М вращающегося тела определяется радиус- вектором r. Модуль радиус-вектора r и расстояние точки М до оси Рисунок  связаны простым соотношением: R = r sin (r,?). С учетом (3.24) для модуля скорости точки М получим выражение: V =  r sin (r,?), из которого следует, что вектор V является векторным произведением векторов r и  (рис. 17): V =  x r (3.28) Полученная формула носит название формулы Эйлера. Она позволяет определить скорость любой точки вращающегося тела и поэтому играет важнейшую роль в кинематике. Дифференцирование равенства (3.28) по времени с учетом свойств векторного произведения и соотношений (3.5), (3.10), (3.15) и (3.23) позволяет записать: ? Сравнение полученного соотношения с (3.15) показывает, что первое слагаемое представляет собой касательное ускорение Wm, а второе – нормальное Wn. Таким образом, при вращательном движении тела проекции полного ускорения его точек на направления касательной к траектории и нормали в общем случае определяются с помощью следующих формул: Wm = ? x r ; Wn =  x V = ? x (? x r) (3.30) Касательное ускорение иногда называют вращательным, а нормальное ускорение – центростремительным. Полное ускорение точки в соответствии с (3.15) равно сумме векторов Wm и Wn.
Читать дальше »

Следующим по сложности после поступательного и вращательного движения твердого тела является плоскопараллельное движение. Плоскопараллельным (или плоским) движением называется движение, при котором все точки тела перемещаются в плоскостях, параллельных некоторой неподвижной плоскости. При таком характере движения тела его количественное описание сводится к описанию движения одного сечения тела, параллельного указанной неподвижной плоскости. Это сечение обычно называют плоской фигурой. Следовательно, для того чтобы получить кинематические характеристики при плоскопараллельном движении тела достаточно рассмотреть скорости и ускорения точек плоской фигуры при ее движении в собственной плоскости. 46 Пусть на плоской фигуре зафиксирована некоторая точка Р – полюс . Положение этой точки в неподвижной системе координат Оху однозначно определяется ее координатами хР и уР – координатами полюса. Координаты других точек плоской фигуры будут зависеть как от положения полюса Р, так и от угла поворота плоской фигуры вокруг полюса. При движении тела все три величины хР , уР и являются функциями времени: хР = хР) Эти зависимости называются уравнениями плоскопараллельного движения. Они показывают, что плоское движение представляет собой наложение двух одновременно происходящих уже рассмотренных ранее движений тела: поступательного и вращательного. Следовательно, основными кинематическими характеристиками при этом типе движения являются скорость и ускорение полюса Р (поступательная часть движения) и угловая скорость и угловое ускорение тела (вращательная часть движения). Причем первые две характеристики зависят от выбора полюса, а две вторые от выбора полюса не зависят. Пусть уравнения (3.31) заданы. Выведем соотношения, позволяющие определить скорость произвольной точки М плоской фигуры. Положению точки М в некоторый момент времени отвечает радиус-вектор rМ в неподвижной системе координат Оху, положению полюса Р отвечает радиус-вектор rР. Оба радиус-вектора при движении тела могут меняться как по величине, так и по направлению. Точки Р и М соединим вектором rМР с началом в полюсе Р и концом в точке М. Поскольку расстояние между точками М и Р фиксировано, вектор rМР при движении плоской фигуры может меняться во времени Рисунок 18 у О 47 только по направлению, т. е. положение точки М относительно полюса Р может измениться только за счет вращения плоской фигуры. В любой момент времени будет выполняться векторное равенство: rМ = rР + rМР Дифференцирование этого равенства по времени позволяет записать: VM = VP + VMP (3.32) т. е. скорость любой точки твердого тела при плоскопараллельном движении равна векторной сумме скорости полюса и скорости, которую имеет эта точка в относительном вращении вокруг полюса. Направление и величина вектора VMP определяются по соотношениям для вращательного движения: направление скорости VMP в любой момент времени перпендикулярно отрезку МР по ходу вращения плоской фигуры, а модуль скорости VMP равен произведению угловой скорости и длины отрезка МР. Оказывается, что в каждый момент времени одна из точек плоской фигуры имеет скорость равную нулю. Эта точка называется мгновенным центром скоростей. Пусть, например, в некоторый момент времени плоская фигура имеет угловую скорость ?, а одна из ее точек – точка А – скорость VА. Через точку А проведем луч, перпендикулярный вектору VА, и на этом луче выберем точку В, отстоящую от точки А на расстоянии ¦АВ¦ = VА / ? (рис.19). Применим теперь для точки В соотношение (3.32), взяв в качестве полюса точку А: VВ = VА + VВА Скорость VВА точки В, обусловленная вращением плоской фигуры, равна по модулю ¦АВ¦ ? = VА и направлена в противоположную сторону. Следовательно, правая часть предыдущего векторного Рисунок 1 равенства обращается в нуль, а точка В в данный момент времени является мгновенным центром скоростей. Приведенное несложное построение позволяет сделать несколько важных выводов. Во-первых, мгновенными центрами скоростей в различные моменты времени служат разные точки плоской фигуры. Во-вторых, мгновенный центр скоростей может находиться в некоторой точке пространства за пределами твердого тела. Наконец, в-третьих, возможны случаи, когда в какой-то момент времени угловая скорость плоской фигуры равна нулю. При этом мгновенный центр скоростей оказывается удаленным в бесконечность. Эти случаи соответствуют так называемому мгновенному поступательному движению, когда скорости всех точек тела в данный момент времени векторно равны. Если в качестве полюса выбрать мгновенный центр скоростей, то первое слагаемое в (3.32) обратится в нуль. Следовательно, скорость любой точки тела будет определяться только скоростью ее вращательного движения вокруг мгновенного центра скоростей. Величина скорости будет пропорциональна расстоянию от данной точки до мгновенного центра скоростей, а ее направление будет перпендикулярно линии, соединяющей точку и цент скоростей. В силу очевидной важности понятия мгновенного центра скоростей рассмотрим несколько способов определения его местонахождения. Если в некоторый момент времени известны угловая скорость вращения плоской фигуры и скорость одной из ее точек, то положение мгновенного центра скоростей С в этот момент времени можно найти с помощью построения, проведенного выше при доказательстве его существования. Если известны направления скоростей двух точек А и В и они не параллельны друг другу, то положение центра скоростей С определяется пересечением перпендикуляров, восстановленных к скоростям в этих точках (рис. 20, а). В случае если скорости в точках А и В известны и параллельны, необходимо выполнить несложные Рисунок  построения, показанные на рис. 20, б, в . Случай VВ = VА соответствует мгновенному поступательному движению. Для вывода соотношения, позволяющего найти ускорение точек при плоскопараллельном движении тела, необходимо продифференцировать равенство (3.32) по времени: . В левой части равенства стоит ускорение WM рассматриваемой точки М, которое представляет собой сумму ускорения полюса WР в поступательной части движения плоской фигуры (первое слагаемое правой части) и ускорения WMР точки М во вращательном движении плоской фигуры вокруг полюса Р (второе слагаемое): WM = WР + WМР. Ускорение WР находится с помощью соотношений, полученных при рассмотрении поступательного движения твердого тела, а ускорение WМР равно векторной сумме касательного и нормального ускорений во вращательном движении вокруг полюса.
Читать дальше »

До сих пор рассматривались кинематические характеристики движения только в неподвижной системе координат. Однако, зачастую возникает необходимость определить характеристики движения отдельных точек твердого тела в системе координат, которая сама перемещается относительно неподвижной системы координат. Еще одна важная задача – установить связь между кинематическими характеристиками движения точки (траекториями, скоростями и ускорениями) в подвижной и неподвижной системах координат. Пусть имеются две системы координат: неподвижная Охуz и подвижная О1х1у1z1. Движение точки М относительно неподвижной системы координат Охуz называется ее абсолютным движением. Соответственно говорят о скорости Va и ускорении Wa в абсолютном движении. Движение точки М относительно подвижной системы координат О1х1у1z1 носит название относительного движения, а скорость Vr и ускорение Wr в относительном движении называются относительной скоростью и относительным ускорением. Движение подвижной системы координат относительно неподвижной называется переносным движением. Для количественной характеристики переносного движения используются понятия переносной скорости Vе и переносного ускорения Wе. По определению это скорость и ускорение той точки подвижной системы координат, с которой в данный момент совпадает точка М. Для лучшего понимания введенных понятий рассмотрим качение без скольжения колеса по полотну дороги (рис. 21). Точка М обода 50 колеса в системе координат О1х1у1, связанной с колесом, движется по окружности. Это движение является относительным. Переносным движением (движением подвижной системы координат относительно неподвижной) в этом примере является поступательное движение. В самом деле, точка подвижной системы координат, которая совпадает в данный момент времени с точкой М, будет двигаться прямолинейно параллельно оси Ох вместе с центром колеса. В неподвижной системе координат точка М будет совершать сложное движение, траекторией которого будет циклоида. Из приведенного примера видно, что абсолютное движение точки можно рассматривать как наложение двух или более движений, которые, как правило, являются более простыми для изучения. Поэтому важно знать связь между кинематическими характеристиками абсолютного, переносного и относительного движений, чтобы по известным кинематическим характеристикам последних найти кинематические характеристики абсолютного движения. Для установления такой связи рассмотрим две системы координат: неподвижную Охуz и подвижную О1х1у1z1. Пусть r – радиус-вектор точки М в неподвижной системе координат, а  - радиус-вектор этой же точки в подвижной системе координат. В любой момент времени указанные вектора связаны соотношением: r = r0 +  где r0 – радиус-вектор начала подвижной системы координат в системе координат Охуz. Продифференцируем это равенство по времени: ) Рисунок 21 у1 М х у О1 х1 О 51 Производная в левой части равенства, согласно (3.5), представляет собой скорость точки М в неподвижной системе координат – ее абсолютную скорость Va. Первое слагаемое правой части – скорость начала О1 подвижной системы координат в системе координат Охуz. Вычислим производную – единичные орты подвижной системы координат, а х1, у1, z1 – координаты точки М в этой же системе. Тогда  = х1 i + у1 j + z1 k, причем во времени меняются не только координаты х1, у1, z1 , но и положение единичных ортов. Учитывая это, можно записать: ? ?  ? ? ? ? ? . Первые три слагаемых, согласно (3.6), представляют собой относительную скорость Vr точки М, т. е. ее скорость в подвижной системе координат. Для того чтобы раскрыть смысл других трех слагаемых, рассмотрим, например, производную d di . Единичный орт i может меняться только по направлению вследствие вращения подвижной системы координат О1х1у1z1 вокруг точки О1 с некоторой угловой скоростью ?. Применим формулу (3.28) к точке, совпадающей с концом орта i. Скорость движения конца вектора i при вращении подвижной системы координат будет:  Тогда с учетом свойств векторного произведения для последних трех слагаемых в предыдущем равенства имеем: . Следовательно,  d d = Vr + ? x ?. Возвращаясь к равенству (3.33) и учитывая полученные соотношения, можем записать: 3.34) 52 Первые два слагаемых представляют собой скорость точки подвижной системы координат, которая в данный момент совпадает точка М, - переносную скорость Vе. Эта скорость складывается из скорости полюса V0 (за него следует принять начало координат О1) и линейной скорости ? x ? при вращении относительно начала О1. Таким образом справедливо утверждение: абсолютная скорость точки равна векторной сумме ее переносной и относительной скоростей Va = Vе + Vr (3.35) Это утверждение носит название теоремы о сложении скоростей. Она имеет важное значение при анализе работы различных типов механизмов. При этом необходимо помнить, что в абсолютном и относительном движениях точка описывает разные траектории, и векторы скоростей Va и Vr направлены по касательным к соответствующей траектории. Перейдем к установлению связи между ускорениями при сложном движении. Вторичное дифференцирование векторного равенства (3.33) по времени приведет к следующему соотношению между ускорениями: Wa = We + Wr + Wcor (3.36) Здесь Wa – абсолютное ускорение точки М по отношению к неподвижной системе координат. Переносное ускорение We представляет собой ускорение той точки подвижной системы координат, с которой в данный момент совпадает точка М. Оно вычисляется как производная по времени от переносной скорости: ( ) d d d d e e ?  W (3.37) Относительное ускорение Wr точки М определяется через производную от относительной скорости: i  ? ? (3.38) Третье слагаемое в (3.36) называется кориолисовым ускорением. Оно отражает изменение переносной скорости в результате относительного перемещения точки М, а также возможное изменение относительной скорости из-за переносного движения подвижной системы координат. Величина кориолисова ускорения определяется соотношением: 53 cor r 39) Отсюда видно, что кориолисово ускорение равно нулю в том случае, когда переносное движение является поступательным (? = 0), либо когда относительное движение отсутствует (Vr = 0), либо когда точка М движется параллельно оси вращения подвижной системы координат (). Направление кориолисова ускорения находится по обычным правилам для векторного произведения. Соотношение (3.36) носит название теоремы о сложении ускорений. Оно также, как и теорема о сложении скоростей, широко используется при анализе работы механизмов.
Читать дальше »

Полученные в предыдущих подразделах соотношения лежат в основе кинематического анализа многих механизмов, которые используются в технологическом оборудовании. Под механизмом в общем случае понимают систему тел, предназначенных для преобразования движения одного или нескольких твердых тел в заданное движение других твердых тел. Назначение механизмов – получить в результате преобразования такое движение, которое обеспечивает выполнение механизмом заданных технологических функций. Задачи кинематического анализа сводятся, главным образом, к определению кинематических характеристик, к которым относятся: - перемещения звеньев механизма и траектории их отдельных точек; - линейные скорости отдельных точек и угловые скорости звеньев; - линейные ускорения этих точек и угловые ускорения звеньев. Данные по перемещениям и траекториям движения звеньев используются при проектировании оборудования, например, для того, чтобы исключить столкновение движущихся деталей. Значения скоростей и ускорений различных точек и звеньев используются при силовом расчете механизмов, при определении развиваемой или потребляемой мощности, при проведении динамического анализа машины с учетом возникающих при ее работе сил инерции. Для иллюстрации основных положений кинематики применительно к решению задач кинематического анализа рассмотрим работу двух наиболее простых механизмов: кривошипно-ползунного и кулисного. На рис. 22 приведена схема простейшего кривошипно-ползунного механизма, предназначенного для преобразования вращательного движения кривошипа ОА в поступательное движение ползуна В. Звено АВ (шатун) совершает сложное плоскопараллельное движение. Пусть 54 заданы длины звеньев ОА и АВ и угловая скорость ?1 кривошипа. Требуется найти скорость движения ползуна. Введем систему декартовых координат, совместив ее начало с шарнирной точкой О. Обозначим угол АОВ через ?, а угол АВО через ?. Согласно (3.21) уравнение вращательного движения кривошипа имеет вид: ? = ?1 ? (начальный угол ?0 положим равным нулю). Ордината точки А может быть выражена двумя способами: yА = ОА sin? = AB sin?. Отсюда sin, где ? = ОA/AВ. Траектория ползуна В известна заранее. Он перемещается прямолинейно вдоль оси Ох. Поэтому применим естественный способ задания движения, приняв за дуговую координату s расстояние от шарнира О до ползуна В. Тогда из рис. 22 видно, что величину s можно представить следующим образом: s = OA cos? + AB cos?. Выразим теперь cos? через угол . Следовательно, зависимость дуговой координаты s от времени имеет вид:  OAcos ? AB 1? sin . Согласно (3.9) скорость движения ползуна будет равна производной от дуговой координаты по времени: . Полученное выражение показывает, что скорость ползуна зависит от времени довольно сложным образом. Анализ этого выражения позволяет найти амплитуду движения ползуна, ограничения на возможные размеры звеньев механизма, величину ускорения ползуна в любой момент времени. В качестве еще одного примера рассмотрим работу кулисного механизма с качающейся кулисой ВС (рис. 23). При заданной угловой скорости ? кривошипа ОС и длинах звеньев требуется определить скорость движения кулисного камня С вдоль кулисы. Введем подвижную систему координат, жестко связанную с кулисой ВС. Тогда движение кулисного камня в этой системе координат в соответствии с определениями подраздела 3.5. будет являться относительным. Обозначим ее через Vотн . Она будет направлена вдоль кулисы ВС (см. рис. 23) и именно ее необходимо определить. Движение кулисного камня относительно неподвижных опор О и В является абсолютным. Абсолютное движение кулисного камня будет вращательным, поскольку точка С во все время движения находится на расстоянии b от шарнира О. Поэтому вектор абсолютной скорости V направлен перпендикулярно кривошипу ОС, а его абсолютная величина равна b ?. Переносным движением в данном случае служит вращательное движение подвижной системы координат вокруг Рисунок 23 ? х О В С D b a V Vпер Vотн ? ? 90° 56 шарнира В. Следовательно, вектор переносной скорости Vпер будет перпендикулярен кулисе ВС. Воспользуемся теоремой о сложении скоростей (3.35). В данном случае параллелограмм скоростей будет представлять собой прямоугольник (см. рис. 23.). Поэтому абсолютные значения скоростей V и Vотн будут связаны соотношением:  с помощью тригонометрических равенств выразим через угол ? = ??. По теореме синусов для треугольника ОВС имеем:  Отсюда, раскрывая формулу для синуса суммы двух углов, нетрудно найти ctg. Используя связь между s, окончательно получаем:
Читать дальше »