Нажмите на баннер и автоматически будете на моей странице "Вконтакте"

 

 Телефон мобильный;

 8(965)049-25-97(Билайн)

 Электронная почта;

 89650492597@mail.ru

 

 


Решение задачи, контрольных для студентов

Решение задач — это процесс выполнение мыслительных действий, направленный на получение заданной цели.

Процесс решения задачи состоит из:
1)Подготовка данных;
2)Определение способа (метода) решения (если он не задан условием);
3)Нахождение решения задачи.

Если у вас нет времени или задали сложные примеры которые Учитель не смог грамотно объяснить, я смогу вам помочь, срок решения от четырёх дней. Цена определяется после изучения (просмотра) задания.


















Эффект действия сил на механические системы не ограничивается изменением их количества движения или кинетического момента. Другие характеристики сил – мощность и работа. Мощность силы N при ее действии на механическую систему определяется скалярным произведением силы на скорость точки ее приложения: N =V = FV cos (F,?V) (4.35) Если известны проекции силы и скорости на оси декартовой системы координат, то выражение для мощности силы можно представить в виде: V  ? ? (4.36) Здесь x, y и z – координаты точки приложения силы. Из предыдущих выражений следует, что мощность силы положительна, если угол между вектором силы и скорости острый. В этом случае сила оказывает разгоняющий эффект на твердое тело. Наоборот, если угол между силой и скоростью тупой, то сила оказывает на тело замедляющее воздействие, и мощность силы отрицательна. Наконец, если сила перпендикулярна направлению скорости, то мощность силы равна нулю. Сила не имеет мощности и тогда, когда она приложена к неподвижной точке (V = 0). Размерностью мощностью, как это следует из ее определения, 77 является ватт: Н м / с = Вт. Мощность является характеристикой силы в текущий момент времени. Работа в отличие от мощности представляет собой интегральную характеристику силы, определяющую ее воздействие на тело в течение некоторого промежутка времени. Работой силы А за промежуток времени от  называется величина:  (4.37) Если мощность в течение указанного промежутка времени остается постоянной, то работа силы равна произведению мощности на величину промежутка времени: ). Отсюда следует, что единицей измерения работы является джоуль: Вт= Дж. Работа, как и мощность, может принимать положительные, отрицательные, а также нулевые значения. Рассмотрим бесконечно малый промежуток времени d. За этот промежуток сила совершит работу, равную dA = N . Используя соотношение (4.35) можем записать: dA = F Заменим теперь вектор скорости с помощью соотношения (3.6). Тогда для элементарной работы dA получим выражение dA = F  dr . Величина работы за промежуток времени от  может быть получена с помощью интегрирования элементарной работы: 38) Здесь r1 и r2 – радиусы-векторы точки приложения силы в моменты времени 2 соответственно. Выражение (4.38) для вычисления величины работы удобно использовать тогда, когда характер движения тела не известен, и мощность силы в каждый момент времени не может быть подсчитана. При этом зависимость силы F от положения точки, к которой она приложена должна быть задана. В частности, если сила постоянна, а движение тела происходит по прямой, то работа определяется по следующей формуле, вытекающей из (4.38): А = F s cos (F,?V) (4.39) где s – пройденный телом путь. 78 Рассмотрим несколько примеров вычисления работы сил, которые часто встречаются при функционировании технологического оборудования. Работа силы тяжести. Пусть тело массой m перемещается в поле силы тяжести. При этом на него действует направленная вертикально вниз постоянная по величине сила равная mg (g – ускорение свободного падения). Если r1 и r2 – радиусы-векторы, характеризующие положение центра тяжести тела в начальном и в конечном положении, то из соотношения (4.38) следует: (r r F r Вектор (r2 – r1) соединяет начальное и конечное положение центра тяжести тела (рис. 27). Скалярное произведение этого вектора на вектор ускорения свободного падения g равно перепаду высот h между начальным и конечным положением тела. Поэтому величина работы силы тяжести может быть представлена в виде: А =gh (4.40) Знак «+» в полученном выражении (работа положительна) берется тогда, когда угол между векторами (r2 – r1) и g острый, т. е. тело под действием силы тяжести движется вниз. Работа отрицательна (в выражении (4.40) выбирается знак «-»), если тело движется вверх, преодолевая действие силы тяжести. Работа сил во вращательном движении. Пусть сила F действует на твердое тело, которое вращается вокруг оси Оz с угловой скоростью  Вектор скорости V точки приложения силы направлен по касательной к траектории в сторону движения точки, а по величине он равен  h, где на сей раз h – расстояние от точки приложения силы до оси вращения. В определении мощности (4.35) произведение F cos g r2 -r1 r2 r1 O Рисунок 27 79 (F,? V) есть не что иное, как проекция силы F на направление касательной Fm. Следовательно, величину мощности при вращательном движении определяет только касательная составляющая силы. При этом мощность равна: N = Fm  h. Но произведение Fm h равно моменту силы F относительно оси Оz. Поэтому мощность может быть вычислена с помощью формулы: N = (F)M (4.41) Знак в этом выражении выбирается в зависимости от того, является ли сила разгоняющей или замедляющей. Если на тело действует не одиночная сила, а пара сил с моментом М, то выражение (4.41) сохранит свой вид, только вместо момента силы Mz(F) следует подставить момент пары М. По известной мощности работу силы за промежуток времени от 1 до2 можно найти по формуле (4.37): Здесь2 – значения угла поворота тела, соответствующие моментам времени . Если во время вращения момент силы остается постоянным, то предыдущая формула упрощается:  т. е. работа крутящего момента равна произведению его величины на угол поворота. Знак выбирается из тех же соображений, что и в соотношении (4.41). Работа силы упругости. Как уже отмечалось, сила упругости пропорциональна расстоянию х до некоторой фиксированной точки О (обычно она соответствует положению упругого элемента в недеформированном состоянии): F = - cx. Пусть в момент времени 1 упругий элемент занимал положение х1, а в момент времени 2 – положение х2. Воспользуемся формулой (4.38). В рассматриваемом случае она примет вид: Таким образом, работа силы упругости пропорциональна коэффициенту жесткости и разности квадратов координат начального 80 и конечного положения упругого элемента. Если упругий элемент удаляется от нейтрального недеформированного положения , то работа силы упругости отрицательна. В противном случае – положительна.
Читать дальше »

Понятие механической энергии является одним из центральных понятий механики. Из курса физики известно, что энергия может существовать в различных видах. Для движущихся механических систем основной вид энергии – кинетическая энергия. Кинетическая энергия Т материальной точки, обладающей массой m и скоростью V, равна: 2 mV 2 T 4.45) Кинетическая энергия механической системы, состоящей из N материальных точек, равна сумме их кинетических энергий: 46) Из определения кинетической энергии следует, что ее размерностью является джоуль: кгж. Однако, в отличие от работы кинетическая энергия не может быть отрицательной. Для твердых тел последнюю сумму следует заменить интегрированием по всему объему тела D:  Здесь  - плотность (масса единицы объема) вещества, из которого состоит твердое тело. Приведенные общие формулы для расчета кинетической энергии существенно упрощаются для типовых видов движения твердого тела. Так, при поступательном движении, как известно из кинематики, все точки тела обладают одинаковой скоростью. Поэтому функция, стоящая под знаком интеграла в (4.47), постоянна и может быть вынесена за знак интегрирования. Оставшийся интеграл равен объему тела. Следовательно, величина кинетической энергии при поступательном движении тела может быть рассчитана по формуле:  Здесь учтено, что произведение плотности на объем тела равно его массе, а в качестве скорости использована скорость центра масс тела, поскольку она такая же, как и скорость любой другой точки. Таким образом, при поступательном движении тела его кинетическая энергия рассчитывается по формуле аналогичной формуле (4.45) для кинетической энергии материальной точки. Рассмотрим теперь вращательное движение твердого тела (рис. 26). Бесконечно малый элемент, находящийся на расстоянии h = x2 ? y2 от оси вращения, имеет скорость, равную  h . Тогда, согласно (4.47), имеем: ? ? D J dm x y dm h  где использовано выражение (4.25) для момента инерции тела относительно оси вращения. Полученное соотношение показывает, что при поступательном и вращательном движениях кинетическая энергия тела вычисляется схожим образом (формулы (4.48) и (4.49)). Аналогия, отмеченная при анализе количественных характеристик поступательного и вращательного движений, сохраняется и здесь. При плоскопараллельном движении твердого тела его полная кинетическая энергия складывается из кинетической энергии поступательного и кинетической энергии вращательного движения вокруг полюса. Если в качестве полюса вновь выбрать центр масс твердого тела, то для вычисления полной кинетической энергии при этом виде движения следует объединить соотношения (4.48) и (4.49): 2 2m ? (4.50) Здесь Jz – момент инерции твердого тела относительно оси, перпендикулярной плоскости движения и проходящей через центр масс. Выясним теперь, за счет чего может измениться величина кинетической энергии механической системы. Для этого рассмотрим сначала одну материальную точку. Движение материальной точки подчиняется уравнению (4.1): m W = F, где F – равнодействующая всех сил, действующих на точку. Умножим обе части этого уравнения скалярно на вектор скорости точки: 82 mW V. Правая часть полученного равенства, согласно (4.35), равна мощности N сил, действующих на точку. Левая часть может быть преобразована следующим образом: 2 V 2 W V V Следовательно, производная по времени от кинетической энергии материальной точки равна алгебраической сумме мощностей всех сил, действующих на точку (или мощности их равнодействующей):  (4.51) В случае механической системы, состоящей из n материальных точек, предыдущее утверждение справедливо для каждой из точек: i i N , …, n Просуммируем левые и правые части всех этих равенств. Тогда слева, согласно (4.46), получим полную кинетическую энергию механической системы, а справа – сумму мощностей всех действующих в системе (4.52) Следовательно, производная по времени от кинетической энергии механической системы равна алгебраической сумме мощностей всех сил, действующих в системе. Это означает, что скорость изменения кинетической энергии определяется величиной мощности всех сил, вызывающих движение. Соотношение (4.52) справедливо для данного момента времени. Если требуется установить, насколько изменилась кинетическая энергия тела за некоторый конечный промежуток времени от 2, то предыдущее равенство нужно проинтегрировать по времени в пределах указанного промежутка: 8 1 В правой части этого соотношения, согласно (4.37), получим алгебраическую сумму работ всех действующих на тело сил, а в левой части – изменение полной кинетической энергии тела за промежуток времени (). Таким образом, изменение кинетической энергии механической системы за некоторый конечный промежуток времени равно алгебраической сумме работ всех сил: ?.53) Сформулированное утверждение является одним из наиболее важных в механике, поскольку оно справедливо для любого вида движения твердого тела. В качестве иллюстрации эффективности использования энергетического подхода рассмотрим следующую задачу. Пусть требуется определить силу натяжения каната подъемной машины в начальный момент подъема груза, когда он приходит в движение из состояния покоя (рис. 28). Будем считать известными массу груза m, момент инерции барабана J и его радиус R, а также величину вращающего момента М, приложенного к барабану. Решение. Полная кинетическая энергия системы «барабан-груз» в любой момент времени складывается из кинетической энергии груза и кинетической энергии барабана. Груз движется поступательно, его кинетическая энергия определяется соотношением (4.48). Кинетическая энергия вращающегося барабана вычисляется с помощью формулы (4.49). Следовательно, полная кинетическая энергия Т системы равна: mg W М Рисунок 28 84 2 Здесь использовано соотношение (3.24), связывающее линейную скорость V при вращательном движении с угловой скоростью ?. Воспользуемся равенством (4.52) для скорости изменения кинетической энергии. Левая часть этого равенства в условиях рассматриваемой задачи равна: V Определим теперь сумму мощностей всех сил, действующих в системе «барабан-груз». К указанным усилиям относятся вес груза, вращающий момент, вес барабана и опорная реакция. Две последние силы мощности не имеют, поскольку приложены к неподвижным точкам. Найдем мощности веса груза и вращающего момента. Вес груза, согласно (4.35), имеет мощность N = - mgV. Знак минус учитывает то обстоятельство, что сила веса направлена в сторону, противоположную направлению движения. Вращающий момент, согласно (4.41), имеет мощность N = M / R. Сумма мощностей будет, таким образом, равна: . Приравнивая полученный результат и правую часть (4.54), для ускорения груза имеем:  2 / R J mg m R M W . В соответствии с принципом Даламбера (подраздел 4.3) натяжение каната равно сумме веса груза и силы инерции: ( mg + mW ) = mg ( 1 + W / g ). Отсюда видно, что влияние силы инерции определяется величиной ускорения груза по сравнению с величиной ускорения свободного падения
Читать дальше »

Колебательные движения играют огромную роль при эксплуатации химического оборудования. Чаще всего инженер-технолог сталкивается с частным видом колебаний – вибрациями (колебания с 85 малой амплитудой, но большой частотой). С точки зрения работоспособности технологических машин и аппаратов вибрации крайне нежелательны, поскольку оборудование при этом испытывает переменные во времени циклические нагрузки. Большинство конструкционных материалов сопротивляется таким нагрузкам гораздо хуже, чем статическим. В подразделе 4.2. уже рассматривалось колебательное движение материальной точки, но проведенный анализ был неполным и привел к результату, противоречащему практике. Причина противоречия заключалась в том, что анализ не учитывал сил сопротивления. Любая реальная колебательная система состоит из нескольких обязательных составляющих: упругого элемента, источника вынуждающей силы, инерционного элемента (принципиальная схема простейшей колебательной системы приведена на рис. 29). Упругий элемент порождает появление упругой силы Fупр, которая, как уже отмечалось ранее, в любой момент времени направлена в сторону нейтрального недеформированного положения, и величина которой пропорциональна расстоянию до него. Вынуждающая сила F() является внешней причиной колебаний. Она, как правило, периодически меняется во времени. Инерционный элемент определяется массой колебательной системы m. Он вызывает появление сил инерции. В реальных колебательных системах, помимо перечисленных сил, всегда существуют силы, препятствующие поддержанию движения. Это силы трения и силы гидравлического сопротивления. Если колебания элементов оборудования особенно нежелательны, то в конструкции вводятся специальные устройства, предназначенные для демпфирования (подавления) колебаний. В любом случае сила сопротивления Fсопр пропорциональна скорости движения колеблющегося тела и направлена в сторону, противоположную направлению движения. Приведенные предварительные замечания позволяют перейти к описанию поведения колебательных систем. Основой описания является уравнение движения (4.17), в котором за центр масс принят Рисунок 29 m c k F(?) 86 центр масс колеблющегося тела. Пусть движение происходит в горизонтальном направлении вдоль координатной оси Ох. Совместим начало координат с положением центра масс при нейтральном состоянии колебательной системы и спроектируем уравнение на координатную ось. При этом проекция силы тяжести инерционного элемента будет равна нулю. В результате получим: сопр уп Сила сопротивления с учетом сделанных замечаний может быть выражена соотношением: Fсопр = k V =  dx ? k C (k – коэффициент сопротивления), а сила упругости пропорциональна координате х: Fупр = - с х (с – коэффициент упругости или жесткости). Вынуждающая сила при гармоническом характере внешних воздействий может быть аппроксимирована следующим выражением:  ? – частота колебаний возмущающей силы. Подставляя все выражения для сил в предыдущее уравнение, получим дифференциальное уравнение, описывающее движение центра масс простейшей колебательной системы: sin  Это уравнение сводится к уравнению свободных незатухающих колебаний (4.5) при отсутствии вынуждающей силы (F0 = 0) и сопротивления движению (k = 0). При этом инерционный элемент будет совершать колебания (4.6) с частотой c m  , которая называется собственной частотой колебаний колебательной системы. Учет сил сопротивления в уравнении (4.55) в условиях отсутствия вынуждающей силы (k  0, F0 = 0) приведет к однородному дифференциальному уравнению второго порядка с постоянными коэффициентами следующего вида: 0 2 2 ? ? (4.56) Непосредственной подстановкой нетрудно убедиться, что общим решением этого уравнения является функция:  где А1 и А2 – постоянные интегрирования, значения которых находятся из начальных условий,  - частота колебаний с учетом сил сопротивления. Функция (4.57) описывает затухающие колебания, поскольку сомножитель перед скобкой убывает с течением времени. Причем, при  центр масс колеблющегося тела неограниченно приближается к началу координат, т. е. к положению равновесия. При этом, чем большей инерционностью обладает колебательная система, тем медленнее происходит затухание колебаний. Таким образом, влияние сил сопротивления проявляется двояко: в смещении частоты колебаний и в их полном подавлении с течением времени. Рассмотрим теперь наиболее важный для практики случай, когда колебания обусловлены действием вынуждающей силы. Для простоты будем пренебрегать силой сопротивления, поскольку их эффект уже проанализирован. В этом случае общее уравнение (4.55) примет вид:  sin 2 0 2 cx F d d x m C C ?  (4.58) Из курса математики известно, что общим решением уравнений такого вида является сумма общего решения соответствующего однородного уравнения (с нулевой правой частью) и частного решения неоднородного. Общее решение однородного уравнения получено ранее. Оно задается соотношением (4.6). Частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде: x? Bsin(4.59) Подставляя это выражение в уравнение (4.58), после несложных преобразований убеждаемся, что функция (4.59) будет удовлетворять уравнению, если величина коэффициента В равна: ( 2 2 ) 0m F B . Следовательно, общее решение уравнения (4.58), описывающее закон движения центра масс колебательной системы при вынужденных колебаниях, будет иметь вид: 88  ? ? ?  (4.60) Из полученного решения видно, что вынужденные колебания складываются из двух движений: из чисто вынужденных колебаний (первое слагаемое в (4.60)) и из сопровождающих колебаний (второе и третье слагаемые). Чисто вынужденные колебания происходят с частотой вынуждающей силы, в то время как частота сопровождающих колебаний определяется свойствами самой колебательной системы. При совпадении указанных частот сомножитель в первом слагаемом обращается в бесконечность. В реальности с учетом сил сопротивления это означает, что амплитуда колебаний становится значительно больше, чем при несовпадении частот вынужденных и собственных колебаний. Это явление называется резонансом. Достижение резонанса, как правило, приводит к разрушению механической системы. Поэтому при эксплуатации химического оборудования, когда возникают колебания некоторых его элементов, резонанса пытаются всячески избежать. Это можно сделать с помощью ряда мер, которые непосредственно подсказывает вид решения (4.60). Например, можно снизить амплитуду вынуждающей силы, уменьшив величину F0, за счет улучшения балансировки движущихся узлов оборудования. Иногда удается избежать резонанса путем изменения собственной частоты системы. Поскольку собственная частота равна c  , это можно сделать, изменив массу колеблющихся элементов оборудования или жесткость упругих элементов. Еще один путь – установка специальных демпферов, гасящих колебания.
Читать дальше »

Понятие механической энергии является одним из центральных понятий механики. Из курса физики известно, что энергия может существовать в различных видах. Для движущихся механических систем основной вид энергии – кинетическая энергия. Кинетическая энергия Т материальной точки, обладающей Кинетическая энергия механической системы, состоящей из N материальных точек, равна сумме их кинетических энергий: Из определения кинетической энергии следует, что ее размерностью является джоуль: кгм2 /с2 = Нм = Дж. Однако, в отличие от работы кинетическая энергия не может быть отрицательной. Для твердых тел последнюю сумму следует заменить интегрированием по всему объему тела D: Здесь - плотность (масса единицы объема) вещества, из которого состоит твердое тело. Приведенные общие формулы для расчета кинетической энергии существенно упрощаются для типовых видов движения твердого тела. Так, при поступательном движении, как известно из кинематики, все точки тела обладают одинаковой скоростью. Поэтому функция, стоящая под знаком интеграла в (4.47), постоянна и может быть вынесена за знак интегрирования. Оставшийся интеграл равен объему тела. Следовательно, величина кинетической энергии при поступательном движении тела может быть рассчитана по формуле: Здесь учтено, что произведение плотности на объем тела равно его массе, а в качестве скорости использована скорость центра масс тела, поскольку она такая же, как и скорость любой другой точки. Таким образом, при поступательном движении тела его кинетическая энергия рассчитывается по формуле аналогичной формуле (4.45) для кинетической энергии материальной точки. Рассмотрим теперь вращательное движение твердого тела (рис. 26). Бесконечно малый элемент, находящийся на расстоянии h = x2 ? y2 от оси вращения, имеет скорость, равную  h . Тогда, согласно (4.47), имеем: где использовано выражение (4.25) для момента инерции тела относительно оси вращения. Полученное соотношение показывает, что при поступательном и вращательном движениях кинетическая энергия тела вычисляется схожим образом (формулы (4.48) и (4.49)). Аналогия, отмеченная при анализе количественных характеристик поступательного и вращательного движений, сохраняется и здесь. При плоскопараллельном движении твердого тела его полная кинетическая энергия складывается из кинетической энергии поступательного и кинетической энергии вращательного движения вокруг полюса. Если в качестве полюса вновь выбрать центр масс твердого тела, то для вычисления полной кинетической энергии при этом виде движения следует объединить соотношения (4.48) и (4.49): Здесь Jz – момент инерции твердого тела относительно оси, перпендикулярной плоскости движения и проходящей через центр масс. Выясним теперь, за счет чего может измениться величина кинетической энергии механической системы. Для этого рассмотрим сначала одну материальную точку. Движение материальной точки подчиняется уравнению (4.1): m W = F, где F – равнодействующая всех сил, действующих на точку. Умножим обе части этого уравнения скалярно на вектор скорости точки: Правая часть полученного равенства, согласно (4.35), равна мощности N сил, действующих на точку. Левая часть может быть преобразована следующим образом: Следовательно, производная по времени от кинетической энергии материальной точки равна алгебраической сумме мощностей всех сил, действующих на точку (или мощности их равнодействующей): В случае механической системы, состоящей из n материальных точек, предыдущее утверждение справедливо для каждой из точек: Просуммируем левые и правые части всех этих равенств. Тогда слева, согласно (4.46), получим полную кинетическую энергию механической системы, а справа – сумму мощностей всех действующих в системе сил: Следовательно, производная по времени от кинетической энергии механической системы равна алгебраической сумме мощностей всех сил, действующих в системе. Это означает, что скорость изменения кинетической энергии определяется величиной мощности всех сил, вызывающих движение. Соотношение (4.52) справедливо для данного момента времени. Если требуется установить, насколько изменилась кинетическая энергия тела за некоторый конечный промежуток времени от 2, то предыдущее равенство нужно проинтегрировать по времени в пределах указанного промежутка: В правой части этого соотношения, согласно (4.37), получим алгебраическую сумму работ всех действующих на тело сил, а в левой части – изменение полной кинетической энергии тела за промежуток времени 1). Таким образом, изменение кинетической энергии механической системы за некоторый конечный промежуток времени равно алгебраической сумме работ всех сил: Сформулированное утверждение является одним из наиболее важных в механике, поскольку оно справедливо для любого вида движения твердого тела. В качестве иллюстрации эффективности использования энергетического подхода рассмотрим следующую задачу. Пусть требуется определить силу натяжения каната подъемной машины в начальный момент подъема груза, когда он приходит в движение из состояния покоя (рис. 28). Будем считать известными массу груза m, момент инерции барабана J и его радиус R, а также величину вращающего момента М, приложенного к барабану. Решение. Полная кинетическая энергия системы «барабан-груз» в любой момент времени складывается из кинетической энергии груза и кинетической энергии барабана. Груз движется поступательно, его кинетическая энергия определяется соотношением (4.48). Кинетическая энергия вращающегося барабана вычисляется с помощью формулы (4.49). Следовательно, полная кинетическая энергия Т системы равна: Здесь использовано соотношение (3.24), связывающее линейную скорость V при вращательном движении с угловой скоростью . Воспользуемся равенством (4.52) для скорости изменения кинетической энергии. Левая часть этого равенства в условиях рассматриваемой задачи равна: Определим теперь сумму мощностей всех сил, действующих в системе «барабан-груз». К указанным усилиям относятся вес груза, вращающий момент, вес барабана и опорная реакция. Две последние силы мощности не имеют, поскольку приложены к неподвижным точкам. Найдем мощности веса груза и вращающего момента. Вес груза, согласно (4.35), имеет мощность N = - mgV. Знак минус учитывает то обстоятельство, что сила веса направлена в сторону, противоположную направлению движения. Вращающий момент, согласно (4.41), имеет мощность N = M = MV / R. Сумма мощностей будет, таким образом, равна: Приравнивая полученный результат и правую часть (4.54), для ускорения груза имеем: В соответствии с принципом Даламбера (подраздел 4.3) натяжение каната равно сумме веса груза и силы инерции: ( mg + mW ) = mg ( 1 + W / g ). Отсюда видно, что влияние силы инерции определяется величиной ускорения груза по сравнению с величиной ускорения свободного падения.
Читать дальше »

1. Что изучает динамика ? 2. В чем состоят первая и вторая задачи динамики ? 3. В чем смысл первой аксиомы динамики ? 4. Сформулируйте основной закон механики. 5. Запишите дифференциальное уравнение движения материальной точки. 6. Запишите дифференциальное уравнение движения материальной точки в естественных осях. 7. Что такое сила инерции и от чего зависит ее величина ? 8. Сформулируйте принцип Даламбера. В чем состоит его смысл ? 89 9. Чему равны нормальная и касательная составляющие силы инерции для вращающегося тела ? 10. Что такое центр масс механической системы ? 11. Как вычисляется скорость и ускорение центра масс ? 12. Запишите дифференциальное уравнение поступательного движения твердого тела. 13. Что такое количество движения механической системы ? 14. Сформулируйте теорему об изменении количества движения механической системы. 15. Как определяется импульс силы за некоторый промежуток времени ? 16. В чем состоит содержание теоремы импульсов ? 17. Могут ли внутренние силы, действующие в механической системе, изменить ее количество движения ? 18. Как определяется момент инерции механической системы и твердого тела относительно некоторой оси ? 19. Что такое момент количества движения механической системы ? 20. Существует ли аналогия между количественными характеристиками поступательного и вращательного движения ? 21. За счет чего может измениться кинетический момент механической системы ? 22. Запишите дифференциальное уравнение вращательного движения твердого тела. 23. Запишите дифференциальное уравнение плоскопараллельного движения твердого тела. 24. Как определяется мощность силы ? От чего она зависит ? 25. Как определяется работа силы за некоторый промежуток времени ? 26. Могут ли мощность и работа силы принимать отрицательные значения ? 27. Чему равна работа сил при вращении твердого тела ? 28. Чему равна работа силы тяжести ? 29. Что такое кинетическая энергия механической системы ? 30. Чему равна кинетическая энергия при поступательном движении твердого тела ? 31. Чему равна кинетическая энергия при вращательном движении ? 32. За счет чего может измениться кинетическая энергия механической системы ? 33. Чему равно изменение кинетической энергии механической системы за некоторый промежуток времени ? 34. Какие элементы включает простейшая колебательная система ? 35. Какие силы учитываются при анализе колебательных систем ? 36. Запишите дифференциальное уравнение движения центра масс колебательной системы. 37. Что такое резонанс, в чем он выражается ?
Читать дальше »

НАПРЯЖЕНИЯ И ДЕФОРМАЦИИ В ЭЛЕМЕНТАХ ОБОРУДОВАНИЯ, МОДЕЛИРУЕМЫХ В ФОРМЕ СТЕРЖНЯ Основная задача инженера технолога на химическом предприятии состоит в обеспечении безотказной работы оборудования, находящегося в сфере его ответственности. Безотказная работа оборудования означает, что оно находится в работоспособном состоянии, когда все параметры, характеризующие функционирование установки, аппарата или машины, находятся в пределах, установленных нормативно-технической документацией (например, технологическим регламентом). Потеря работоспособ- ности (отказ) может быть вызвана несколькими причинами (разрушением одного из элементов оборудования, недопустимо большими деформациями деталей, нарушением герметичности рабочего объема и т. д.). Каждая из этих причин связана, в конечном счете, с некоторыми изменениями в конструкционном материале под действием внешних нагрузок. Провести анализ таких изменений в рамках представлений об абсолютно твердом теле, конечно, нельзя. Поэтому в настоящем разделе и во всех последующих используется расчетная схема деформируемого тела. 5.1. Упругость, перемещения и деформации твердых тел Абсолютно твердых недеформируемых тел, которые рассматривались в предыдущих разделах, на самом деле не существует. В процессе эксплуатации оборудования все его детали под действием внешних нагрузок и физико-химических воздействий изменяют свои первоначальные размеры и форму, то есть деформируются, корродируют, изнашиваются. Эти изменения при неограниченном возрастании указанных воздействий могут привести либо к разрушению конструкции, либо к недопустимому для дальнейшей эксплуатации искажению ее формы и размеров. Поэтому первое, с чего следует начать изучение поведения реальных тел под действием нагрузок, это введение количественных характеристик для изменений их размеров и формы. Пусть при деформировании детали под действием сил некоторая точка М переместится в пространстве в новое положение М1. Вектор ММ1, имеющий начало в точке М недеформированного тела, а конец в той же точке М1 деформированного тела, называется вектором полного перемещения точки. Его проекции u, v, w на оси координат декартовой системы координат носят название перемещений точки по осям. Величина вектора перемещения и его направление при заданных нагрузках зависят от положения точки М. Для характеристики интенсивности локального изменения размера и формы тела существует понятие деформации в точке. Мысленно 91 выделим вокруг точки М бесконечно малый параллелепипед со сторонами  В результате изменения размера и формы нагруженного тела ребра параллелепипеда получат удлинения ?x, ?y, ?z. Относительными линейными деформациями в данной точке материала называются величины, определяемые следующими отношениями:) В каждом отношении в числителе стоит абсолютное удлинение элементарного параллелепипеда в данном направлении, а в знаменателе – исходная длина параллелепипеда в этом же направлении до нагружения. Следует заметить, во-первых, что относительная линейная деформация (или просто деформация) – характеристика сугубо локальная, т. е. она является функцией пространственных координат. Во-вторых, в одной точке, но в разных направлениях она может быть различной. Относительная деформация размерности не имеет и для обычных конструкционных материалов это величина порядка 10-3. Другими словами, изменение размеров и формы нагруженных тел, как правило, незначительны и могут быть измерены лишь специальными приборами – тензометрами. Кроме линейных деформаций в твердом теле возникают угловые деформации. Количественно они характеризуются углом сдвига  (рис. 30), который рассчитывается по формуле:  Величина называется абсолютным сдвигом, а угол  – относительным сдвигом. Он характеризует перекос элементарного параллелепипеда в плоскости ху. Аналогично определяются угловые деформации в плоскостях xz и yz, которые обозначаются соответственно через . Как и линейные деформации, углы сдвига также малы. Их значения лежат в области 10-4. Поэтому в формуле (5.2) значение тангенса и его аргумента практически не отличаются. Совокупность трех линейных z и трех угловых деформаций  по различным направлениям и плоскостям для данной точки полностью характеризует деформированное состояние конструкционного материала в точке. При известных характеристиках деформированного состояния во всем объеме материала может быть оценена величина максимальных перемещений нагруженной детали, которые затем сравниваются с их допускаемыми значениями. Последние обычно известны из практики эксплуатации соответствующего оборудования. Количественная оценка и сравнение максимальных перемещений с допускаемыми значениями составляют существо расчетов на жесткость. С понятием деформаций связано одно из наиболее важных свойств конструкционных материалов – их упругость. Под упругостью, как известно, понимают способность твердых тел полностью восстанавливать свою форму и размеры после снятия внешних нагрузок. Точные измерения показывают, что любые материалы даже при небольших нагрузках получают остаточные деформации. Так что свойство упругости представляет собой, строго говоря, еще одну идеализацию из числа тех, на которых строятся расчетные схемы механики. При небольших нагрузках величина остаточных деформаций пренебрежимо мала, но с увеличением нагрузок растут и остаточные деформации. Для каждого элемента конструкции и каждой детали существует некие предельные нагрузки, выше которых остаточные деформации становятся существенными, т. е. деталь необратимо меняет свои размеры и форму. При эксплуатации технологического оборудования таких нагрузок допускать нельзя. Все узлы и детали должны работать в области упругих деформаций.
Читать дальше »

Возникновением деформаций не исчерпывается реакция материала на внешние нагрузки. Изменение размера и формы тела приводит к изменению среднего расстояния между атомами, от которого очень сильно зависят силы химических связей. В объеме конструкционного материала появляются силы, обусловленные 93 изменением сил межмолекулярного взаимодействия. По величине эти внутренние силы таковы, что они в точности уравновешивают внешние воздействия на данный элемент конструкции. С помощью внутренних сил (или сил упругости) материал сопротивляется механическим нагрузкам. С увеличением внешних нагрузок внутренние силы также возрастают. Но и здесь существует предел, после которого в материале возникают необратимые изменения, и, в конечном счете, деталь разрушается. Следовательно, для исключения возможных аварийных ситуаций необходимо уметь рассчитывать величину внутренних сил и ограничивать их некоторыми «неразрушающими» значениями, которые обычно определяются экспериментальными методами. Количественная оценка внутренних сил, возникающих в элементах конструкции при заданных внешних нагрузках, представляет собой важнейшую задачу механики деформируемого тела. Рассмотрим ее применительно к элементу конструкции, имеющему расчетную схему стержня (см. подраздел 1.3.). При использовании этой расчетной схемы внутренние силы определяются с помощью метода поперечных сечений. Сущность этого метода заключается в следующем. Рассмотрим стержень (рис. 31), находящий в равновесии под действием заданного набора внешних сосредоточенных сил Fi , моментов Mi и распределенных нагрузок qi (индекс i подразумевает, что нагрузок данного вида может быть несколько). Мысленно разделим стержень на две части плоскостью, перпендикулярной его оси (рис. 31, а), и одну из частей мысленно отбросим. В плоскости, разделяющей обе части стержня, действуют внутренние силы, отражающие силовое взаимодействие между частями (рис. 31,б). В соответствии с положениями статики (см. подраздел 2.5.) всю совокупность внутренних сил, действующих в сечении, можно привести к главному вектору R и главному моменту М с центром приведения в центре тяжести поперечного сечения (рис. 31, в). Проекции главного вектора и главного момента системы внутренних сил на оси координат называются внутренними силовыми факторами. В общем случае это шесть скалярных величин. Согласно аксиоме 4 статики, силовые факторы в сечениях левой и правой частей стержня равны по величине и противоположны по направлению. Чтобы знак силового фактора, определенного для правой и левой частей стержня, был одинаков, в сечениях вводятся две системы координат. Ось Ох направляется вдоль внешней нормали к сечению, а оси Оу и Оz располагаются в плоскости сечения, образуя левую тройку для левой части стержня и правую – для правой. На рис. 31,в показано расположение координатных осей для левой части стержня. Ось Оу направлена вниз, ось Оz – «на нас». Для правой части стержня их направление противоположное. В том и 94 другом случае положительные направления внутренних силовых факторов совпадают с положительным направлением координатных осей *). Поскольку обе части стержня находятся в равновесии, для каждой из них справедлива система уравнений (2.17), выражающая условие равновесия произвольного твердого тела. Система содержит шесть уравнений, столько же, сколько искомых силовых факторов. Поэтому их величина и направление действия могут быть определены из *) Напомним, что правой тройкой называется система прямоугольных координат, в которой поворот оси Ох на /2 в направлении, противоположном вращению часовой стрелки (если смотреть со стороны оси Оz), совмещает полуось положительных х с полуосью положительных у. y Рисунок  ешения системы (2.17). Внутренние силовые факторы позволяют судить о характере воздействия внешних нагрузок на элемент оборудования. Поэтому рассмотрим их более подробно. Проекция главного вектора внутренних сил R на ось Ох называется продольной силой (рис. 31,г) и обычно обозначается через N. Продольная сила вызывается деформацией растяжения или сжатия материала в зависимости от того, направлена она по внешней или внутренней нормали к сечению стержня. В системе координат, введенной ранее, сила N будет иметь знак «+» при растяжении и знак «-» при сжатии стержня. Проекции главного вектора внутренних сил на оси Оу и Оz называются поперечными силами и обозначаются через Qy и Qz соответственно. Они вызываются деформацией сдвига. Знак поперечных сил определяется направлением координатных осей в сечении стержня. Проекция главного момента внутренних сил М на ось Ох называется крутящим моментом. Он обозначается через Т и вызывается деформацией, обусловленной действием пар сил, которые лежат в плоскости перпендикулярной оси стержня. Перемещения, возникающие при этом, состоят в повороте сечений стержня вокруг его оси. Крутящий момент считается положительным, если он вращает сечение против часовой стрелки, если смотреть со стороны внешней нормали к сечению, и отрицательным – в противном случае. Проекции главного момента внутренних сил М на оси Оу и Оz называются изгибающим моментами и обозначаются соответственно через Му и Мz. Изгибающий момент Му препятствует тем внешним нагрузкам, которые пытаются изогнуть стержень в плоскости Охz, а изгибающий момент Мz сопротивляется изгибу стержня в плоскости Оху (рис. 31,г). Знак изгибающего момента зависит от того, в какую сторону направлен момент, если смотреть со стороны положительных значений соответствующей координатной оси. Если момент направлен против часовой стрелки, он считается положительным; если по часовой – отрицательным. Перечисленные внутренние силовые факторы позволяют ввести классификацию простых видов нагружения и деформации элементов оборудования, имеющих расчетную схему стержня. Если из всех шести внутренних силовых факторов отлична от нуля только продольная сила N, то говорят о растяжении или сжатии в зависимости от ее знака. Если отлична от нуля только одна из поперечных сил, то такой вид деформации называется сдвигом в направлении соответствующей оси. Когда все силовые факторы равны нулю, за исключением крутящего момента Т, говорят о кручении. Если не равен нулю один из изгибающих моментов, то возникающий вид деформации называется чистым изгибом в 96 плоскости действия момента. Наконец, еще одним простым видом деформации является плоский поперечный изгиб. К нему относится такой вид нагружения, при котором одновременно отличны от нуля изгибающий момент Мz и поперечная сила Qy либо изгибающий момент Мy и поперечная сила Qz . В первом случае оба силовых фактора препятствуют изгибу стержня в плоскости Оху, а во втором – в плоскости Охz. Все другие случаи сочетания внутренних силовых факторов свидетельствуют о сложном нагружении. Большинство элементов оборудования испытывает именно сложное нагружение. Однако, его можно рассматривать как результат наложения простых видов нагружения. Поэтому в механике деформируемого тела в первую очередь подробно рассматриваются перечисленные выше простые виды нагружения.
Читать дальше »

Внутренние силовые факторы в сечениях стержня характеризуют суммарное действие внутренних усилий в этих сечениях, т. е. являются их равнодействующими. В общем случае нагружения распределение внутренних усилий по сечению неравномерно. Очень часто важно знать, как распределены внутренние усилия по сечению. Поэтому требуется некая количественная характеристика локальной величины сил, действующих в объеме конструкционного материала. Рассмотрим в сечении стержня произвольную точку М и выделим в окрестности этой точки элементарную площадку dA (рис. 32). Пусть Р – равнодействующая всех внутренних сил, действующих на площадке dA. Составим отношение Р / dA. Предел этого отношения, когда площадка dA стягивается к точке М, называется вектором полного внутреннего напряжения р в данной точке материала. В символьном виде это определение запишется следующим образом: Вектор полного напряжения характеризует интенсивность внутренних усилий, действующих в данной точке материала. Он зависит, как потом выяснится, не только от положения точки М, но и от ориентации площадки dA в пространстве. Единицей измерения напряжения является паскаль: Па = Н / м2. Проекция вектора полного внутреннего напряжения на направление нормали к площадке dA называется нормальным напряжением и обозначается через . Его проекция, лежащая в 97 плоскости сечения, называется касательным напряжением и обозначается через  (рис. 32). Характер действия на материал указанных напряжений различен. Нормальные напряжения стремятся сблизить или удалить отдельные слои материала друг от друга. Касательные же напряжения способствуют сдвигу одних слоев относительно других. Поэтому касательные напряжения называют еще напряжениями сдвига. Большинство конструкционных материалов существенно хуже сопротивляется действию касательных напряжений, чем нормальных. Между напряжениями и внутренними силовыми факторами, действующими в сечении стержня, существует несложная связь. В самом деле, величина продольной силы N, например, отражает совокупное действие нормальных напряжений , распределенных по всему сечению. Поэтому они связаны соотношением:  Аналогичные соотношения имеют место для других внутренних усилий: Рисунок 32 dNx ?z dA y F1 F2 z y  Более сложная связь между составляющими главного момента внутренних сил и напряжениями в сечении стержня: dA z M С увеличением внешних нагрузок напряжения в материале деталей увеличиваются. Так же как и в случае деформаций, напряжения не могут неограниченно возрастать. Для каждого конструкционного материала существуют некие предельные напряжения, после которых в материале начинаются необратимые изменения. Способности элементов конструкции сопротивляться внешним воздействиям не беспредельны. Следовательно, для того чтобы по возможности исключить отказы, связанные с потерей прочности оборудования, необходимо уметь рассчитывать величину напряжений в материале при заданных нагрузках. Это позволит установить наиболее опасные сечения деталей, где напряжения максимальны, и сравнить их с допускаемыми напряжениями для данного конструкционного материала. Расчеты такого рода называются расчетами на прочность.
Читать дальше »

Расчеты на прочность и жесткость исходят из условия, чтобы максимальные напряжения и перемещения не превосходили некоторых предельных значений. Такие условия, по существу, представляют собой критерии отказа оборудования из-за потери прочности и недостаточной жесткости конструкции. Любой вид технологического оборудования проверяется на выполнение этих критериев как на стадии проектирования, так и во время эксплуатации. В силу всеобщности указанных критериев их называют главными критериями работоспособности. Однако прочность и жесткость далеко не исчерпывают весь набор требований (критериев), которым должно удовлетворять химическое оборудование. Перечислим и дадим определения важнейшим из главных критериев работоспособности. 99 Под прочностью понимают способность конструкции в целом и ее отдельных элементов воспринимать, не разрушаясь, действие внешних нагрузок. Жесткость – способность элемента конструкции получать под действием внешних нагрузок такие рабочие деформации, которые не превышают их заданные предельные значения, установленные на основе опыта проектирования и эксплуатации аналогичных конструкций. Критерий устойчивости подразумевает способность детали сохранять под действием внешних нагрузок первоначальную геометрическую форму. Под виброустойчивостью понимают способность элемента оборудования работать в нужном эксплуатационном режиме без недопустимых колебаний (вибраций). Герметичность – свойство конструкции изолировать ее рабочий объем так, чтобы утечки рабочих веществ в окружающую среду были полностью исключены, либо находились в заданных пределах. Существует еще целый ряд менее общих критериев (теплостойкость, коррозионная стойкость и т. п.), которые также применяются в химическом машиностроении. Наиболее важным из них является критерий износостойкости, т. е. способность материала данной детали противостоять процессу постепенного изменения размеров и формы в области ее контакта с обрабатываемым веществом или другой деталью в результате трения. Выбор того или иного главного критерия зависит от конкретных условий эксплуатации и назначения агрегата. Например, элементы корпуса аппарата, снабженного теплообменной рубашкой, должны быть рассчитаны с учетом критериев прочности, устойчивости и герметичности. В то же время элементы ротора перемешивающего устройства необходимо оценить по критериям прочности, жесткости и виброустойчивости. Главные критерии работоспособности лежат в основе всех инженерных методов расчета химического оборудования. Различают три вида инженерных расчетов: проектный, поверочный и нагрузочный. При проектных расчетах исходными данными являются характер и величина нагрузок на оборудование, механические свойства конструкционного материала. В результате расчета требуется определить размеры элементов конструкции, которые обеспечат ее работоспособность. Поверочные расчеты обычно проводят для существующего оборудования, когда известны размеры элементов конструкции, характер и величина нагрузок, механические свойства конструкционного материала. Целью поверочных расчетов является проверка выполнения всех критериев работоспособности, определяющих нормальное функционирование данного аппарата или 100 его узла. Наконец, нагрузочные расчеты преследуют цель нахождения предельных значений внешних нагрузок, при которых работоспособность оборудования еще не нарушится. Инженер-технолог принимает непосредственное участие в инженерных расчетах всех трех видов. При проектировании нового оборудования его задачей является составление технического задания, которое служит основанием для последующих стадий конструкторских работ: технического предложения, эскизного проекта, технического проекта и рабочей конструкторской документации. В техническом задании указываются назначение и рабочие параметры проектируемого агрегата (производительность, рабочее давление и температура, свойства обрабатываемой среды, гидродинамические режимы, основные геометрические размеры), допускаемые безопасные отклонения от рабочих параметров, требования к конструкционным материалам с точки зрения их коррозионной стойкости по отношению к обрабатываемой среде и т. д. На следующих стадиях разработки нового оборудования технолог обычно контролирует качество конструкторских решений на предмет их технологичности и соответствия техническому заданию. Непосредственно проектные расчеты проводит инженер-конструктор. Поверочные и нагрузочные расчеты целиком лежат в сфере ответственности технолога. Первые проводятся с целью контроля работоспособности существующего оборудования после его эксплуатации в течение определенного срока. С помощью нагрузочных расчетов определяют возможный резерв оборудования по нагрузкам (по рабочему давлению, потребляемой мощности, частоте оборотов и т д.). Некоторые примеры всех трех видов инженерных расчетов будут рассмотрены при анализе простых видов нагружения.
Читать дальше »

Согласно классификации простых видов деформации при растяжении или сжатии из шести внутренних силовых факторов отлична от нуля только продольная сила N. К расчетной схеме стержня, испытывающего деформации сжатия или растяжения, могут быть приведены такие важные конструктивные элементы химического оборудования, как трубные пучки кожухотрубчатых теплообменников, опорные стойки емкостных аппаратов, штоки компрессоров и поршневых насосов, болты и шпильки фланцевых соединений и т. д. Рассмотрим стержень длины L, нагруженный растягивающей силой F, которая действует строго вдоль оси стержня. Тогда, применяя метод сечений, нетрудно убедиться, что в каждом поперечном сечении будет действовать продольная сила N, равная по величине силе F и направленная вдоль внешней нормали к сечению. Материал 101 стержня будет испытывать деформацию растяжения, в результате чего стержень удлинится. Пусть длина стержня после нагружения равна L1. Тогда разность ?L = L1 – L представляет собой абсолютное удлинение стержня, а отношение ? = ?L/L характеризует относительное удлинение стержня. Поскольку продольная сила во всех поперечных сечениях одинакова, деформация также не будет зависеть от продольной координаты. Поэтому величина ? в данном случае будет равна относительной продольной деформации материала стержня, определяемой первым равенством (5.1). Эксперименты показывают, что материал стержня в условиях его растяжения будет испытывать не только продольную, но и поперечную деформацию. Если h – характерный поперечный размер стержня до нагружения, то после приложения растягивающей силы F он уменьшится и станет равным h1. Величина ?* = (h1 – h)/ h = ? h/ h характеризует относительную поперечную деформацию стержня. Оказывается, что относительные продольная и поперечная деформации связаны между собой. Их отношение для каждого конструкционного материала есть величина постоянная, не зависящая от характера нагружения, которому подвергается элемент оборудования. Таким образом, отношение деформаций в двух взаимно перпендикулярных направлениях является индивидуальной характеристикой материала. Она называется коэффициентом Пуассона:  Знак абсолютной величины отражает тот факт, что величины ? и ?* имеют разные знаки. При растяжении продольная деформация положительна, а поперечная отрицательна. При сжатии продольная деформация меньше нуля, а поперечная положительная: поперечный размер после нагружения сжимающей силой увеличивается. Обратимся теперь к напряжениям, возникающим при растяжении стержня. Они связаны с продольной силой соотношением (5.4). Но продольная сила по величине равна силе F. Поэтому между напряжениями в материале и силой, приложенной к стержню, имеет место следующая зависимость:. Поскольку сила действует строго по оси стержня, напряжения во всех точках поперечного сечения одинаковы. Следовательно, величину  можно вынести из под знака интегрирования. Оставшийся интеграл 102 равен площади поперечного сечения А. Поэтому для определения напряжений при растяжении (сжатии) получаем простую формулу: Ранее уже отмечалось, что появление в материале внутренних сил (а значит, и напряжений) есть результат реакции элемента оборудования на внешние нагрузки и вызываемые ими деформации. Другими словами, напряжения в материале являются следствием его деформации. Поэтому эти величины должны быть количественно связаны между собой. Действительно, между напряжениями и деформациями в области упругого изменения размеров и формы твердых тел имеет место линейная зависимость: ? . (5.9) Это соотношение называется законом Гука при растяжении (сжатии). Закон Гука устанавливает прямую пропорциональность между величинами. Коэффициент пропорциональности Е называется модулем продольной упругости или модулем Юнга. Он представляет собой важнейшую механическую характеристику конструкционных материалов и является величиной справочной. Поскольку относительная деформация – величина безразмерная, модуль продольной упругости имеет размерность напряжения, т. е. Па = Н / м2. Следовательно, по своему физическому содержанию модуль Е является некоторым напряжением. Из равенства (5.9) ясно, что это напряжение, при котором  = 1. Но относительная продольная деформация становится равной единице тогда, когда длина стержня при растяжении удваивается. Таким образом, величина модуля продольной упругости характеризует напряжения, которые возникли бы в материале, если бы его длина при растяжении увеличилась в два раза. Поэтому для основных конструкционных материалов модуль Е достигает очень больших значений. Например, для сталей Е ? 1 Па. Конечно, задолго до того, как будут достигнуты напряжения такой величины, элемент конструкции разрушится. От величины модуля продольной упругости зависит также склонность материала к деформированию под действием заданных нагрузок. Из (5.9) следует, что при фиксированной картине напряжений величина относительной деформации уменьшается с увеличением Е. Выразим в (5.9) напряжения через растягивающую силу с помощью (5.8), а относительную деформацию через абсолютное удлинение: (5.10) Полученное равенство называют законом Гука в абсолютных удлинениях. Оно позволяет при заданной геометрии стержня, модуле продольной упругости и растягивающей силе рассчитать величину удлинения стержня. Произведение АЕ, стоящее в знаменателе, называется жесткостью стержня при растяжении. Оно совокупным образом отражает влияние механических свойств материала и геометрии поперечного сечения на величину перемещений. Соотношения (5.8) и (5.10) позволяют реализовать расчеты на прочность и жесткость при растяжении (сжатии). Пусть известна величина допускаемых напряжений [] для данного конструкционного материала. Тогда условие прочности будет состоять в естественном требовании, чтобы максимальные напряжения, возникающие в материале стержня, не превосходили допускаемых значений: max [ ] max Здесь использовано соотношение (5.8) для нормальных напряжений, а знак абсолютной величины учитывает тот факт, что при сжатии продольная сила отрицательна. Несмотря на простой вид, условие прочности (5.11) используется при всех видах инженерных расчетов. При проектном расчете неравенство решается относительно площади поперечного сечения А, что позволяет установить минимальное значение поперечных размеров стержня, при которых условие прочности выполняется. При поверочном расчете, когда известны фактические размеры элемента оборудования и действующие на него силы, проверяется справедливость неравенства (5.11). Наконец, при нагрузочном расчете неравенство решается относительно максимальной величины продольных усилий и определяется предельное значение растягивающей силы, при котором условие прочности будет все еще выполнено. Аналогичные расчеты могут быть реализованы с помощью соотношения (5.10), когда известно допускаемое значение относительного удлинения стержня [?L/L]. Тогда условие жесткости будет состоять в требовании, чтобы максимальное удлинение стержня, приходящееся на единицу его длины, не превышало допускаемого значения: ) Это неравенство также используется при всех видах инженерных расчетов по критерию жесткости. В заключение этого подраздела рассмотрим важный вопрос о том, как зависит величина напряжений от ориентации сечения. В подразделе 5.3 уже отмечалось существование такой зависимости. На рис. 33 показано сечение стержня, составляющее угол ? с поперечным сечением. Площади поперечного А и наклонного А? сечений связаны простым соотношением: А = А? cos ?. В каждой точке наклонного сечения действует внутреннее напряжение р, вектор которого параллелен оси стержня. Действие напряжения р по всей площади А? количественно характеризуется продольной силой N. Поэтому справедливо равенство: р А? = N. С другой стороны, согласно (5.8), имеем: N = р А. Следовательно, величина внутреннего напряжения меняется в зависимости от угла наклона сечения по закону:- величина напряжения в поперечном сечении). Разложим теперь вектор р на нормальное и касательное напряжения (рис. 33). В результате получим следующие зависимости: Несложный анализ этих соотношений приводит к следующим выводам. Когда сечение стержня перпендикулярно его оси (? = 0), нормальное напряжение равно ?, касательное напряжение отсутствует. В продольных сечениях стержня (? = ?/2) оба напряжения обращаются в нуль. Следовательно, при растяжении силовое взаимодействие между продольными слоями материала отсутствует. Наконец, при ? = ?/4 касательные напряжения достигают своего максимального значения, равного .
Читать дальше »