Нажмите на баннер и автоматически будете на моей странице "Вконтакте"

 

 Телефон мобильный;

 8(965)049-25-97(Билайн)

 Электронная почта;

 89650492597@mail.ru

 

 


Решение задачи, контрольных для студентов

Решение задач — это процесс выполнение мыслительных действий, направленный на получение заданной цели.

Процесс решения задачи состоит из:
1)Подготовка данных;
2)Определение способа (метода) решения (если он не задан условием);
3)Нахождение решения задачи.

Если у вас нет времени или задали сложные примеры которые Учитель не смог грамотно объяснить, я смогу вам помочь, срок решения от четырёх дней. Цена определяется после изучения (просмотра) задания.


















СИММЕТРИЯ В МЕХАНИКЕ. ЗАКОНЫ СОХРАНЕНИЯ Симметрией тела по отношению к некоторому преобразованию называется явление сохранения определенных свойств тела при совершении с ним этого преобразования. Например, если при повороте тела его расположение в выбранной системе координат не изменяется, то говорят о вращательной Рис. 15, Симметрия снежинки Рис. 16. Зеркальная симметрия отражения симметрии, а ось вращения называют осью симметрии. На рисунке 15 показана одна из осей симметрии снежинки. Если геометрическая форма тела при зеркальном отражении не изменяется, то говорят о зеркальной симметрии (рис. 16). Преобразований с физическим телом может быть достаточно много, и каждый раз при сохранении определенного свойства тела после такого преобразования можно говорить о симметрии относительно проведенного преобразования. Каждой симметрии свойственно сохранение того или иного свойства тела. Для человека с его способом обработки поступающей извне информации наблюдение симметрии доставляет глубокое эмоциональное удовлетворение. Мы восхищаемся симметрией кристаллов, крыльев бабочек, цветов, морских звезд, снежинок, радуги, других явлений природы и творений рук человека (рис. 17). В механике мы сталкиваемся с симметрией пространства и времени. Например, однородность пространства является не чем иным, как сохранением линейных и метрических свойств пространства при изменении положения начала координат системы отсчета, изотропность пространства — сохранением его свойств при повороте осей координат, однородность времени — сохранением линейных свойств времени при изменении начала отсчета времени. Эти симметрии не оказывают на наши органы чувств такого влияния, как симметрии формы тел, они вызывают скорее интеллектуальное удовлетворение. Однако и в этом случае мы стремимся связать симметрии пространства и времени с физическими свойствами самих тел, участвующих в механическом взаимодействии. Оказалось, что каждый вид симметрии связан с сохранением вполне определенной физической величины, характеризующей механическое состояние тел. Так, однородность времени означает сохранение механической энергии, т. е. суммы кинетической и потенциальной энергии тела; однородность пространства — сохранение импульса тела. Что касается изотропности пространства, то этому виду симметрии соответствует сохранение момента импульса — физической величины, которая в школьном курсе физики не изучается. Принцип симметрии, утверждающий, что каждому виду симметрии соответствует своя сохраняющаяся величина, стал одним из ведущих эвристических принципов в физике, т. е. таким приемом физического мышления, который позволяет устанавливать новые физические закономерности в природе. Часто говорят, что задача современной физики — это поиск новых видов симметрии. ? Вопросы 1. Что называется симметрией тела? 2. Какие преобразования над телом могут обнаружить их симметрию? 3. Приведите примеры симметрии тел в природе. 4. Какие законы сохранения в механике связаны с симметрией пространства и времени?
Читать дальше »

ПРИЧИННОСТЬ В МЕХАНИКЕ Если известны положение и скорость тела в некоторый начальный момент времени и зависимость силы от взаимного расположения тел и их относительной скорости движения, то благодаря второму закону Ньютона появляется возможность предсказания этого движения. Действительно, из второго закона Ньютона следует, что корение тела в некоторый момент времени определяется зависимостью от положения тела и его скорости в этот же момент времени. Зная ускорение, мы можем определить скорость в последующий момент времени, а по скорости можно определить и новое положение тела. Тогда, воспользовавшись снова вторым законом Ньютона, можно определить ускорение в последующий момент времени и т. д. Таким образом, шаг за шагом, решая уравнение движения, выраженное вторым законом Ньютона, можно определить положение и скорость тела в любой момент времени в процессе его движения. Именно поэтому второй закон Ньютона называют динамическим, а однозначную зависимость характера движения от начальных условий при'заданной силе — механическим детерминизмом или механической причинностью. Это свойство механического движения удобно выразить в виде принципа механической причинности: положение и скорость материальной точки в произвольный момент времени причинно обусловлены ее положением и скоростью в начальный момент времени. Если считать, что все тела во Вселенной подчиняются законам Ньютона, то, зная положения и скорости всех тел в начальный момент времени, можно однозначно предсказать будущее Вселенной и все узнать о ее прошлом. Такой взгляд на причинную обусловленность процессов во Вселенной развивал французский ученый Пьер Лаплас (1749—1827), поэтому механический детерминизм часто называют лапласовским детерминизмом, а гипотетическое существо, которому известны начальные условия всех тел во Вселенной — демоном Лапласа. К счастью, механический детерминизм не имеет места во всей Вселенной, хотя в ограниченной области механических явлений он справедлив. Некоторые люди пытаются, не имея для этого никаких оснований, распространить механический детерминизм на те области физики или даже другие науки и области человеческой деятельности, где он не имеет никаких оснований и может привести только к заблуждениям при рассмотрении природных или социальных явлений. В последнем случае это особенно опасно. ? Вопросы 1. Что нужно знать для описания движения в механике? 2. Как формулируется принцип причинности в механике? 3. Что такое механический, или лапласовский, детерминизм? 4. Какова область применения механического принципа причинности?
Читать дальше »

УСПЕХИ МЕХАНИКИ В ОПИСАНИИ ДВИЖЕНИЯ ЗЕМНЫХ И НЕБЕСНЫХ ТЕЛ С помощью законов Ньютона удалось решить множество задач, связанных с рассмотрением движения самых разнообразных тел, окружающих человека. Во многом это стало возможным благодаря исследованию характера сил, возникающих при взаимодействии тел. Настоящим интеллектуальным прорывом в этом направлении можно считать открытие Ньютоном закона всемирного тяготения, по которому все тела притягиваются друг к другу с силой F, прямо пропорциональной произведению гравитационных, или тяжелых, масс взаимодействующих тел и обратно пропорциональной квадрату расстояния между ними: где G — гравитационная постоянная, равная 6,67 • 10" Н • м'/кг2; /и, и т2 — гравитационные массы взаимодействующих тел; R — расстояние между ними, гораздо большее размеров тел. Последующими физическими экспериментами было установлено с точностью до 10~13, что инертная и гравитационная массы совпадают. Причем сила гравитационного притяжения всегда направлена по прямой, соединяющей взаимодействующие тела. Ньютон показал, что протяженные тела, имеющие форму шара, взаимодействуют друг с другом так же, как и материальные точки с той же массой, расположенные в центрах шаров. Это открытие значительно упростило рассмотрение механического движения тел около поверхности Земли и за ее пределами. Рассмотрим для примера тело массой т, находящееся над поверхностью Земли на высоте h (рис.18). Под действием силы тяготения тело приобретает ускорение, направленное к центру Земли. Это ускорение нетрудно найти, воспользовавшись математической формулировкой второго закона Ньютона: (Ю.2) где М3— масса Земли; R3 — радиус Земли. Из уравнения (10.2) получаем для ускорения выражение Для высот, значительно меньших радиуса Земли, можно с хорошим приближением считать ускорение равным СЩ Ъ2 Пизанская башня (10.4) а — Из выражения (10.4) видно, что ускорение тел у поверхности Земли не зависит от массы этих тел, определяется только массой Земли и ее- радиусом. Факт независимости ускорения падающих Земля R3 тел от их массы впервые установил Галилей в 1590 г., проводя свои знаменитые опыты на падающей башне в итальянском городке Пизе. По понятным причинам это ускорение называется ускорением свободного падения и обозначается буквой g. Под действием силы гравитационного притяжения движутся не только тела у поверхности Земли, но и небесные тела, взаимодействующие с Землей, например ее естественный спутник Луна. Ньютон впервые понял, что причина движения Луны на околоземной орбите и яблока, падающего с дерева, одна и та же. Только ускорение, с которым движется Луна по своей орбите, из-за ее удаленности будет меньше ускорения свободного падения. Так как расстояние Лзл между Землей и Луной (340 ООО км) гораздо больше их радиусов (6378 км и 1738 км соответственно), то при расчете ускорения Луны ал взаимодействующие планеты можно считать материальными точками. Тогда из второго закона Ньютона и закона всемирного тяготения получим a-f*'. (10.5) к зл Так как Луна движется вокруг Земли по круговой орбите, то ускорение ее движения является центростремительным ускорением, которое зависит от радиуса орбиты и орбитальной скорости движения ил: Зная параметры лунного движения из астрономических наблюдений и рассчитав ускорение Луны, можно экспериментально убедиться в справедливости обратной зависимости ускорения тел, движущихся в поле тяготения Земли, от квадрата их расстояния до ее центра. Таким образом, применяя законы механики, удается описать движение тел не только около поверхности Земли, но и далеко за ее пределами. Пожалуй, самым удивительным в истории применения законов Ньютона для исследования движения набесных тел является предсказание существования новых планет Солнечной системы — Нептуна и Плутона. Орбита Нептуна была рассчитана теоретически французским математиком Урбеном Леверьеи английским ученым Джоном Адамсом практически одновременно и независимо друг от друга в 1846 г. Предсказания ученых позволили немецкому астроному Иоганну Галле в этом же году с помощью оптического телескопа обнаружить таинственную планету точно в том месте, где предсказывали вычисления. Положение Плутона было предсказано англичанами Лоуэллом и Пикерин-г о м, эта планета была обнаружена в 1930 г. астрономом Т о м б о очень близко от того места, которое указывали расчеты. В настоящее время даже школьник с помощью компьютера без труда может рассчитать траекторию движения любого тела в поле тяготения Земли или орбиту искусственного спутника Земли, используя законы Ньютона. На рисунке 19 приведены в качестве примера расчетные траектории движения тела, брошенного под углом к горизонту с различными начальными условиями. Нетрудно определить скорость, с которой должно двигаться тело у поверхности Земли, не падая на ее поверхность. Для расчета нужно использовать равенство ускорения свободного падения и центростремительного ускорения тела при условии, что тело движется по круговой орбите с радиусом, равным радиусу Земли. При этом условии можно записать следующее равенство: Эта скорость называется первой космической скоростью, ее значение равно 7,9 км/с. 4 октября 1957 г. советской ракетой на орбиту вокруг Земли был выведен первый искусственный спутник. Это событие открыло космическую эру в истории развития человечества. ? Вопросы 1. Как формулируется закон всемирного тяготения? 2. Есть ли тела, которые не участвуют в гравитационном взаимодействии? 3. Почему под действием силы тяготения Луна не падает на Землю?
Читать дальше »

РЕАКТИВНОЕ ДВИЖЕНИЕ Одним из впечатляющих достижений XX в. является преодоление человеком земного притяжения и начало освоения космического пространства. Отцом космонавтики по праву считается русский уче- 2-9322. Мансуров, 10-11 кл.ный К. Э. Циолковский, который впервые предложил использовать ракету для полета в космос. Принцип действия ракеты можно объяснить с помощью второго и третьего законов Ньютона. При работе ракетного двигателя образуются газообразные продукты горения ракетного топлива, вырывающиеся из сопла ракеты со скоростью и. Будем считать, что за время dt ракету покидает газ массой dm. При этом газ получает некоторый импульс, равный vdm. Если учесть, что до горения топливо было неподвижно относительно корпуса ракеты, то vdm есть изменение импульса газа, покинувшего ракету за время dt. По второму закону Ньютона изменение импульса со временем равна действующей на тело силе, следовательно, vdm/dt есть сила, действующая на газ со стороны ракеты. По третьему закону Ньютона с такой же силой газовая струя будет действовать на ракету, заставляя ее двигаться вперед. Эта сила называется реактивной силой. Используя реактивную силу, можно преодолеть силу тяжести. Мощная ракета взлетает, медленно отрываясь от земли, под действием реактивной силы, возникающей при сгорании ракетного топлива. Принцип реактивного движения используется для движения и в безвоздушном пространстве. Первым человеком, совершившим космический полет 12 апреля 1961 г., был гражданин СССР Юрий Алексеевич Гагарин. В настоящее время в космическое пространство выведено свыше 2000 космических объектов, с 1998 г. на околоземной орбите работает 1-й модуль международной космической станции (МКС) «Заря», внеатмосферный американский оптический телескоп «Хаббл» передает на Землю ценную информацию о небесных объектах, проводятся исследования планет Солнечной системы с помощью космических аппаратов, готовится полет человека на загадочную планету Марс. Благодаря космическим исследованиям в мировоззрении людей произошли существенные изменения. Из космоса с помощью искусственных спутников были получены фотографии как отдельных фрагментов поверхности Земли, так и ее общего вида. На рисунке 20 показана космическая фотография Земли. На этой фотографии мы видим Землю со стороны, что имеет огромное познавательное и психологическое значение. Человек впервые благодаря космическим исследованиям увидел, что его дом — это уникальная планета, не очень большая и очень незащищенная. Такое же значение имела фотография, полученная с борта американской космической станции «Воя-джер», сделанная в тот момент, когда станция покинула пределы Солнечной системы. На ней Земля видна как небольшая светлая точка на фоне космической пустоты. В космосе человек столкнулся с непривычными для него условиями. Безвоздушное пространство, сверхнизкие температуры, проникающая радиация, невесомость — все это чрезвычайно затрудняет пребывание человека в космосе. Особенно коварным фактором для людей оказалась невесомость. В условиях невесомости у человека происходит нарушение натриево-калиевого баланса в организме, что приводит к существенным изменениям в обмене веществ на клеточном уровне. Кроме этого, наблюдается избыточный приток крови к голове, легким и сердцу, что связано с перераспределением давления крови в организме человека. Если в космическом корабле можно создать искусственную атмосферу, обеспечить защиту от радиации, то избавиться от невесомости гораздо сложнее. Для преодоления отрицательного воздействия невесомости на организм человека разработана эффективная методика, позволяющая находиться в невесомости длительное время. ? Вопросы 1. При каких условиях возникает реактивная сила? 2. Приведите пример реактивного движения. 3. Назовите основные этапы освоения человеком космоса. 4. Что дает человеку освоение космоса?
Читать дальше »

НЕВЕСОМОСТЬ Что же представляет собой такое грозное для человека явление, как невесомость? По названию можно догадаться, что невесомость — это отсутствие веса. Выяснив, что такое вес, мы ответим на поставленный вопрос. Весом тела называется сила, с которой тело давит на горизонтальную подставку или растягивает нить подвеса. При невесомости эта сила равна нулю. Представим, что тело массой т лежит на горизонтальной поверхности стола. Рассмотрим силы, действующие на тело, на поверхность стола и на Землю. На тело действуют две силы: сила тяжести в результате взаимодействия с Землей и сила упругости из-за взаимодействия с поверхностью стола. Эта сила называется силой реакции опоры. По третьему закону Ньютона на Землю со стороны тела действует сила, равная силе тяжести, а на крышку стола действует сила, равная силе реакции опоры и направленная в противоположную сторону. По определению эта сила является весом (рис. 21). Определим модуль веса в этом случае. Так как тело, лежащее на столе, покоится, то по второму закону Ньютона сумма сил, действующих на тело, равна нулю. Так как сила тяжести и сила реакции опоры противоположны друг другу, то это условие означает, что разность модулей этих сил равна нулю, т. е. mg — N = 0, или mg = N. По третьему закону Ньютона сила реакции опоры и вес тела равны друг другу по модулю, т. е. N = Р, и, следовательно, Р = mg. (12.1) В этом случае вес тела численно равен силе тяжести. Представим теперь, что тело вместе со столом движется в кабине лифта с ускорением ~а. Рассмотрим два случая. Сначала бу-вес тела увеличивается, если ~а направлено вверх; б— вес тела уменьшается, если ~а направлено вниз дем считать, что ускорение направлено вверх (рис. 22, а). Тогда по второму закону Ньютона имеем N — mg = та. Повторяя прежние рассуждения, получим N = mg + та, Р = N, P = m(g + a). (12.2) Из выражения (12.2) видно, что вес тела в этом случае увеличивается на та по сравнению с весом тела в неподвижном лифте. Если ускорение лифта направлено вниз (рис. 22, б), то mg-N = = та, и, следовательно, Р = m(g-a), т. е. вес тела в этом случае уменьшается на та. Если ускорение, с которым движется лифт, равно ускорению свободного падения, то вес тела равен нулю. При этом условии наступает невесомость. При невесомости обращается в нуль и сила реакции опоры, и подставка перестает давить на тело. Равенство ускорения лифта и ускорения свободного падения означает, что и лифт, и тело в лифте находятся в состоянии свободного падения, двигаясь только под действием силы тяжести. Отсюда можно сделать заключение о том, что невесомость наступает при свободном движении тел под действием силы тяжести. Для преодоления отрицательных последствий невесомости на организм человека создают искусственную силу тяжести или применяют комплекс физических упражнений для тренировки человека или сочетание того и другого. ? Вопросы 1. Что такое вес тела? 2. Что такое невесомость? 3. Будет ли наблюдаться невесомость на Луне? 4. Можно ли наблюдать невесомость в домашних условиях, в школьном физическом кабинете? 5. Какой вес имеет парашютист, опускающийся с постоянной скоростью на поверхность Земли?
Читать дальше »

Одним из критериев работоспособности элементов химического оборудования (подраздел 5.4) названа устойчивость, т. е. способность элемента конструкции сохранять свою первоначальную геометрическую форму при воздействии внешней нагрузки. Изменения в материале при потере устойчивости принципиально отличаются от его поведения при рассмотренных ранее видах деформаций. В случае простых видов напряженного состояния стержня деформации в материале нарастали постепенно с увеличением нагрузки. При потере устойчивости при постепенном увеличении нагрузки происходит внезапное скачкообразное и, как правило, сильное изменение формы элемента, что может привести к его разрушению. Наиболее наглядным примером понятия устойчивости может служить прямолинейный стержень, нагруженный силой F, действующей строго по оси стержня (рис. 40). Если сила невелика, то сжатый стержень остается прямолинейным. Более того, при малых принудительных отклонениях стержня он возвращается к исходной геометрической форме. Говорят, что прямолинейная форма равновесия стержня в этом случае устойчива. С увеличением сжимающей силы свойство устойчивости будет сохраняться лишь до определенного момента. Как только сила F станет равной некоторому значению Fкр , которое называется критической силой, произойдет внезапное и резкое искривление его оси. Говорят, что при F > Fкр прямолинейная форма стержня теряет устойчивость. В реальных конструкциях такая ситуация может возникнуть, например, в опорах технологических аппаратов, емкостей и резервуаров, в штоках насосов и компрессоров, в колонных аппаратах большой высоты. В любом случае при расчете на устойчивость необходимо знать величину критической силы Fкр. Тогда условием работоспособности данного элемента оборудования по критерию устойчивости будет неравенство: 125 F < [ F ] , где [ F ] = Fкр / nу . (5.42) Здесь [F] – допускаемое значение сжимающей силы, nу – коэффициент запаса устойчивости. Величина последнего регламентируется отраслевыми стандартами. Найдем величину критической силы Fкр для стержня, сжатого продольной силой (рис. 40). Будем считать сжимающую нагрузку приложенной к центру тяжести сечения, прогибы у малыми, а возникающие при этом напряжения не превышающими предел пропорциональности ?пц (следовательно, справедлив закон Гука). Тогда прогиб и внутренний изгибающий момент, обусловленный действием силы Fкр, в каждом поперечном сечении связаны между собой дифференциальным уравнением изогнутой оси балки (5.36): z z EI M x dx d y ( ) 2 2 ? . Изгибающий момент Мz(х) равен произведению силы на плечо, которым в данном случае является величина прогиба: Мz(х) = - Fкр у. Знак минус отражает связь между знаком изгибающего момента и прогибом стержня (первый на рис. 40 отрицателен, второй положителен). Подставив выражение для изгибающего момента в дифференциальное уравнение изогнутой оси, придем к следующему уравнению второго порядка с постоянными коэффициентами: 2 0 2 2 ? k y ? dx d y , (5.43) Рисунок 40 y(x) y x Fc=Fкр x ? Fc
Читать дальше »

1. Что изучает механика деформируемого тела ? 2. Назовите количественные характеристики деформаций. 3. Что называется относительной линейной деформацией ? 4. Что характеризуют угловые деформации ? 5. Какова природа возникновения внутренних усилий в материале элементов конструкций ? 6. Перечислите внутренние силовые факторы в поперечных сечениях элементов оборудования, имеющих расчетную схему стержня. 7. Какими деформациями вызывается каждый из внутренних силовых факторов ? 8. Как определяется полное внутреннее напряжение в данной точке материала ? Какова размерность напряжений ? 9. Чем отличаются нормальные и касательные напряжения по характеру действия на материал ? 10. Как связаны внутренние силовые факторы и напряжения ? 11. Перечислите главные критерии работоспособности элементов химического оборудования. 12. Каковы исходные данные и цели проектных, поверочных и нагрузочных расчетов ? 13. Сформулируйте закон Гука при растяжении. 14. Что такое модуль продольной упругости материала и каков его физический смысл ? 15. Что характеризует коэффициент Пуассона ? 16. Сформулируйте закон Гука в абсолютных удлинениях. 17. В чем состоит условие прочности при растяжении – сжатии ? 18. В чем состоит условие жесткости при этом виде деформации ? 19. Какие напряжения возникают на наклонных сечениях стержней и как они зависят от угла наклона сечения ? 20. Что такое сдвиг и какие напряжения возникают при этом виде деформации ? 21. Сформулируйте закон Гука при сдвиге. 22. Что такое модуль сдвига и в каких единицах он измеряется ? 23. Что такое кручение ? Когда возникает этот вид деформации ? Какие перемещения он вызывает ? 24. Какие напряжения возникают при кручении? Как они распределены по сечению стержня ? 129 25. Что характеризует относительный угол закручивания ? От чего он зависит ? 26. Сформулируйте условия прочности и жесткости при кручении. 27. В чем отличие чистого изгиба от плоского поперечного изгиба ? 28. Что такое нейтральная ось поперечного сечения ? 29. Как распределены нормальные напряжения в поперечном сечении при изгибе ? 30. Сформулируйте условие прочности по нормальным напряжениям при плоском поперечном изгибе. 31. Как распределены касательные напряжения в поперечном сечении при плоском поперечном изгибе ? 32. Сформулируйте условие прочности по касательным напряжениям при плоском поперечном изгибе. 33. Какими величинами характеризуются перемещения при изгибе ? 34. Запишите дифференциальное уравнение изогнутой оси балки. 35. Как определить величину прогиба и угол поворота в некотором сечении балки ? 36. Сформулируйте условия жесткости при поперечном изгибе. 37. Назовите основные механические свойства конструкционных материалов. 38. В чем состоят испытания на растяжение конструкционных материалов и какие механические характеристики можно определить с их помощью ? 39. Что такое предел пропорциональности, предел упругости, предел текучести, предел прочности ? 40. Чем отличаются диаграммы растяжения хрупких и пластичных материалов ? 41. Назовите характеристики пластичности материалов. 42. В чем состоит свойство ползучести конструкционных материалов ? 43. Приведите примеры сложного сопротивления стержней. 44. Как определить наибольшее и наименьшее напряжение при сочетании изгиба с растяжением ? 45. Что такое косой изгиб ? Какие деформации возникают при этом виде сложного сопротивления ? 46. В чем заключается свойство устойчивости как критерия работоспособности ? 47. Поясните явление потери устойчивости на примере стержня, нагруженного продольной силой. 48. Что такое критическая сжимающая сила и от чего она зависит ? 49. Приведите формулу Эйлера для критической силы. 50. При каких условиях формула Эйлера применима ? 51. Сформулируйте условие устойчивости элемента оборудования.
Читать дальше »

В общем случае нагружения деформируемого твердого тела внешними усилиями картина распределения напряжений может быть довольно сложной. Даже при плоском поперечном изгибе, относящемся к простому виду деформации, в каждой точке поперечного сечения одновременно действуют нормальные и касательные напряжения. Следовательно, материал одновременно испытывает растягивающие и сдвиговые усилия. Это обстоятельство должны учитывать соответствующие условия прочности. Кроме того, внешние усилия могут меняться во времени. Если эти изменения происходят достаточно быстро, то возникающие при этом силы инерции нельзя не учитывать. С другой стороны на практике приходится сталкиваться с нагрузками, которые меняются во времени периодически. Такие нагрузки приводят к тому, что и напряжения в материале будут переменны. Большинство конструкционных материалов сопротивляется переменных нагрузкам значительно хуже, чем статическим из-за явления усталости. Все эти вопросы рассмотрены в настоящем разделе. 6.1. Напряженно-деформированное состояние материала в точке Вектор полного внутреннего напряжения, введенный в подразделе 5.3, характеризует интенсивность распределения внутренних усилий в материале по плоскости некоторого сечения, которое проходит через данную точку. Если провести через эту точку другое сечение, то величина полного напряжения в общем случае изменится. Поэтому полное внутреннее напряжение в данной точке зависит не только от ее координат, но и от ориентации сечения. Последняя, как известно, определяется направлением нормали n к сечению. Таким образом, в общем случае полное напряжение может быть записано в виде следующей функции р = рn(x, y, z). Совокупность векторов полного напряжения, действующего в данной точке во всех плоскостях, проведенных через нее, называется напряженным состоянием в точке. Оказывается, что величина полного напряжения в сечении с произвольной ориентацией может быть выражена через величины полного напряжения в сечениях, перпендикулярных осям координат. Пусть рх(x, y, z), ру(x, y, z) и рz(x, y, z) - векторы полного напряжения в сечениях, перпендикулярных оси Ох, Оу и Оz соответственно. Тогда полное напряжение в сечении с нормалью n связано с ними посредством соотношения: cos( x) cos( y ) cos( z) n x y z  - направляющие косинусы нормали n к сечению. Формула (6.1) называется формулой Коши. Она позволяет сделать важный вывод: напряженное состояние в точке полностью определено, если известны векторы полного напряжения рх, ру и рz. Каждый из этих векторов имеет три проекции на оси декартовой системы координат (рис. 41): нормальные и касательные напряжения. Следовательно, напряженное состояние в данной точке материала определяется девятью скалярными величинами – проекциями векторов рх, ру и рz на оси координат. Эти девять величин образуют так называемый тензор напряжений Т: показан элементарный параллелепипед, выделенный из объема материала, на гранях которого действуют напряжения, составляющие тензор Т. На «невидимых» гранях действуют точно такие же напряжения, но противоположно направленные. Это нетрудно показать, если составить уравнения равновесия для выделенного параллелепипеда. Например, устремляя один из размеров параллелепипеда к нулю (, составим уравнение равновесия по силам в проекциях на ось Оу:  – нормальное напряжение на «невидимой» грани. Сокращая на площадь грани получим:  , что и требовалось показать.  ?yx ?zx ?zy Рисунок 41 132 Составим теперь уравнение равновесия по моментам относительно координатной оси Оz. Сила, обусловленная действием касательного напряжения ху на правой боковой грани, равна произведению этого напряжения на площадь грани: . Плечо указанной силы относительно оси Оz равно dx. Следовательно, момент, вызванный действием напряжения . Момент, обусловленный действием касательного напряжения ух на верхней грани параллелепипеда, в силу аналогичных рассуждений равен  С учетом направления моментов уравнение равновесия будет иметь вид: = 0. Отсюда следует, что  Точно так же можно получить два других равенства: . Эти соотношения носят название закона парности касательных напряжений: на двух взаимно перпендикулярных площадках составляющие касательных напряжений, перпендикулярные к общему ребру, равны и направлены обе либо к ребру, либо от ребра. Закон парности справедлив при любых свойствах материала, а также при любых приложенных нагрузках. В силу этого закона тензор напряжений (6.2) всегда симметричен, а напряженное состояние в точке определяется шестью независимыми компонентами напряжений: х  . Свойства тензоров во многом схожи со свойствами векторов. В частности, при переходе к другой системе координат компоненты тензора, так же как и компоненты вектора будут меняться. Компоненты тензора напряжений изменятся, если, например, повернуть систему координат. Оказывается, что в каждой точке нагруженного тела обязательно найдется такая система осей Ох, Оу и Оz, в которой касательные напряжения равны нулю. Такие оси называются главными осями. Соответствующие им взаимно перпендикулярные площадки называются главными площадками, а нормальные напряжения на них – главными напряжениями. В порядке возрастания их численных значений главные напряжения принято обозначать через  . Если в качестве осей координат выбрать главные оси, то тензор напряжений в этих координатах примет вид:  Следовательно, напряженное состояние материала полностью определяется численными значениями трех главных напряжений. В зависимости от их величины различают три типа напряженного состояния в точке. Если все три главных напряжения отличны от нуля, то напряженное состояние называют объемным или трехосным (рис. 42, а). В том случае, когда одно из трех главных напряжений равно нулю (рис. 42,б), говорят о плоском или двухосном напряженном состоянии. Наконец, если только одно главное напряжение отлично от нуля, напряженное состояние называется линейным или одноосным (рис. 42,в). Примером линейного напряженного состояния может служить напряженное состояние, возникающее при растяжении (сжатии). Одна из главных площадок в этом случае лежит в плоскости поперечного сечения. На ней нормальное напряжение отлично от нуля, а касательное напряжение отсутствует. На двух других главных площадках, перпендикулярных первой, нормальные напряжения равны нулю (см. формулы (5.13)). Как и при простых видах нагружения, в общем случае напряженного состояния необходимо уметь оценивать не только величину напряжений в материале, но и величину деформаций. Как известно, такие оценки лежат в основе расчетов на жесткость. При линейном напряженном состоянии напряжения и деформации в направлении действия этих напряжений связаны между собой законом Гука 6.4) При этом деформации происходят также и в направлении, перпендикулярном действию напряжений ?. Величина деформаций ?* в поперечном направлении может быть определена из соотношения () где ? – коэффициент Пуассона. Рассмотрим случай объемного напряженного состояния, выбрав в качестве координатных осей главные оси. В направлении главных осей, как отмеча и аналогичного слагаемого, вызванного напряжением 3. Таким образом, при объемном напряженном состоянии материала относительная деформация ?1 равна: ? ?  Аналогично относительные деформации в направлении других главных осей связаны с главными напряжениями соотношениями: ? ? 2 2 1 . Соотношения (6.6) и (6.7) называются обобщенным законом Гука для объемного напряженного состояния. При плоском напряженном состоянии, когда, например, = 0, обобщенный закон Гука примет вид: ) Первые два равенства можно разрешить относительно главных напряжений:  Этими формулами часто пользуются при экспериментальном определении напряжений, непосредственно измеряя величины относительных деформаций ?1 и ?2.
Читать дальше »

При линейном напряженном состоянии (растяжении или сжатии) условие прочности  сводится к требованию, чтобы максимальные нормальные напряжения не превосходили допускаемой величины [?]. Последняя через соответствующие коэффициенты запаса связана с пределом текучести ?т для пластичных материалов и с пределом прочности ?пч для хрупких (см. подраздел 5.8). Обе величины ?т и ?пч выступают в качестве предельных значений напряжений, при достижении которых в материале начинают происходить необратимые изменения (нарастание остаточных деформаций или хрупкое разрушение). Состояние материала, в котором действуют предельные напряжения, называется предельным (или опасным) состоянием. Понятие предельного состояния можно использовать и для общего случая напряженного состояния. Именно, под предельным состоянием материала в общем случае понимают наступление состояния текучести для пластичных материалов и разрушения – для хрупких. Однако простое сопоставление возникающих в материале напряжений с величинами ?т и ?пч не может служить в качестве критерия прочности. В самом деле, пределы текучести и прочности определяются экспериментально при осевом растяжении образцов. При объемном напряженном состоянии в каждой точке материала одновременно действуют растягивающие и сдвиговые усилия по различным направлениям. Другими словами, условия нагружения образца при испытаниях и реального элемента конструкции не являются подобными. Создать при испытаниях образцов точно такие же условия, при которых эксплуатируется реальный элемент конструкции, невозможно, поскольку при объемном напряженном состоянии для деталей различной геометрической формы между главными напряжениями  возникает бесчисленное количество комбинаций, как по их направлениям, так и по их величине. Поэтому на практике при анализе работоспособности элементов конструкции в общем случае нагружения используется подход, не основанный на физическом моделировании в условиях испытаний. Указанный подход состоит в подборе критерия предельного напряженно-деформированного состояния, который позволяет сравнить напряженные состояния с различным сочетанием главных напряжений  с напряженным состоянием при простом растяжении. Сравнение проводится с помощью так называемого 136 эквивалентного напряжения ?экв. Под эквивалентным напряжением понимается такое напряжение в материале при простом растяжении, которое является равно опасным с объемным напряженным состоянием, характеризуемым напряжениями . Если величина ?экв известна, то условием прочности при любом характере внешних нагрузок может служить неравенство: ?экв ? [?]. Очевидно, что основная сложность оценки предельного состояния в общем случае нагружения заключается в нахождении физически обоснованной связи между эквивалентным напряжением ?экв и главными напряжениями . Такая связь должна исходить из истинных причин возникновения предельного (опасного) состояния в некоторой области материала. В настоящее время существует несколько различных теоретических представлений о причинах разрушения материалов. Указанные теоретические представления носят название гипотез (или теорий) прочности. Каждая из них позволяет на основании механических характеристик, полученных в испытаниях на растяжение, оценить возможность разрушения материала в сложном напряженном состоянии. Первая гипотеза прочности (или гипотеза наибольших нормальных напряжений) постулирует, что предельное состояние материала при объемном напряженном состоянии наступает в тот момент, когда наибольшее нормальное напряжение достигает величины предельного напряжения при линейном напряженном состоянии. Поскольку наибольшим нормальным напряжением является главное напряжение , из приведенной формулировки следует, что в соответствии с первой гипотезой прочности ?экв = ?1 , (6.10) и условие прочности для материалов, работающих одинаково на растяжение и сжатие, будет иметь вид: ?1 ? [?]. Для материалов, у которых механические характеристики при растяжении и сжатии различны, проверка условия прочности должна производиться и на тот, и на другой вид нагрузки. В основе первой гипотезы прочности лежат достаточно простые представления о поведении конструкционного материала в условиях объемного напряженного состояния. Они оправдывают себя в области расчета конструкций из таких весьма хрупких материалов, как камень, кирпич, керамика, инструментальная сталь и т. п. Для большинства конструкционных материалов первая гипотеза прочности является чрезмерно приближенной. 137 Вторая гипотеза прочности (или гипотеза наибольших линейных деформаций) утверждает, что предельное состояние материала при объемном напряженном состоянии наступает тогда, когда наибольшее относительное удлинение или укорочение в направлении одной из главных осей достигает величины предельной относительной деформации при простом растяжении- сжатии. Получим выражение для эквивалентного напряжения, вытекающее из второй гипотезы прочности. Наибольшее относительное удлинение происходит, очевидно, в направлении действия наибольшего главного напряжения, т. е. в направлении ?1. Поэтому в формулировке гипотезы речь идет об ?1. Согласно обобщенному закону Гука (формула (6.6)), величина ?1 связана с тремя главными напряжениями посредством соотношения:  . Предельная относительная деформация при простом растяжении-сжатии ?пр возникает при действии в материале предельных напряжений ?пр , под которыми, как уже отмечалось, понимается либо предел текучести (для пластичных материалов), либо предел прочности (для хрупких материалов). Связь между ними дает соотношение (6.4): ?пр = ?пр / Е. Таким образом, условие достижения предельного состояния по второй гипотезе прочности имеет вид: ? ? Е Е пр , откуда следует, что вторая гипотеза прочности приводит к следующему выражению для эквивалентного напряжения:  экв (6.11) и соответствующему условию прочности:  Выражение (6.11) показывает, что гипотеза наибольших линейных деформаций более полно учитывает особенности объемного напряженного состояния (эквивалентное напряжение зависит от всех трех главных напряжений). Тем не менее, опыты подтверждают эту гипотезу для таких хрупких материалов, как высокопрочная закаленная сталь и легированный чугун. Третья гипотеза прочности (или гипотеза наибольших касательных напряжений) предполагает, что предельное состояние 138 материала при объемном напряженном состоянии наступает тогда, когда наибольшее касательное напряжение достигает величины предельных касательных напряжений при простом растяжении. Опыты свидетельствуют, что положения этой гипотезы прочности достаточно точно отражают причины появления опасного состояния (текучести) в элементах конструкции, изготовленных из пластичных материалов, которые одинаково сопротивляются растяжению и сжатию. Для того чтобы получить выражение для эквивалентного напряжения, вытекающего из формулировки третьей гипотезы, обратимся к проведенному в подразделе 5.5 анализу величины нормальных и касательных напряжений в наклонных сечениях стержня. Зависимость указанных напряжений от угла наклона сечения задают формулы (5.13). Из них следует, что предельное касательное напряжение при простом растяжении равно ?пр/2 и действует в сечении, расположенном под углом 450 к оси стержня. Точно такой же анализ распределения напряжений при объемном напряженном состоянии приводит к аналогичному результату: наибольшие касательные напряжения равны полуразности главных напряжений ?1 и ?3 и действуют на площадках, наклоненных под углом 450 к направлением этих напряжений. Следовательно, условие достижения предельного состояния по третьей гипотезе прочности имеет вид: , а эквивалентное напряжение и условие прочности записываются следующим образом: ?экв  К недостаткам третьей теории прочности относится ограниченность ее пластичными материалами. Четвертая гипотеза прочности исходит из более глубоких представлений о механизмах нарушения внутренней структуры материалов, нагруженных внешними силами. Согласно этой гипотезе, предельное состояние материала при объемном напряженном состоянии наступает тогда, когда удельная потенциальная энергия, накапливаемая элементом конструкции при изменении его формы, достигает предельной величины энергии изменения формы при простом растяжении-сжатии. В курсе сопротивления материалов в результате анализа величины потенциальной энергии упругой деформации получена следующая 139 формула для эквивалентного напряжения и условие прочности, вытекающие из формулировки данной гипотезы:  Расчеты по четвертой теории прочности дают результаты, примерно совпадающие с результатами расчетов по третьей теории прочности и хорошо подтверждаемые экспериментами с пластичными материалами.
Читать дальше »

До сих пор при анализе возникающих в материале напряжений и деформаций предполагалось, что внешние нагрузки имеют статический характер. К статическим относятся нагрузки, которые достигают своих конечных значений настолько медленно, что ускорения, получаемые элементами конструкций, пренебрежимо малы. Во многих случаях нагрузки изменяются во времени с большой скоростью, и возникающими ускорениями пренебречь нельзя. Такие нагрузки называются динамическими. Частным случаем динамических нагрузок являются ударные нагрузки, когда скорость тела за очень короткий промежуток тела падает до нуля. При этом тело испытывает значительное ускорение, а, следовательно, и силы инерции. Более того, большинство материалов при ударных нагрузках ведет себя совершенно иначе, чем при статических. Следовательно, механические характеристики, полученные при статических испытаниях, не позволяют предсказать особенности поведения материалов при ударно действующих нагрузках. Учет динамического характера нагрузок основан на принципе Даламбера (см. подраздел 4.3), согласно которому любое движущееся с ускорением тело можно рассматривать как находящееся в состоянии мгновенного равновесия, если к числу действующих на него сил добавить силу инерции. Для иллюстрации принципа Даламбера применительно к решению задач на прочность и жесткость рассмотрим равноускоренный подъем груза на стальном тросе (рис. 28). Пусть известны масса груза m, величина ускорения W и площадь поперечного сечения троса А. Требуется определить величину напряжений ?д в тросе и сравнить их с напряжениями ?ст при равномерном подъеме. Воспользуемся методом мысленных поперечных сечений. В произвольном сечении троса при ускоренном подъеме груза продольная сила Nд должна уравновесить силу тяжести груза mg, направленную вертикально вниз, и силу инерции груза mW, также 140 направленную вниз противоположно направлению ускорения (подраздел 4.3). Поэтому должно выполняться равенство: Nд = mg + mW . Разделив левую и правую части на площадь поперечного сечения троса, перейдем к напряжениям:  Здесь учтено, что отношение веса груза к площади сечения троса mg / А равно напряжению, которое возникло бы в материале при равномерном подъеме, т. е. при статическом нагружении. Выражение в скобках в соотношении (6.14) обозначается через kд и называется динамическим коэффициентом. Он показывает, во сколько раз напряжение при динамическом нагружении превышает напряжение при статическом характере тех же нагрузок: ?д = kд ?ст. В данном примере динамический коэффициент определяется отношением ускорения W к ускорению свободного падения. Ясно, что в начале движения коэффициент kд может принимать достаточно большие значения. Удлинение троса ?lд при ускоренном подъеме груза связано с аналогичной величиной при равномерном подъеме ?lст также через динамический коэффициент kд : ?lд = kд ?lст. Как известно из раздела «Динамика», ускоренное движение не является необходимым условием появления сил инерции. При вращательном движении (даже равномерном) всегда существует нормальное (центростремительное) ускорение, величина которого определяется формулой (3.26). Следовательно, вращающиеся детали всегда нагружены силами инерции (центробежными силами). Рисунок  Для оценки этих сил и вызванных ими напряжений рассмотрим кольцо радиуса R, вращающееся с постоянной угловой скоростью ? (рис. 43,а). Пусть А площадь поперечного сечения кольца. Величина центростремительного ускорения согласно (3.26) равна: Wn = R?2. Определим центробежную силу, которая в данном случае играет роль силы инерции, действующую на единицу длины кольца. Масса единицы длины кольца m равна произведению объема 1? А на плотность ? материала кольца: m = ?А. Тогда сила инерции Fц, действующая на единицу длины кольца, будет равна:  . Воспользуемся методом мысленных поперечных сечений и рассмотрим силы, которые приложены к половине кольца (рис. 43,б). На обоих торцах полукольца действуют продольные силы N, которые уравновешивают всю совокупность центробежных сил, равномерно распределенных по материалу кольца. Длина элемента кольца, выделенного двумя радиусами с углом между ними d?, равна Rd?. Следовательно, на этот элемент будет действовать центробежная сила Fц Rd?, проекция которой на вертикальную ось составит величину Fц Rd? sin ? = ?AR2 ?2 sin ? d?. Интегрируя по всему полукольцу, получаем:  , откуда следует, что напряжения в материале кольца, вызванные центробежными силами равны: ) Полученное выражение позволяет оценить предельные значения угловых скоростей вращающихся узлов машин, превышение которых может привести к появлению в материале опасных напряжений. Особую роль среди динамических нагрузок играют ударные нагрузки. За счет больших ускорений при ударе возникают значительные силы инерции, которые, в конечном счете, и определяют воздействие удара. Однако точно определить величину ускорения при ударе невозможно. Поэтому воспользоваться формулой (6.14) для оценки динамических напряжений нельзя. Анализ напряжений и деформаций при ударе основан на энергетическом подходе, который приводит к результату аналогичному формуле 142 (6.14). Именно, напряжения и деформации при ударных нагрузках превышают соответствующие величины при статическом нагружении в число раз, равное динамическому коэффициенту kд. Так, при падении груза на горизонтальную балку с высоты h (рис. 44) величина динамического прогиба ?lд в произвольном сечении равна: ст д ст д ст  Здесь ?lст – величина прогиба в том же сечении при статическом нагружении. Напряжения при ударе также выражаются через напряжения при статическом нагружении и динамический коэффициент k Следовательно, для того чтобы рассчитать деталь на прочность и жесткость при ударных нагрузках, достаточно научиться рассчитывать ее при внешних усилиях, не зависящих от времени. Из формулы (6.17) можно сделать интересный вывод. Если груз не падает с высоты, а прикладывается внезапно (h = 0), то ??д = 2 ??ст, т. е. при внезапном приложении нагрузки напряжения в два раза превышают напряжения, возникающие при статическом нагружении. Поскольку, как уже отмечалось, поведение конструкционных материалов при ударно действующих нагрузках сильно отличается от поведения при статическом характере нагружения, их способность переносить мгновенное приложение внешних сил определяется с помощью специальных испытаний на удар. При этих испытаниях непосредственно измеряется количество работы, необходимой для Рисунок 44 yд x ? Q y h 143 ударного излома образца. Отношение затраченной работы к площади сечения образца называется относительной вязкостью материала при ударной нагрузке. Эта величина необходима при проектировании частей машин и аппаратов, которые при эксплуатации могут подвергаться воздействию сил ударного характера.
Читать дальше »