Нажмите на баннер и автоматически будете на моей странице "Вконтакте"

 

 Телефон мобильный;

 8(965)049-25-97(Билайн)

 Электронная почта;

 89650492597@mail.ru

 

 


Решение задачи, контрольных для студентов

Решение задач — это процесс выполнение мыслительных действий, направленный на получение заданной цели.

Процесс решения задачи состоит из:
1)Подготовка данных;
2)Определение способа (метода) решения (если он не задан условием);
3)Нахождение решения задачи.

Если у вас нет времени или задали сложные примеры которые Учитель не смог грамотно объяснить, я смогу вам помочь, срок решения от четырёх дней. Цена определяется после изучения (просмотра) задания.


















Получим теперь уравнение движения, аналогичное уравнению (4.1), но уже для механической системы. Рассмотрим механическую систему, состоящую из N точек, которые обладают в общем случае различной массой. Обозначим массу точки с номером i через mi, а радиус-вектор этой точки - через ri. Массой механической системы m называется сумма масс всех ее точек: (4.12) Под центром масс механической системы понимают геометрическую точку С, радиус-вектор которой находится с помощью соотношения: i m m 1 1 r r . (4.13) Это векторное равенство в проекциях на оси декартовой системы координат распадается на три скалярных соотношения для координат центра масс: 4) Если механическая система (в частности, твердое тело) находится в поле силы тяжести, то ее центр масс совпадает с центром тяжести, и формулы (4.14) позволяют найти его местоположение. Однако для твердого тела суммирование в правых частях равенств должно быть заменено интегрированием по его объему. Дифференцируя эти равенства по времени можно установить связь между скоростями Vi всех точек механической системы и скоростью ее центра масс VС: ) Повторное дифференцирование приведет к соотношению между ускорениями точек Wi и ускорением центра масс WС: ) Таким образом, движение центра масс механической системы зависит от характера движения каждой ее точки. В свою очередь, движение точек системы происходит под действием сил. При анализе сил отмечалось (раздел 2), что часть сил является внешними по отношению к механической системе, другие силы действуют внутри системы между ее отдельными точками. С учетом этого запишем уравнение (4.1) для каждой точки механической системы:Рi – равнодействующие внешних и внутренних сил, действующих на i - ю точку. Просуммируем левые и правые части всех N уравнений:  P Из статики известно (см. подраздел 2.1), что главный вектор внутренних сил  i 1 P любой механической системы равен нулю. Тогда с учетом (4.16) получим уравнение: Следовательно, произведение полной массы механической системы на ускорение центра ее масс равно главному вектору всех внешних сил, действующих на точки механической системы. Сравнение полученного уравнения с аксиомой 2 позволяет сделать вывод: центр масс механической системы движется как свободная материальная точка, в которой сосредоточена вся масса системы и к которой приложена сила, равная главному вектору внешних, действующих на точки системы. В проекциях на оси декартовой системы координат векторному уравнению (4.17) соответствуют три уравнения в скалярной форме: ) Здесь Fix, Fiy и Fiz – проекции на оси координат внешних сил, действующих на точку системы с номером i. Уравнения (4.18) называются дифференциальными уравнениями движения центра масс. В случае поступательного движения твердого тела эти уравнения достаточны для его полного описания. В самом деле, в разделе, посвященном кинематике, отмечалось, что описание поступательного движения сводится к описанию движения одной его точки. В динамике в качестве такой точки выбирается центр масс. Поэтому уравнения (4.18) часто называются дифференциальными уравнениями поступательного движения твердого тела. Из них, в частности, следует, что если главный вектор внешних сил равен нулю во все время движения, то центр масс механической системы будет находиться в покое или двигаться равномерно и прямолинейно. Еще один важный вывод, вытекающий из уравнений движения (4.18) состоит в следующем: внутренние силы, действующие между отдельными элементами механической системы (твердого тела), не могут изменить движения центра масс. 67 4.5. Количество движения материальной точки и механической системы Количеством движения материальной точки называют векторную величину, равную произведению массы точки на ее скорость: mi Vi. Единицей измерения количества движения служит м / с. Количеством движения механической системы К называют векторную сумму количества движения всех точек, составляющих систему:  K m V (4.19) Правую часть этого равенства, согласно (4.15), можно заменить на произведение mVC. Следовательно, количество движения механической системы (в частности, твердого тела) равно произведению ее массы на скорость центра масс: К = m VC. Отсюда видно, что количество движения является мерой поступательной части движения тела. Мерой вращательной части движения являются другие характеристики, которые будут рассмотрены ниже. Продифференцируем обе части равенства (4.19) по времени. С учетом (4.17) имеем: Это равенство составляет содержание теоремы об изменении количества движения механической системы: производная по времени от количества движения системы равна главному вектору внешних сил, действующих на систему. Сформулированная теорема широко применяется при анализе движения не только твердых тел, но и газообразных и жидких сред. Она остается справедливой при движении тел переменной массы (например, при реактивном движении). Из теоремы об изменении количества движения вытекает, что измениться оно может только в результате действия сил. Способность силы воздействовать на тело характеризуется ее импульсом. В общем случае импульс S силы F за промежуток времени от 0 до  определяется соотношением:  68 Если сила не меняется во времени, то импульс, который она передает телу, равен произведению силы на время воздействия Размерность импульса силы [м / с. Она совпадает с размерностью количества движения. Следовательно, эти физические величины взаимосвязаны. Конкретный вид такой связи вытекает из теоремы об изменении количества движения (4.20). Проинтегрируем обе части указанного равенства по времени в пределах от 0 до Свойства определенного интеграла после несложных преобразований позволяют записать: , (4.21) т.е. приращение количества движения механической системы за некоторый промежуток времени равно векторной сумме импульсов всех внешних сил, действующих на систему, за тот же промежуток времени. Поскольку сумма сил, входящая в соотношение (4.20), эквивалентна главному вектору, предыдущая формулировка может быть заменена следующей: приращение количества движения механической системы за некоторый промежуток времени равно импульсу главного вектора внешних сил за тот же промежуток времени. Обе формулировки составляют содержание теоремы импульсов. Из теоремы вытекает несколько важных следствий. Во-первых, внутренние силы не могут изменить количества движения механической системы. Во-вторых, если главный вектор внешних сил равен нулю в течение некоторого промежутка времени, то количество движения системы будет постоянным в течение этого промежутка. Наконец, в-третьих, если проекция главного вектора внешних сил на какое-нибудь направления равна нулю, то проекция количества движения на это направление будет оставаться постоянной во все время движения системы. Приведенные следствия широко используются при решении задач механики.
Читать дальше »

Как уже отмечалось, количество движения является мерой поступательной составляющей движения и не может служить 69 характеристикой движения для вращающихся тел. Действительно, рассмотрим тело, которое вращается вокруг неподвижной оси, проходящей через центр масс. Тогда VC = 0, и количество движения К = 0 в силу К = m VC. Точно так же обстоит дело с массой тела. Если для поступательного движения она служит мерой инерционности тела, то для вращательного движения эту роль играют другие характеристики. Они носят название моментов инерции. Пусть имеются материальная точка массой m и некоторая неподвижная ось. Моментом инерции материальной точки относительно некоторой оси называется скалярная величина, равная произведению массы точки на квадрат расстояния от точки до оси. Например, для материальной точки, изображенной на рис. 24, момент инерции относительно оси Ох равен Jx = m у2, относительно оси Оу – Jу = m х2, относительно оси l - Jl = m h2 (х и у – координаты точки). Единицы измерения осевых моментов [J] = кгм2. Из определения момента инерции следует, что он не может быть отрицательным. Понятие момента инерции материальной точки несложно обобщить на общий случай механической системы, состоящей из N материальных точек. Момент инерции системы равен сумме моментов инерции ее отдельных точек: где mi - масса точки с номером i , hi - расстояние этой точки до оси l. Свойство аддитивности момента инерции позволяет распространить это понятие на твердое тело произвольной формы. Если разбить весь объем, занятый телом, на бесконечно малые m l х у h Рисунок 24 О 70 элементы, то каждый такой элемент можно рассматривать как материальную точку массой dm. Момент инерции одного такого элемента, например, относительно оси Ох декартовой системы координат по определению равен (у2 + z2) dm. Тогда момент инерции всего тела может быть получен в результате интегрирования этой величины по всему объему ) Здесь масса элементарного объема тела выражена через плотность материала Аналогично могут быть записаны моменты инерции тела относительно осей Оу и Оz:  В качестве примера использования приведенных формул вычислим момент инерции прямоугольной пластины, изображенной на рис. 25. Пусть m – масса пластины, h - ее длина, в – ширина, а – толщина. Тогда объем пластины V = hва, а масса единицы объема равна m / hва. Определим сначала момент инерции Jz относительно оси Оz, проходящей через центр тяжести пластины С (рис. 25). Воспользуемся формулой . Выделим бесконечно малый элемент пластины, ограниченный координатами x, x + dx и z, z + dz. Его объем равен аdxdz , а масса dm : h в z x C Рисунок  С учетом того, что координата у = 0, интегрирование в формуле (4.25) сведется к интегрированию по координатам х и z в пределах их изменения:  Аналогично может быть получено выражение для момента инерции Jх относительно оси Ох. Оно равно Jх = mв2 / 12. Позднее нам понадобится значение момента инерции диска радиуса R и массы m относительно оси, проходящей через его центр. Он равен J = mR2/2. Из приведенного примера видно, что величина момента инерции относительно некоторой оси зависит от квадрата поперечного по отношению к данной оси размера тела. Кроме того, она зависит от положения оси, относительно которой вычисляется момент инерции. С помощью аналогичных вычислений можно показать, что момент инерции относительно оси Оz параллельной Оz и отстоящей от нее на расстоянии р равен: Jz = Jz + mp2. Отсюда следует, что, зная значение момента инерции тела относительно некоторой оси, нетрудно определить его значение относительно любой оси, параллельной данной. Другой вывод, который может быть сделан: момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс (или центр тяжести), является наименьшим из всех моментов инерции относительно осей, параллельных ей.
Читать дальше »

При анализе сил, действующих на твердое тело, отмечалось, что вращательный эффект силы определяется ее моментом относительно некоторой точки или оси. Величина момента силы в общем случае находится по формуле (2.10) как векторное произведение радиус- вектора, проведенного в точку приложения силы, на вектор самой силы: M(F) = r x F. Точно так же для количественного описания вращательного движения служит особая характеристика - момент количества движения. Она определяется аналогично понятию момента силы, а именно: моментом количества движения МО(mV) материальной точки относительно некоторой центра О называется векторное произведение: 72 МО(mV) = r x mV (4.26) Направление вектора МО(mV) определяется по обычным правилам для векторного произведения. Единицей измерения момента количества движения служит кгм2/с. Моментом количества движения механической системы (или кинетическим моментом) называется векторная сумма моментов количества движения всех точек, составляющих систему:  ) Здесь моменты количества движения всех материальных точек, составляющих систему, вычисляются относительно одного и того же центра О. В том случае, когда механическая система представляет собой твердое тело, суммирование в формуле (4.27) заменяется на интегрирование по всему объему тела. Рассмотрим, как связаны кинематические характеристики вращающегося тела и его момент количества движения. Пусть твердое тело вращается с угловой скоростью  вокруг неподвижной оси Оz (рис. 26). Выделим в теле бесконечно малый элемент массой dm, находящийся на расстоянии h от оси вращения: h = x2 ? y2 , где х и у – координаты выделенного элемента. Траекторией его движения является окружность с центром на оси вращения. Скорость движения элемента направлена по касательной к траектории, а ее величина равна ? h. Так что вектор количества движения направлен также по касательной к траектории, и величина его равна . Момент количества движения выделенного элемента относительно оси Оz равен его моменту количества движения относительно любой точки на этой оси (так же как в случае момента силы относительно оси). В качестве такой точки возьмем точку пересечения оси Оz и плоскости движения рассматриваемого элемента (рис. 26). Тогда плечом вектора количества движения служит величина h, а момент количества движения равен:  . Момент количества движения всего тела получим путем интегрирования этого выражения по его объему:  Здесь использовано соотношение (4.25) для момента инерции твердого тела. Таким образом, кинетический момент вращающегося тела равен произведению угловой скорости вращения на момент инерции тела относительно оси вращения. Нетрудно увидеть аналогию между количественными характеристиками поступательного и вращательного движения. При поступательном движении количество движения механической системы определяется по формуле: К = m VC. При вращательном движении аналогом этой формулы служит соотношение (4.28): Lz = Jz?. Следовательно, кинетический момент Lz является аналогом количества движения К, т. е. служит мерой вращательного движения. При этом мерой инерционности является момент инерции Jz. Выясним, что может быть причиной изменения момента количества движения. Сначала рассмотрим движение одной материальной точки. Оно подчиняется уравнению  равнодействующая всех сил, действующих на точку. Умножим векторно левую и правую части уравнения движения на радиус-вектор точки относительно некоторого центра О: r F (4.29) Справа от знака равенства стоит момент силы относительно точки О: Левая часть равенства может быть преобразована следующим образом:4 Здесь использованы свойства производной и векторного произведения двух векторов. В последнем слагаемом V . Следовательно, векторно перемножаются два параллельных вектора. Такое произведение, как известно из курса математики, равно нулю. Произведение r  mV, согласно , представляет собой момент количества движения материальной точки МО(mV) относительно центра О. В результате из предыдущего вытекает уравнение:  которое показывает, что причиной изменения момента количества движения материальной точки является вращательный эффект действующих на нее сил. Уравнение (4.30) устанавливает количественную сторону этой связи. В механической системе, состоящей из N точек, для каждой из них можно составить уравнение …, N Просуммируем левые и правые части всех этих уравнений. Сумма левых частей, согласно (4.27), может быть представлена в виде:  В правой части в результате суммирования уравнений получим сумму моментов всех сил (главный момент), действующих на точки механической системы. При этом сумма слагаемых, включающих внутренние силы, будет равна нулю. Действительно, каждой силе, действующей внутри механической системы, соответствует равная по величине и противоположная по направлению сила (аксиома 3). Поэтому моменты этих двух сил будут уравновешивать друг друга. В итоге получаем уравнение: Полученное уравнение представляет собой символьную запись теоремы об изменении кинетического момента: производная по времени от кинетического момента механической системы относительно некоторой точки равна главному моменту внешних 75 сил, действующих на точки системы, относительно той же точки. Сформулированная теорема является основной при изучении вращательного движения твердых тел. Для вращающегося вокруг оси Оz тела, согласно (4.28), кинетический момент равен: Lz =Jz . Если во время вращения форма тела не меняется, то момент инерции Jz = const, и уравнение (4.31) в этом случае примет вид: Полученное уравнение называется дифференциальным уравнением вращательного движения твердого тела. В его правой части суммирование ведется по всем силам, действующим на тело. Используя обозначение для углового ускорения  , предыдущее уравнение можно записать в форме аналогичной уравнению (4.17), описывающему поступательное движение твердого тела:
Читать дальше »

Из кинематики известно (подраздел 3.4.), что плоскопараллельное движение твердого тела представляет собой наложение поступательного и вращательного движений. Оно полностью описывается тремя уравнениями (3.31), два из которых задают движение полюса, а третье характеризует вращение тела вокруг полюса. В динамике при составлении уравнений плоского движения в качестве полюса всегда выбирается центр масс тела С. Такой выбор объясняется тем, что центр масс является единственной подвижной точкой, для которой теорема об изменении кинетического момента (4.31) имеет такой же вид, как и для неподвижной точки. При выбранном полюсе поступательная часть движения подчиняется векторному уравнению (4.17), которое в проекциях на оси декартовой системы координат равносильно двум скалярным уравнениям:  76 Здесь Fjx и Fjy – проекции на координатные оси внешних сил, действующих на тело, хС и уС – координаты центра масс (в поле сил тяжести – центра тяжести) тела. Вращательная часть движения тела подчиняется векторному уравнению (4.31), проектируя которое на ось Оz, перпендикулярную плоскости движения тела и проходящую через его центр масс получим: ) Здесь моменты инерции и моменты внешних сил вычисляются относительно оси Оz. Уравнения (4.33) и (4.34) называются дифференциальными уравнениями плоскопараллельного движения твердого тела.



Читать дальше »

Эффект действия сил на механические системы не ограничивается изменением их количества движения или кинетического момента. Другие характеристики сил – мощность и работа. Мощность силы N при ее действии на механическую систему определяется скалярным произведением силы на скорость точки ее приложения: N =V = FV cos (F,?V) (4.35) Если известны проекции силы и скорости на оси декартовой системы координат, то выражение для мощности силы можно представить в виде: V  ? ? (4.36) Здесь x, y и z – координаты точки приложения силы. Из предыдущих выражений следует, что мощность силы положительна, если угол между вектором силы и скорости острый. В этом случае сила оказывает разгоняющий эффект на твердое тело. Наоборот, если угол между силой и скоростью тупой, то сила оказывает на тело замедляющее воздействие, и мощность силы отрицательна. Наконец, если сила перпендикулярна направлению скорости, то мощность силы равна нулю. Сила не имеет мощности и тогда, когда она приложена к неподвижной точке (V = 0). Размерностью мощностью, как это следует из ее определения, 77 является ватт: Н м / с = Вт. Мощность является характеристикой силы в текущий момент времени. Работа в отличие от мощности представляет собой интегральную характеристику силы, определяющую ее воздействие на тело в течение некоторого промежутка времени. Работой силы А за промежуток времени от  называется величина:  (4.37) Если мощность в течение указанного промежутка времени остается постоянной, то работа силы равна произведению мощности на величину промежутка времени: ). Отсюда следует, что единицей измерения работы является джоуль: Вт= Дж. Работа, как и мощность, может принимать положительные, отрицательные, а также нулевые значения. Рассмотрим бесконечно малый промежуток времени d. За этот промежуток сила совершит работу, равную dA = N . Используя соотношение (4.35) можем записать: dA = F Заменим теперь вектор скорости с помощью соотношения (3.6). Тогда для элементарной работы dA получим выражение dA = F  dr . Величина работы за промежуток времени от  может быть получена с помощью интегрирования элементарной работы: 38) Здесь r1 и r2 – радиусы-векторы точки приложения силы в моменты времени 2 соответственно. Выражение (4.38) для вычисления величины работы удобно использовать тогда, когда характер движения тела не известен, и мощность силы в каждый момент времени не может быть подсчитана. При этом зависимость силы F от положения точки, к которой она приложена должна быть задана. В частности, если сила постоянна, а движение тела происходит по прямой, то работа определяется по следующей формуле, вытекающей из (4.38): А = F s cos (F,?V) (4.39) где s – пройденный телом путь. 78 Рассмотрим несколько примеров вычисления работы сил, которые часто встречаются при функционировании технологического оборудования. Работа силы тяжести. Пусть тело массой m перемещается в поле силы тяжести. При этом на него действует направленная вертикально вниз постоянная по величине сила равная mg (g – ускорение свободного падения). Если r1 и r2 – радиусы-векторы, характеризующие положение центра тяжести тела в начальном и в конечном положении, то из соотношения (4.38) следует: (r r F r Вектор (r2 – r1) соединяет начальное и конечное положение центра тяжести тела (рис. 27). Скалярное произведение этого вектора на вектор ускорения свободного падения g равно перепаду высот h между начальным и конечным положением тела. Поэтому величина работы силы тяжести может быть представлена в виде: А =gh (4.40) Знак «+» в полученном выражении (работа положительна) берется тогда, когда угол между векторами (r2 – r1) и g острый, т. е. тело под действием силы тяжести движется вниз. Работа отрицательна (в выражении (4.40) выбирается знак «-»), если тело движется вверх, преодолевая действие силы тяжести. Работа сил во вращательном движении. Пусть сила F действует на твердое тело, которое вращается вокруг оси Оz с угловой скоростью  Вектор скорости V точки приложения силы направлен по касательной к траектории в сторону движения точки, а по величине он равен  h, где на сей раз h – расстояние от точки приложения силы до оси вращения. В определении мощности (4.35) произведение F cos g r2 -r1 r2 r1 O Рисунок 27 79 (F,? V) есть не что иное, как проекция силы F на направление касательной Fm. Следовательно, величину мощности при вращательном движении определяет только касательная составляющая силы. При этом мощность равна: N = Fm  h. Но произведение Fm h равно моменту силы F относительно оси Оz. Поэтому мощность может быть вычислена с помощью формулы: N = (F)M (4.41) Знак в этом выражении выбирается в зависимости от того, является ли сила разгоняющей или замедляющей. Если на тело действует не одиночная сила, а пара сил с моментом М, то выражение (4.41) сохранит свой вид, только вместо момента силы Mz(F) следует подставить момент пары М. По известной мощности работу силы за промежуток времени от 1 до2 можно найти по формуле (4.37): Здесь2 – значения угла поворота тела, соответствующие моментам времени . Если во время вращения момент силы остается постоянным, то предыдущая формула упрощается:  т. е. работа крутящего момента равна произведению его величины на угол поворота. Знак выбирается из тех же соображений, что и в соотношении (4.41). Работа силы упругости. Как уже отмечалось, сила упругости пропорциональна расстоянию х до некоторой фиксированной точки О (обычно она соответствует положению упругого элемента в недеформированном состоянии): F = - cx. Пусть в момент времени 1 упругий элемент занимал положение х1, а в момент времени 2 – положение х2. Воспользуемся формулой (4.38). В рассматриваемом случае она примет вид: Таким образом, работа силы упругости пропорциональна коэффициенту жесткости и разности квадратов координат начального 80 и конечного положения упругого элемента. Если упругий элемент удаляется от нейтрального недеформированного положения , то работа силы упругости отрицательна. В противном случае – положительна.
Читать дальше »

Понятие механической энергии является одним из центральных понятий механики. Из курса физики известно, что энергия может существовать в различных видах. Для движущихся механических систем основной вид энергии – кинетическая энергия. Кинетическая энергия Т материальной точки, обладающей массой m и скоростью V, равна: 2 mV 2 T 4.45) Кинетическая энергия механической системы, состоящей из N материальных точек, равна сумме их кинетических энергий: 46) Из определения кинетической энергии следует, что ее размерностью является джоуль: кгж. Однако, в отличие от работы кинетическая энергия не может быть отрицательной. Для твердых тел последнюю сумму следует заменить интегрированием по всему объему тела D:  Здесь  - плотность (масса единицы объема) вещества, из которого состоит твердое тело. Приведенные общие формулы для расчета кинетической энергии существенно упрощаются для типовых видов движения твердого тела. Так, при поступательном движении, как известно из кинематики, все точки тела обладают одинаковой скоростью. Поэтому функция, стоящая под знаком интеграла в (4.47), постоянна и может быть вынесена за знак интегрирования. Оставшийся интеграл равен объему тела. Следовательно, величина кинетической энергии при поступательном движении тела может быть рассчитана по формуле:  Здесь учтено, что произведение плотности на объем тела равно его массе, а в качестве скорости использована скорость центра масс тела, поскольку она такая же, как и скорость любой другой точки. Таким образом, при поступательном движении тела его кинетическая энергия рассчитывается по формуле аналогичной формуле (4.45) для кинетической энергии материальной точки. Рассмотрим теперь вращательное движение твердого тела (рис. 26). Бесконечно малый элемент, находящийся на расстоянии h = x2 ? y2 от оси вращения, имеет скорость, равную  h . Тогда, согласно (4.47), имеем: ? ? D J dm x y dm h  где использовано выражение (4.25) для момента инерции тела относительно оси вращения. Полученное соотношение показывает, что при поступательном и вращательном движениях кинетическая энергия тела вычисляется схожим образом (формулы (4.48) и (4.49)). Аналогия, отмеченная при анализе количественных характеристик поступательного и вращательного движений, сохраняется и здесь. При плоскопараллельном движении твердого тела его полная кинетическая энергия складывается из кинетической энергии поступательного и кинетической энергии вращательного движения вокруг полюса. Если в качестве полюса вновь выбрать центр масс твердого тела, то для вычисления полной кинетической энергии при этом виде движения следует объединить соотношения (4.48) и (4.49): 2 2m ? (4.50) Здесь Jz – момент инерции твердого тела относительно оси, перпендикулярной плоскости движения и проходящей через центр масс. Выясним теперь, за счет чего может измениться величина кинетической энергии механической системы. Для этого рассмотрим сначала одну материальную точку. Движение материальной точки подчиняется уравнению (4.1): m W = F, где F – равнодействующая всех сил, действующих на точку. Умножим обе части этого уравнения скалярно на вектор скорости точки: 82 mW V. Правая часть полученного равенства, согласно (4.35), равна мощности N сил, действующих на точку. Левая часть может быть преобразована следующим образом: 2 V 2 W V V Следовательно, производная по времени от кинетической энергии материальной точки равна алгебраической сумме мощностей всех сил, действующих на точку (или мощности их равнодействующей):  (4.51) В случае механической системы, состоящей из n материальных точек, предыдущее утверждение справедливо для каждой из точек: i i N , …, n Просуммируем левые и правые части всех этих равенств. Тогда слева, согласно (4.46), получим полную кинетическую энергию механической системы, а справа – сумму мощностей всех действующих в системе (4.52) Следовательно, производная по времени от кинетической энергии механической системы равна алгебраической сумме мощностей всех сил, действующих в системе. Это означает, что скорость изменения кинетической энергии определяется величиной мощности всех сил, вызывающих движение. Соотношение (4.52) справедливо для данного момента времени. Если требуется установить, насколько изменилась кинетическая энергия тела за некоторый конечный промежуток времени от 2, то предыдущее равенство нужно проинтегрировать по времени в пределах указанного промежутка: 8 1 В правой части этого соотношения, согласно (4.37), получим алгебраическую сумму работ всех действующих на тело сил, а в левой части – изменение полной кинетической энергии тела за промежуток времени (). Таким образом, изменение кинетической энергии механической системы за некоторый конечный промежуток времени равно алгебраической сумме работ всех сил: ?.53) Сформулированное утверждение является одним из наиболее важных в механике, поскольку оно справедливо для любого вида движения твердого тела. В качестве иллюстрации эффективности использования энергетического подхода рассмотрим следующую задачу. Пусть требуется определить силу натяжения каната подъемной машины в начальный момент подъема груза, когда он приходит в движение из состояния покоя (рис. 28). Будем считать известными массу груза m, момент инерции барабана J и его радиус R, а также величину вращающего момента М, приложенного к барабану. Решение. Полная кинетическая энергия системы «барабан-груз» в любой момент времени складывается из кинетической энергии груза и кинетической энергии барабана. Груз движется поступательно, его кинетическая энергия определяется соотношением (4.48). Кинетическая энергия вращающегося барабана вычисляется с помощью формулы (4.49). Следовательно, полная кинетическая энергия Т системы равна: mg W М Рисунок 28 84 2 Здесь использовано соотношение (3.24), связывающее линейную скорость V при вращательном движении с угловой скоростью ?. Воспользуемся равенством (4.52) для скорости изменения кинетической энергии. Левая часть этого равенства в условиях рассматриваемой задачи равна: V Определим теперь сумму мощностей всех сил, действующих в системе «барабан-груз». К указанным усилиям относятся вес груза, вращающий момент, вес барабана и опорная реакция. Две последние силы мощности не имеют, поскольку приложены к неподвижным точкам. Найдем мощности веса груза и вращающего момента. Вес груза, согласно (4.35), имеет мощность N = - mgV. Знак минус учитывает то обстоятельство, что сила веса направлена в сторону, противоположную направлению движения. Вращающий момент, согласно (4.41), имеет мощность N = M / R. Сумма мощностей будет, таким образом, равна: . Приравнивая полученный результат и правую часть (4.54), для ускорения груза имеем:  2 / R J mg m R M W . В соответствии с принципом Даламбера (подраздел 4.3) натяжение каната равно сумме веса груза и силы инерции: ( mg + mW ) = mg ( 1 + W / g ). Отсюда видно, что влияние силы инерции определяется величиной ускорения груза по сравнению с величиной ускорения свободного падения
Читать дальше »

Колебательные движения играют огромную роль при эксплуатации химического оборудования. Чаще всего инженер-технолог сталкивается с частным видом колебаний – вибрациями (колебания с 85 малой амплитудой, но большой частотой). С точки зрения работоспособности технологических машин и аппаратов вибрации крайне нежелательны, поскольку оборудование при этом испытывает переменные во времени циклические нагрузки. Большинство конструкционных материалов сопротивляется таким нагрузкам гораздо хуже, чем статическим. В подразделе 4.2. уже рассматривалось колебательное движение материальной точки, но проведенный анализ был неполным и привел к результату, противоречащему практике. Причина противоречия заключалась в том, что анализ не учитывал сил сопротивления. Любая реальная колебательная система состоит из нескольких обязательных составляющих: упругого элемента, источника вынуждающей силы, инерционного элемента (принципиальная схема простейшей колебательной системы приведена на рис. 29). Упругий элемент порождает появление упругой силы Fупр, которая, как уже отмечалось ранее, в любой момент времени направлена в сторону нейтрального недеформированного положения, и величина которой пропорциональна расстоянию до него. Вынуждающая сила F() является внешней причиной колебаний. Она, как правило, периодически меняется во времени. Инерционный элемент определяется массой колебательной системы m. Он вызывает появление сил инерции. В реальных колебательных системах, помимо перечисленных сил, всегда существуют силы, препятствующие поддержанию движения. Это силы трения и силы гидравлического сопротивления. Если колебания элементов оборудования особенно нежелательны, то в конструкции вводятся специальные устройства, предназначенные для демпфирования (подавления) колебаний. В любом случае сила сопротивления Fсопр пропорциональна скорости движения колеблющегося тела и направлена в сторону, противоположную направлению движения. Приведенные предварительные замечания позволяют перейти к описанию поведения колебательных систем. Основой описания является уравнение движения (4.17), в котором за центр масс принят Рисунок 29 m c k F(?) 86 центр масс колеблющегося тела. Пусть движение происходит в горизонтальном направлении вдоль координатной оси Ох. Совместим начало координат с положением центра масс при нейтральном состоянии колебательной системы и спроектируем уравнение на координатную ось. При этом проекция силы тяжести инерционного элемента будет равна нулю. В результате получим: сопр уп Сила сопротивления с учетом сделанных замечаний может быть выражена соотношением: Fсопр = k V =  dx ? k C (k – коэффициент сопротивления), а сила упругости пропорциональна координате х: Fупр = - с х (с – коэффициент упругости или жесткости). Вынуждающая сила при гармоническом характере внешних воздействий может быть аппроксимирована следующим выражением:  ? – частота колебаний возмущающей силы. Подставляя все выражения для сил в предыдущее уравнение, получим дифференциальное уравнение, описывающее движение центра масс простейшей колебательной системы: sin  Это уравнение сводится к уравнению свободных незатухающих колебаний (4.5) при отсутствии вынуждающей силы (F0 = 0) и сопротивления движению (k = 0). При этом инерционный элемент будет совершать колебания (4.6) с частотой c m  , которая называется собственной частотой колебаний колебательной системы. Учет сил сопротивления в уравнении (4.55) в условиях отсутствия вынуждающей силы (k  0, F0 = 0) приведет к однородному дифференциальному уравнению второго порядка с постоянными коэффициентами следующего вида: 0 2 2 ? ? (4.56) Непосредственной подстановкой нетрудно убедиться, что общим решением этого уравнения является функция:  где А1 и А2 – постоянные интегрирования, значения которых находятся из начальных условий,  - частота колебаний с учетом сил сопротивления. Функция (4.57) описывает затухающие колебания, поскольку сомножитель перед скобкой убывает с течением времени. Причем, при  центр масс колеблющегося тела неограниченно приближается к началу координат, т. е. к положению равновесия. При этом, чем большей инерционностью обладает колебательная система, тем медленнее происходит затухание колебаний. Таким образом, влияние сил сопротивления проявляется двояко: в смещении частоты колебаний и в их полном подавлении с течением времени. Рассмотрим теперь наиболее важный для практики случай, когда колебания обусловлены действием вынуждающей силы. Для простоты будем пренебрегать силой сопротивления, поскольку их эффект уже проанализирован. В этом случае общее уравнение (4.55) примет вид:  sin 2 0 2 cx F d d x m C C ?  (4.58) Из курса математики известно, что общим решением уравнений такого вида является сумма общего решения соответствующего однородного уравнения (с нулевой правой частью) и частного решения неоднородного. Общее решение однородного уравнения получено ранее. Оно задается соотношением (4.6). Частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде: x? Bsin(4.59) Подставляя это выражение в уравнение (4.58), после несложных преобразований убеждаемся, что функция (4.59) будет удовлетворять уравнению, если величина коэффициента В равна: ( 2 2 ) 0m F B . Следовательно, общее решение уравнения (4.58), описывающее закон движения центра масс колебательной системы при вынужденных колебаниях, будет иметь вид: 88  ? ? ?  (4.60) Из полученного решения видно, что вынужденные колебания складываются из двух движений: из чисто вынужденных колебаний (первое слагаемое в (4.60)) и из сопровождающих колебаний (второе и третье слагаемые). Чисто вынужденные колебания происходят с частотой вынуждающей силы, в то время как частота сопровождающих колебаний определяется свойствами самой колебательной системы. При совпадении указанных частот сомножитель в первом слагаемом обращается в бесконечность. В реальности с учетом сил сопротивления это означает, что амплитуда колебаний становится значительно больше, чем при несовпадении частот вынужденных и собственных колебаний. Это явление называется резонансом. Достижение резонанса, как правило, приводит к разрушению механической системы. Поэтому при эксплуатации химического оборудования, когда возникают колебания некоторых его элементов, резонанса пытаются всячески избежать. Это можно сделать с помощью ряда мер, которые непосредственно подсказывает вид решения (4.60). Например, можно снизить амплитуду вынуждающей силы, уменьшив величину F0, за счет улучшения балансировки движущихся узлов оборудования. Иногда удается избежать резонанса путем изменения собственной частоты системы. Поскольку собственная частота равна c  , это можно сделать, изменив массу колеблющихся элементов оборудования или жесткость упругих элементов. Еще один путь – установка специальных демпферов, гасящих колебания.
Читать дальше »

Понятие механической энергии является одним из центральных понятий механики. Из курса физики известно, что энергия может существовать в различных видах. Для движущихся механических систем основной вид энергии – кинетическая энергия. Кинетическая энергия Т материальной точки, обладающей Кинетическая энергия механической системы, состоящей из N материальных точек, равна сумме их кинетических энергий: Из определения кинетической энергии следует, что ее размерностью является джоуль: кгм2 /с2 = Нм = Дж. Однако, в отличие от работы кинетическая энергия не может быть отрицательной. Для твердых тел последнюю сумму следует заменить интегрированием по всему объему тела D: Здесь - плотность (масса единицы объема) вещества, из которого состоит твердое тело. Приведенные общие формулы для расчета кинетической энергии существенно упрощаются для типовых видов движения твердого тела. Так, при поступательном движении, как известно из кинематики, все точки тела обладают одинаковой скоростью. Поэтому функция, стоящая под знаком интеграла в (4.47), постоянна и может быть вынесена за знак интегрирования. Оставшийся интеграл равен объему тела. Следовательно, величина кинетической энергии при поступательном движении тела может быть рассчитана по формуле: Здесь учтено, что произведение плотности на объем тела равно его массе, а в качестве скорости использована скорость центра масс тела, поскольку она такая же, как и скорость любой другой точки. Таким образом, при поступательном движении тела его кинетическая энергия рассчитывается по формуле аналогичной формуле (4.45) для кинетической энергии материальной точки. Рассмотрим теперь вращательное движение твердого тела (рис. 26). Бесконечно малый элемент, находящийся на расстоянии h = x2 ? y2 от оси вращения, имеет скорость, равную  h . Тогда, согласно (4.47), имеем: где использовано выражение (4.25) для момента инерции тела относительно оси вращения. Полученное соотношение показывает, что при поступательном и вращательном движениях кинетическая энергия тела вычисляется схожим образом (формулы (4.48) и (4.49)). Аналогия, отмеченная при анализе количественных характеристик поступательного и вращательного движений, сохраняется и здесь. При плоскопараллельном движении твердого тела его полная кинетическая энергия складывается из кинетической энергии поступательного и кинетической энергии вращательного движения вокруг полюса. Если в качестве полюса вновь выбрать центр масс твердого тела, то для вычисления полной кинетической энергии при этом виде движения следует объединить соотношения (4.48) и (4.49): Здесь Jz – момент инерции твердого тела относительно оси, перпендикулярной плоскости движения и проходящей через центр масс. Выясним теперь, за счет чего может измениться величина кинетической энергии механической системы. Для этого рассмотрим сначала одну материальную точку. Движение материальной точки подчиняется уравнению (4.1): m W = F, где F – равнодействующая всех сил, действующих на точку. Умножим обе части этого уравнения скалярно на вектор скорости точки: Правая часть полученного равенства, согласно (4.35), равна мощности N сил, действующих на точку. Левая часть может быть преобразована следующим образом: Следовательно, производная по времени от кинетической энергии материальной точки равна алгебраической сумме мощностей всех сил, действующих на точку (или мощности их равнодействующей): В случае механической системы, состоящей из n материальных точек, предыдущее утверждение справедливо для каждой из точек: Просуммируем левые и правые части всех этих равенств. Тогда слева, согласно (4.46), получим полную кинетическую энергию механической системы, а справа – сумму мощностей всех действующих в системе сил: Следовательно, производная по времени от кинетической энергии механической системы равна алгебраической сумме мощностей всех сил, действующих в системе. Это означает, что скорость изменения кинетической энергии определяется величиной мощности всех сил, вызывающих движение. Соотношение (4.52) справедливо для данного момента времени. Если требуется установить, насколько изменилась кинетическая энергия тела за некоторый конечный промежуток времени от 2, то предыдущее равенство нужно проинтегрировать по времени в пределах указанного промежутка: В правой части этого соотношения, согласно (4.37), получим алгебраическую сумму работ всех действующих на тело сил, а в левой части – изменение полной кинетической энергии тела за промежуток времени 1). Таким образом, изменение кинетической энергии механической системы за некоторый конечный промежуток времени равно алгебраической сумме работ всех сил: Сформулированное утверждение является одним из наиболее важных в механике, поскольку оно справедливо для любого вида движения твердого тела. В качестве иллюстрации эффективности использования энергетического подхода рассмотрим следующую задачу. Пусть требуется определить силу натяжения каната подъемной машины в начальный момент подъема груза, когда он приходит в движение из состояния покоя (рис. 28). Будем считать известными массу груза m, момент инерции барабана J и его радиус R, а также величину вращающего момента М, приложенного к барабану. Решение. Полная кинетическая энергия системы «барабан-груз» в любой момент времени складывается из кинетической энергии груза и кинетической энергии барабана. Груз движется поступательно, его кинетическая энергия определяется соотношением (4.48). Кинетическая энергия вращающегося барабана вычисляется с помощью формулы (4.49). Следовательно, полная кинетическая энергия Т системы равна: Здесь использовано соотношение (3.24), связывающее линейную скорость V при вращательном движении с угловой скоростью . Воспользуемся равенством (4.52) для скорости изменения кинетической энергии. Левая часть этого равенства в условиях рассматриваемой задачи равна: Определим теперь сумму мощностей всех сил, действующих в системе «барабан-груз». К указанным усилиям относятся вес груза, вращающий момент, вес барабана и опорная реакция. Две последние силы мощности не имеют, поскольку приложены к неподвижным точкам. Найдем мощности веса груза и вращающего момента. Вес груза, согласно (4.35), имеет мощность N = - mgV. Знак минус учитывает то обстоятельство, что сила веса направлена в сторону, противоположную направлению движения. Вращающий момент, согласно (4.41), имеет мощность N = M = MV / R. Сумма мощностей будет, таким образом, равна: Приравнивая полученный результат и правую часть (4.54), для ускорения груза имеем: В соответствии с принципом Даламбера (подраздел 4.3) натяжение каната равно сумме веса груза и силы инерции: ( mg + mW ) = mg ( 1 + W / g ). Отсюда видно, что влияние силы инерции определяется величиной ускорения груза по сравнению с величиной ускорения свободного падения.
Читать дальше »

1. Что изучает динамика ? 2. В чем состоят первая и вторая задачи динамики ? 3. В чем смысл первой аксиомы динамики ? 4. Сформулируйте основной закон механики. 5. Запишите дифференциальное уравнение движения материальной точки. 6. Запишите дифференциальное уравнение движения материальной точки в естественных осях. 7. Что такое сила инерции и от чего зависит ее величина ? 8. Сформулируйте принцип Даламбера. В чем состоит его смысл ? 89 9. Чему равны нормальная и касательная составляющие силы инерции для вращающегося тела ? 10. Что такое центр масс механической системы ? 11. Как вычисляется скорость и ускорение центра масс ? 12. Запишите дифференциальное уравнение поступательного движения твердого тела. 13. Что такое количество движения механической системы ? 14. Сформулируйте теорему об изменении количества движения механической системы. 15. Как определяется импульс силы за некоторый промежуток времени ? 16. В чем состоит содержание теоремы импульсов ? 17. Могут ли внутренние силы, действующие в механической системе, изменить ее количество движения ? 18. Как определяется момент инерции механической системы и твердого тела относительно некоторой оси ? 19. Что такое момент количества движения механической системы ? 20. Существует ли аналогия между количественными характеристиками поступательного и вращательного движения ? 21. За счет чего может измениться кинетический момент механической системы ? 22. Запишите дифференциальное уравнение вращательного движения твердого тела. 23. Запишите дифференциальное уравнение плоскопараллельного движения твердого тела. 24. Как определяется мощность силы ? От чего она зависит ? 25. Как определяется работа силы за некоторый промежуток времени ? 26. Могут ли мощность и работа силы принимать отрицательные значения ? 27. Чему равна работа сил при вращении твердого тела ? 28. Чему равна работа силы тяжести ? 29. Что такое кинетическая энергия механической системы ? 30. Чему равна кинетическая энергия при поступательном движении твердого тела ? 31. Чему равна кинетическая энергия при вращательном движении ? 32. За счет чего может измениться кинетическая энергия механической системы ? 33. Чему равно изменение кинетической энергии механической системы за некоторый промежуток времени ? 34. Какие элементы включает простейшая колебательная система ? 35. Какие силы учитываются при анализе колебательных систем ? 36. Запишите дифференциальное уравнение движения центра масс колебательной системы. 37. Что такое резонанс, в чем он выражается ?
Читать дальше »

НАПРЯЖЕНИЯ И ДЕФОРМАЦИИ В ЭЛЕМЕНТАХ ОБОРУДОВАНИЯ, МОДЕЛИРУЕМЫХ В ФОРМЕ СТЕРЖНЯ Основная задача инженера технолога на химическом предприятии состоит в обеспечении безотказной работы оборудования, находящегося в сфере его ответственности. Безотказная работа оборудования означает, что оно находится в работоспособном состоянии, когда все параметры, характеризующие функционирование установки, аппарата или машины, находятся в пределах, установленных нормативно-технической документацией (например, технологическим регламентом). Потеря работоспособ- ности (отказ) может быть вызвана несколькими причинами (разрушением одного из элементов оборудования, недопустимо большими деформациями деталей, нарушением герметичности рабочего объема и т. д.). Каждая из этих причин связана, в конечном счете, с некоторыми изменениями в конструкционном материале под действием внешних нагрузок. Провести анализ таких изменений в рамках представлений об абсолютно твердом теле, конечно, нельзя. Поэтому в настоящем разделе и во всех последующих используется расчетная схема деформируемого тела. 5.1. Упругость, перемещения и деформации твердых тел Абсолютно твердых недеформируемых тел, которые рассматривались в предыдущих разделах, на самом деле не существует. В процессе эксплуатации оборудования все его детали под действием внешних нагрузок и физико-химических воздействий изменяют свои первоначальные размеры и форму, то есть деформируются, корродируют, изнашиваются. Эти изменения при неограниченном возрастании указанных воздействий могут привести либо к разрушению конструкции, либо к недопустимому для дальнейшей эксплуатации искажению ее формы и размеров. Поэтому первое, с чего следует начать изучение поведения реальных тел под действием нагрузок, это введение количественных характеристик для изменений их размеров и формы. Пусть при деформировании детали под действием сил некоторая точка М переместится в пространстве в новое положение М1. Вектор ММ1, имеющий начало в точке М недеформированного тела, а конец в той же точке М1 деформированного тела, называется вектором полного перемещения точки. Его проекции u, v, w на оси координат декартовой системы координат носят название перемещений точки по осям. Величина вектора перемещения и его направление при заданных нагрузках зависят от положения точки М. Для характеристики интенсивности локального изменения размера и формы тела существует понятие деформации в точке. Мысленно 91 выделим вокруг точки М бесконечно малый параллелепипед со сторонами  В результате изменения размера и формы нагруженного тела ребра параллелепипеда получат удлинения ?x, ?y, ?z. Относительными линейными деформациями в данной точке материала называются величины, определяемые следующими отношениями:) В каждом отношении в числителе стоит абсолютное удлинение элементарного параллелепипеда в данном направлении, а в знаменателе – исходная длина параллелепипеда в этом же направлении до нагружения. Следует заметить, во-первых, что относительная линейная деформация (или просто деформация) – характеристика сугубо локальная, т. е. она является функцией пространственных координат. Во-вторых, в одной точке, но в разных направлениях она может быть различной. Относительная деформация размерности не имеет и для обычных конструкционных материалов это величина порядка 10-3. Другими словами, изменение размеров и формы нагруженных тел, как правило, незначительны и могут быть измерены лишь специальными приборами – тензометрами. Кроме линейных деформаций в твердом теле возникают угловые деформации. Количественно они характеризуются углом сдвига  (рис. 30), который рассчитывается по формуле:  Величина называется абсолютным сдвигом, а угол  – относительным сдвигом. Он характеризует перекос элементарного параллелепипеда в плоскости ху. Аналогично определяются угловые деформации в плоскостях xz и yz, которые обозначаются соответственно через . Как и линейные деформации, углы сдвига также малы. Их значения лежат в области 10-4. Поэтому в формуле (5.2) значение тангенса и его аргумента практически не отличаются. Совокупность трех линейных z и трех угловых деформаций  по различным направлениям и плоскостям для данной точки полностью характеризует деформированное состояние конструкционного материала в точке. При известных характеристиках деформированного состояния во всем объеме материала может быть оценена величина максимальных перемещений нагруженной детали, которые затем сравниваются с их допускаемыми значениями. Последние обычно известны из практики эксплуатации соответствующего оборудования. Количественная оценка и сравнение максимальных перемещений с допускаемыми значениями составляют существо расчетов на жесткость. С понятием деформаций связано одно из наиболее важных свойств конструкционных материалов – их упругость. Под упругостью, как известно, понимают способность твердых тел полностью восстанавливать свою форму и размеры после снятия внешних нагрузок. Точные измерения показывают, что любые материалы даже при небольших нагрузках получают остаточные деформации. Так что свойство упругости представляет собой, строго говоря, еще одну идеализацию из числа тех, на которых строятся расчетные схемы механики. При небольших нагрузках величина остаточных деформаций пренебрежимо мала, но с увеличением нагрузок растут и остаточные деформации. Для каждого элемента конструкции и каждой детали существует некие предельные нагрузки, выше которых остаточные деформации становятся существенными, т. е. деталь необратимо меняет свои размеры и форму. При эксплуатации технологического оборудования таких нагрузок допускать нельзя. Все узлы и детали должны работать в области упругих деформаций.
Читать дальше »