Нажмите на баннер и автоматически будете на моей странице "Вконтакте"

 

 Телефон мобильный;

 8(965)049-25-97(Билайн)

 Электронная почта;

 89650492597@mail.ru

 

 


Решение задачи, контрольных для студентов

Решение задач — это процесс выполнение мыслительных действий, направленный на получение заданной цели.

Процесс решения задачи состоит из:
1)Подготовка данных;
2)Определение способа (метода) решения (если он не задан условием);
3)Нахождение решения задачи.

Если у вас нет времени или задали сложные примеры которые Учитель не смог грамотно объяснить, я смогу вам помочь, срок решения от четырёх дней. Цена определяется после изучения (просмотра) задания.


















Метод контурных токов
Приведены выше методика расчета позволяет производить расчет цепей любой сложности, но при большом числе независимых контуров система уравнений становиться громоздкой. Существенно сократить число уравнений системы возможно с помощью введения вспомогательных неизвестных. В качестве таких неизвестных можно ввести условные контурные токи, считая что эти токи протекают в каждом в каждом независимом контуре, совершенно независимо от токов смежных контуров. В этом случае число необходимых уравнений уменьшается до числа независимых контуров. Очевидно, что в данном случае принимается допущение, что через один элемент могут в разных направлениях протекать одновременно два разных контурных тока, при этом реальный ток будет равен алгебраической сумме соответствующих контурных токов. При составлении уравнений это будет заключаться в том, что в левой части будут присутствовать два падения напряжения на одном элементе цепи.

Методика решения задачи методом контурных токов
При решении задачи рекомендуется следующая последовательность действий:
1. проставить произвольно направления истинных токов во всех ветвях электрической цепи;
2. разбить цепь на независимые контура;
3. проставить направления условных контурных токов в каждом независимом контуре;
4. составить уравнения электрического состояния по второму закону Кирхгофа для каждого контура, используя в качестве неизвестных условные контурные токи;
5. решив полученную систему уравнений найти условные контурные токи;

6. определить истинные токи в ветвях электрической цепи; 7. при определении истинных токов в ветвях, считать, что истинный ток в элементе равен разности контурных токов, протекающих через данный элемент цепи.



Читать дальше »

При расчете цепей переменного тока применение векторных диаграмм позволяет достигнуть наглядности и, в ряде случаев, существенно упрощает расчет. Но, как и все графические построения, векторные диаграммы не всегда обеспечивают требуемую точность. Значительным шагом вперед, по сравнению с методом векторных диаграмм, явилось введение Штейнмецем математического аппарата теории комплексных чисел в теорию переменных токов, что позволило свести геометрические операции над векторами к алгебраическим операциям над комплексными числами. (В литературе предложенный Штейнмецем метод иногда называют символическим). В России математический аппарат теории комплексных чисел был введен в широкое употребление академиком В.Ф.Миткевичем. Теория комплексных чисел позволяет объединить простоту векторных диаграмм с возможностью проводить расчеты с любой желаемой степенью точности, особенно при расчете сложных цепей не сводящихся к последовательному или параллельному соединениям. Следует подчеркнуть, что рассматриваемый метод расчета непосредственно применим только в тех случаях, когда все э.д.с. и токи являются синусоидальными функциями времени. Способы представления комплексных чисел Как известно из теории комплексных чисел, комплексное число А может быть представлено в трех формах: алгебраической  ; тригонометрической А = а(cosa + jsina); показательной А = ае . Для перехода от алгебраической формы записи к двум другим и обратно используются следующие соотношения: а  Простейшие операции с комплексными числами Сложение и вычитание комплексных чисел Для сложения и вычитания комплексных чисел они записываются в алгебраической форме. При сложении комплексов складываются отдельно их вещественные и мнимые составляющие, например: При вычитании комплексов соответственно вычитаются отдельно их вещественные и мнимые составляющие. Вычитание комплексных чисел может быть заменено сложением уменьшаемого числа с вычитаемым, взятым с обратным знаком, что следует из выражения (Отсюда следует, что вычитание векторов, представляющих комплексные величины, можно заменить сложением уменьшаемого вектора с вычитаемым вектором, взятым с обратным знаком). Умножение и деление комплексных чисел Умножение и деление комплексов выполняется проще, если они записаны в показательной форме, например,  . Таким образом, произведение двух комплексов представляет собой новый комплекс, модуль которого равен произведению модулей, а аргумент – алгебраической сумме аргументов перемножаемых комплексов. Возможно и перемножение комплексов, записанных в алгебраической форме, но такие действия представляют собой достаточно трудоемкий процесс с возможными ошибками  Частное от деления комплекса на комплекс равно произведению комплекса делимого и комплекса обратного делителю, например, Таким образом, частное от деления одного комплекса на другой представляет собой новый комплекс, модуль которого равен частному от деления модулей, а аргумент равен алгебраической разности аргументов делимого и делителя. Если делимое и делитель заданы в алгебраической форме, то следует устранить мнимость в знаменателе, что достигается умножением числителя и знаменателя дроби на комплекс, сопряженный делителю Закон Ома Если выразить ток, протекающий через участок цепи, и падение напряжения на нем в комплексной форме ?= Iе , ? = Uе , то частное от деления напряжения на зажимах участка цепи на ток называется комплексным сопротивлением участка цепи Z = ?/?. Придав выражению другой вид ? = ?/Z, получим уравнение называемое законом Ома в комплексной (или в символической) форме. Следует обратить внимание, что точка над буквой Z не ставится, точка ставится только над комплексами, обозначающими синусоидально изменяющиеся величины, кроме того комплекс Z не зависит от начальных фаз тока и напряжения.
Читать дальше »

Электрическая энергия, вырабатываемая генераторами электростанций, передается потребителям, находящимся в большинстве случаев на больших расстояниях от станций. Для удешевления стоимости электропередачи и уменьшения потерь энергии в ней приходится повышать напряжение электропередачи до сотен киловольт. Это вызывает необходимость многократного изменения напряжения передаваемой электроэнергии, которое осуществляется трансформаторами. Трансформатором называется статический электромагнитный аппарат, предназначенный для преобразования электрической энергии одного напряжения в электрическую энергию другого напряжения. Изобретателем трансформатора был выдающийся ученый и конструктор П. Н. Яблочков. Работа трансформатора основана на явлении взаимоиндукции. Конструктивно трансформатор имеет две (или более) магнитно связанные обмотки с разным числом витков, расположенные на замкнутом магнитопроводе (сердечнике). Для снижения потерь от вихревых токов, сердечник набирается из тонких листов электротехнической стали, изолированных друг от друга слоем лака. Части сердечника, на которых расположены обмотки, называются стержнями, части сердечника замыкающие стержни, называются ярмом, внутреннее пространство между стержнями и ярмом называется окном. Обмотка трансформатора, имеющая меньшее число витков, называется обмоткой низшего напряжения, обмотка, имеющая большее число витков, называется обмоткой высшего напряжения. Обмотка, подключаемая к сети питания, называется первичной, обмотка к которой подключается нагрузка, называется вторичной, если напряжение вторичной обмотки больше напряжения первичной, трансформатор называется повышающим, если меньше - понижающим. Если напряжения первичной и вторичной обмоток равны, трансформатор называется разделительным. По конструкции сердечника трансформаторы делятся на стержневые, броневые и торроидальные. Стержневую конструкцию имеют сердечники трансформаторов большой мощности, броневые сердечники применяют для трансформаторов малой мощности и микротрансформаторов. Трансформаторы малой мощности с торроидальными сердечниками имеют высокий КПД и небольшие габариты, но отличаются трудоемкостью изготовления. Достаточно часто применяют у трансформаторов малой мощности применяют сердечники навитые из тонкой стальной ленты (так называемые витые сердечники). Трансформаторы делятся на трехфазные и однофазные, двухобмоточные и трехобмоточные, а также с расщепленными обмотками вторичного напряжения. По роду изоляции и охлаждения трансформаторы подразделяются на масляные, с негорючим заполнением (совтоловые) и сухие. Трансформаторы с расщепленными обмотками имеют две или более вторичные обмотки одинакового напряжения на 50% номинальной мощности каждая. В некоторых случаях расщепленные обмотки соединяют параллельно для повышения тока короткого замыкания (это делается в случаях резкопеременных, ударных нагрузок). Типы и исполнения трансформаторов выбираются в зависимости от условий их установки, температуры окружающей среды, ее состояния, и т.п. в загрязненных зонах предприятий при наружной установке применяют трансформаторы с усиленной изоляцией вводов. Для внутренней установки применяют преимущественно масляные трансформаторы. Трансформаторы, заполненные совтолом, целесообразно применять при невозможности приблизить к центрам нагрузок масляные трансформаторы и в то же время недопустима установка сухих негерметизированных трансформаторов. Так как совтол выделяет вредные пары, вдыхание которых вызывает раздражение слизистых оболочек, то совтоловое хозяйство на предприятиях не предусматривается и любые операции с ними производит специальный персонал. В случаях неисправности совтоловых трансформаторов их направляют на централизованную ремонтную базу. Сухие трансформаторы имеют ограниченное применение, так как они дороже масляных. Сухие трансформаторы целесообразно применять при небольшой мощности нагрузки (до 400 кВ А) и при первичном напряжении до 10 кВ. В основном они применяются там, где недопустима установка масляных трансформаторов из-за пожарной опасности, а трансформаторов с негорючей жидкостью из-за токсичности, например, в административных зданиях, клубах, местах скопления людей, в помещениях, где хранятся горючие материалы и т.д. Необходимо учитывать, что для сухих трансформаторов опасны грозовые перенапряжения, а при работе они дают повышенный шум. Для установки сухих трансформаторов подходят сухие не пыльные помещения с относительной влажностью не выше 65%.Сухие и совтоловые трансформаторы можно устанавливать непосредственно в производственных помещениях без ограничения мощности, а также в подвалах и на любых этажах зданий. Масляные трансформаторы нельзя ставить выше второго этажа и ниже уровня первого этажа более чем на 1м. При выборе типа трансформатора необходимо учитывать, что сухие и совтоловые трансформаторы в 2,5-3 раза дороже масляных. Принцип действия трансформатора Принцип действия трансформатора удобно рассматривать на примере двух режимов работы – режима холостого хода и работе под нагрузкой. Холостым ходом трансформатора называется такой режим , при котором его первичная обмотка подключена к питающей сети с номинальным напряжением, а вторичная обмотка разомкнута и ток в ней отсутствует. Под действием напряжения сети питания по первичной обмотке протекает переменный ток холостого хода имеющий активную и реактивную составляющие . Активная составляющая обусловлена активными потерями в стали сердечника трансформатора, а реактивная составляющая – магнитным потоком в сердечнике. Если для изготовления сердечника использована качественная электротехническая сталь, активная составляющая тока холостого хода много меньше реактивной и ток холостого хода I1x напряжения на угол, близкий к 900. По величине ток холостого хода составляет 4-10% номинального тока первичной обмотки. Произведение первичного тока и числа витков первичной обмотки называется магнитодвижущей (намагничивающей) силой F1x = I1xw1. Магнитодвижущая сила создает магнитный поток трансформатора, большая часть которого замыкается по сердечнику. Этот поток пронизывает витки первичной и вторичной обмоток и называется рабочим. Он индуцирует в обмотках ЭДС, действующие значения которых определяются выражениями: E1 = 4,44fw1Фм; E2 = 4,44fw2Фм. Обе ЭДС отстают от потока на 900 и совпадают по фазе. Небольшая часть потока замыкается по воздуху и пронизывает только витки первичной обмотки, создавая так называемый поток рассеяния Фр1.Этот поток индуцирует в первичной обмотке ЭДС рассеяния Е1р = 4,44fw1Фр1. В практических расчетах ЭДС рассеяния удобнее выражать через индуктивное сопротивление рассеяния Ер1 = I1x L = I1x X1. Величина Х1 называется индуктивным сопротивлением рассеяния первичной обмотки. (Чем больше насыщение стали и чем хуже собран магнитопровод трансформатора, тем больше величина Х1, а значит и падение напряжения на первичной обмотке). Падение напряжения на первичной обмотке в режиме холостого хода ничтожно мало, следовательно, U1 = E 1 = 4,44fw1Фм. При холостом ходе ток во вторичной обмотке I2 равен нулю, следовательно и падение напряжения на ней отсутствует, и U2 = E2 = 4,44fw2Фм. Отношение большей ЭДС к меньшей называется коэффициентом трансформации трансформатора k k = = . В режиме холостого хода из-за отсутствия потерь в обмотках k = . При работе под нагрузкой, под действием ЭДС Е2 по вторичной обмотке и через нагрузку будет протекать ток I2 I2 = . Реактивное сопротивление вторичной обмотки Х2 обусловлено потоком рассеяния вторичной обмотки. По закону Ленца индуцируемая ЭДС всегда имеет такое направление, при котором вызванный ею ток I2 препятствует изменению магнитного потока в магнитопроводе трансформатора. Отсюда следует, что токи I1 и I2 практически встречно и поток Фм создается совместным действием магнитодвижущих сил первичной и вторичной обмоток . Следовательно, магнитный поток в сердечнике трансформатора постоянен и не зависит от режима работы. Для определения основных параметров трансформатора проводят два опыта – опыт холостого хода и опыт короткого замыкания. По результатам опыта холостого хода узнают коэффициент трансформации трансформатора и потери в сердечнике, а из опыта короткого замыкания определяют напряжение короткого замыкания и активные и индуктивные сопротивления первичной и вторичной обмоток. Основные расчетные соотношения Коэффициент полезного действия трансформатора при любой нагрузке определяется по формуле . В данном случае = I2/I2 ном, коэффициент нагрузки, определяемый как отношение тока во вторичной обмотке к его номинальному значению. Полная мощность, потребляемая трансформатором при номинальной нагрузке Sном = Максимальное значение КПД конкретного трансформатора определяется выражением . Потери холостого хода, обусловленные нагревом стали сердечника . Полное сопротивление при холостом ходе трансформатора . Активное сопротивление при холостом ходе . Потери короткого замыкания В данном случае - номинальное напряжение на первичной обмотке трансформатора, при котором токи в обмотках имеют номинальное значение при замкнутой накоротко вторичной обмотке. Мощность потребляемая трансформатором при проведении опыта короткого замыкания расходуется на нагрев обмоток. Полное сопротивление при коротком замыкании . Активное сопротивление короткого замыкания . Если пренебречь током холостого хода, можно считать, что
Читать дальше »

Расчет эксплуатационных параметров асинхронного электродвигателя Трехфазный асинхронный электродвигатель изобрел русский инженер М.О.Доливо-Добровольский в 1889 г. Асинхронные электродвигатели отличаются простотой конструкции, высокой надежностью, низкой стоимостью, могут работать в режиме двигателя, генератора, электромагнитного тормоза и благодаря перечисленным достоинствам широко применяются во всем мире во всех отраслях промышленности. В настоящее время асинхронные электродвигатели составляют 90 % общего парка электродвигателей. Конструктивно асинхронный электродвигатель состоит из двух основных частей – неподвижного статора и вращающегося относительно статора ротора, при этом статор и ротор разделены небольшим воздушным зазором. Как правило, ротор располагается внутри статора, но существуют также электродвигатели у которых статор располагается внутри ротора. Статор асинхронного двигателя состоит из станины, внутри которой расположен стальной сердечник – пакет статора. Для уменьшения потерь мощности на вихревые токи он набирается из тонких штампованных листов электротехнической стали. На рисунке 3 представлен внешний вид пакета статора и одного из листов. На внутренней поверхности пакета статора имеются пазы в которые укладываются секции трехфазной статорной обмотки. Рис.3. Пакет статора и штампованный лист Как правило, имеется возможность соединять обмотки фаз статора звездой или треугольником, для чего на щиток двигателя выводятся шесть концов обмоток. Пакет ротора асинхронного электродвигателя представляет собой стальной цилиндр, также набранный из тонких штампованных листов и закрепленный на валу двигателя. На наружной поверхности ротора имеются пазы, аналогичные пазам статора в которые помещается роторная обмотка. По устройству обмотки ротора асинхронные электродвигатели делятся на два типа: двигатели с короткозамкнутым ротором и двигатели с фазным ротором. На рисунке 4а представлена медная стержневая обмотка короткозамкнутого ротора (беличья клетка), впервые предложенная Доливо-Добровольским. Он предложил в пазы пакета ротора вставлять медные стержни, лишенные изоляции, а концы стержней замыкать накоротко медными кольцами. Подобные обмотки применяют в современных двигателях мощностью более 100 кВт. Рис.4. Варианты конструкции короткозамкнутого ротора На рисунке 4б представлен ротор с медными стержнями в сборе. В менее мощных машинах стержни изготавливают прямой заливкой пазов ротора расплавленным алюминием, заодно со стержнями на обоих торцах ракета отливают кольца с вентиляционными лопастями (рисунок 4в). На рисунке 4г показан стандартный символ асинхронного электродвигателя с короткозамкнутым ротором, применяемый на электрических схемах. У фазного ротора в пазы пакета уложена трехфазная обмотка аналогичная статорной, при этом фазы обмотки всегда включают звездой, а три свободных конца обмотки присоединяют к трем медным контактным кольцам, закрепленным на валу при помощи диэлектрических втулок. По контактным кольцам скользят щетки, выводы от которых расположены на корпусе статора. Рис. 5. Продольный разрез асинхронного электродвигателя с фазным ротором На рисунке 5 представлен продольный разрез асинхронного электродвигателя с фазным ротором. Верхняя половина соответствует исполнению на 1500 об/мин, нижняя 1000 об/мин. На рисунке применены следующие обозначения: 1-передний подшипниковый щит, 2 – корпус статора, 3 – рукоятка подъема щеток, 4- задний подшипниковый щит, 5 – контактные кольца, 6 – обмотка статора, 7 – пакет статора, 8 – пакет ротора, 9 – вентилятор При помощи контактных колец и щеток в цепь обмотки ротора можно вводить активные сопротивления (реостаты). Введение активного сопротивления в цепь ротора при пуске двигателя позволяет с одной стороны уменьшить пусковой ток, а с другой – увеличить пусковой момент на валу. В ряде конструкций двигателей с фазным ротором имеется приспособление позволяющее после пуска поднимать щетки одновременно замыкая контактные кольца. Трехфазные асинхронные электродвигатели с контактными кольцами считаются электрическими машинами специализированного исполнения. Принцип действия асинхронного электродвигателя При подключении обмоток статора к трехфазной сети питания по обмоткам будет протекать переменный ток I1, который создаст внутри статора вращающийся магнитный поток Ф, замыкающийся по сердечникам статора и ротора. Силовые линии этого потока будут пересекать проводники обмоток ротора и статора и в них по закону электромагнитной индукции будут индуцироваться ЭДС Е1 и Е2, как в первичной и вторичной обмотках трансформатора. Под влиянием ЭДС Е2 по обмотке ротора потечет ток I2. Взаимодействие тока I2 и потока Ф создает электромагнитные силы, приводящие ротор во вращение, вслед за вращающимся потоком Ф. Таким образом, асинхронный электродвигатель с электрической точки зрения, представляет собой трансформатор с вращающейся вторичной обмоткой и способный поэтому превращать электрическую энергию в механическую. Для реверсирования двигателя нужно поменять местами два любых провода трехфазной сети питания на клеммах двигателя. При этом поменяется порядок чередования фаз и магнитный поток Ф будет вращаться в другую сторону. Из принципа действия двигателя следует, что ротор всегда имеет частоту вращения отличную от частоты вращения магнитного потока , как бы проскальзывая относительно него. Численно величина проскальзывания определяется по формуле , а величина называется скольжением асинхронного двигателя. Чем больше нагрузка на валу двигателя, тем меньше частота вращения ротора, так как больший момент сопротивления должен уравновешиваться большим вращающим моментом на валу двигателя. Последнее возможно только при увеличении Е2 и I2, а следовательно при большем значении . При номинальной нагрузке на валу скольжение составляет от 0,01 до 0,1, при этом меньшая цифра соответствует двигателям большой мощности, а большая – микродвигателям. Основные расчетные соотношения Критическое скольжение – это скольжение, при котором двигатель развивает максимальный момент на валу . В приведенной формуле - коэффициент, определяющий перегрузочную способность двигателя. Частота вращения магнитного поля двигателя . Число пар полюсов обмотки статора зависит от способа соединения секций обмотки и у двигателей стандартно исполнения не превышает 4. У многоскоростных двигателей имеется возможность изменять число пар полюсов посредством переключения секций статорной обмотки. Частота вращения ротора . Активная мощность, потребляемая двигателе от сети питания , или . Реактивная мощность . Вращающий момент на валу двигателя . Кратность пускового момента . Фазный ток в обмотке статора . Кратность пускового тока .
Читать дальше »

Предприятие "Форум" рассматривает целесообразность реализации проекта диверсификации предпринимательской деятельности, стоимость которого составляет 3 000 тыс. грн. Инвестиционные ресурсы распределяются так: на начало 1-го года - 1 500 тыс. грн., 2-го - 1 000 тыс. грн., 3-го - 500 тыс. грн. Производство нового вида продукции начинается с 2-го года и на начало 3-го года составляет 60 % запланированного уровня производства, на начало 4-го года - 80 %, начиная с четвертого года предприятие выходит на полную мощность, равную 25 тыс. единиц в год. Себестоимость изготовленной продукции будет составлять: на начало 3-го года - 2 900 тыс. грн., 4-го года - 3 200 тыс. грн. и на начало последующих лет - 3 600 тыс. грн. Прогнозная цена единицы продукции - 220 грн. Амортизационные отчисления составят: на начало 3-го года 260 тыс. грн., 4-го года - 330 тыс. грн., на начало последующих лет - 410 тыс. грн. Дисконтная ставка - 10 %. Жизненный цикл проекта - 6 лет. Ставка налога на прибыль применяется в соответствии с действующим законодательством. Заполните расчетно-аналитическую таблицу с инвестиционного проекта диверсификации предпринимательской деятельности; обоснуйте целесообразность реализации инвестиционного проекта по всем возможным показателям. Решение Расчетно-аналитическая таблица по инвестиционного проекта диверсификации предпринимательской деятельности Показатели Жизненный цикл проекта 0 год 1-й год 2-й год 3-й год 4-й год 5-й год 6-й год 1.Инвестиции, тис. грн. 1500 1000 500 2.Объем производства продукции, тыс. единиц 0 0 15 20 25 25 25 3. Цена единицы продукции, грн. 0 0 220 220 220 220 220 4. Себестоимость продукции, тис. грн. 0 0 2900 3200 3600 3600 3600 5. Виручка от реализации продукции, тис. грн. (р.2*р.3) 0 0 3300 4400 5500 5500 5500 6. Прибыль, тис. грн. (р.5-р.4) 0 0 400 1200 1900 1900 1900 7.Чистая прибыль, тис. грн. (р.6- (р.6*20%) 0 0 320 960 1520 1520 1520 8. Рентабельность продукции, % (р.7/р4) 0 0 11 30 42 42 42 9. Амортизационые отчисления, тис. грн. 0 0 260 330 410 410 410 10. Денежные потоки, тис. грн. (р.7+р.9) 0 0 580 1290 1930 1930 1930 11. Дисконтный множитель для ставки 10 % (на начало года) 1 0,909 0,826 0,751 0,683 0,621 0,564 12. Дисконтированные инвестиции, тыс. грн. (р.1*р.11) 1500 909 413 0 0 0 0 13. Дисконтированные денежные потоки, тыс. грн.(р10*р.11) 0 0 479 969 1318 1199 1089 Расчет показателей эффективности инвестиционного проекта 1. Чистый дисконтированный доход , где Фт- эффект (сальдо) денежного потока на т-м шаге, а сумма распространяется на все шаги в расчетном периоде. ?т-коэффициент дисконтирования Данные для расчета используем из рядов 12 и 13 расчетно-аналитической таблицы ЧДД=-1500-909-413+479+969+1318+1199+1089=2231 тыс. руб. 2. Внутренняя норма доходности проекта Для оценки эффективности проекта значение ВНД необходимо сопоставлять с нормой дисконта Е. Проекты, у которых ВНД > Е, имеют положительное ЧДД и поэтому эффективны, те, у которых ВНД < Е, имеют отрицательное ЧДД и потому неэффективны. Расчет ВНД проведен с помощью программы Эксель - встроенной финансовой функцией. ВНД =29 3. Индекс доходности инвестиционного проекта Индекс доходности отражает эффективность инвестиционного проекта. Рассчитывается по формуле: ИД = НС/И, где НС – настоящая стоимость денежных потоков И – сумма инвестиций, направленных на реализацию проекта (при разновременности вложений также приводится к настоящей стоимости). Если значение индекса доходности меньше или равное 0,1, то проект отвергается, так как он не принесет инвестору дополнительного дохода. К реализации принимаются проекты со значением этого показателя больше единицы. ИД =(479+969+1318+1199+1089)/1500+909+413=1,79 4. Период окупаемости инвестиционного проекта. Так как денежные поступления по годам неодинаковы, то расчёт выполняется в несколько этапов: - находим целое число периодов, за которые накопленная сумма денежных поступлений становится наиболее близкой к сумме инвестиций, но не превосходит ее. В нашем случае сумма дисконтированных инвестиций -2822 тыс. руб. Число периодов за которые накопленная сумма денежных поступлений становится наиболее близкой к сумме инвестиций – 3 года (479+969+1318=2766) - находим непокрытый остаток, как разницу между суммой инвестиций и суммой накопленных денежных поступлений (2822-2766=56) - непокрытый остаток делим на величину денежных поступлений следующего периода (56/1199=0,07) Таким образом , проект окупится за 3,07 года. (3+0,07). Вывод: согласно полученным показателям проект можно принять к реализации, т.к. ЧДД больше 0, Внутренняя норма доходности больше норм дисконта (29>10), индекс доходности больше 1 (1,79>1), проект окупится в течении перода его реализации - за 3,07 года.
Читать дальше »

Получим теперь уравнение движения, аналогичное уравнению (4.1), но уже для механической системы. Рассмотрим механическую систему, состоящую из N точек, которые обладают в общем случае различной массой. Обозначим массу точки с номером i через mi, а радиус-вектор этой точки - через ri. Массой механической системы m называется сумма масс всех ее точек: (4.12) Под центром масс механической системы понимают геометрическую точку С, радиус-вектор которой находится с помощью соотношения: i m m 1 1 r r . (4.13) Это векторное равенство в проекциях на оси декартовой системы координат распадается на три скалярных соотношения для координат центра масс: 4) Если механическая система (в частности, твердое тело) находится в поле силы тяжести, то ее центр масс совпадает с центром тяжести, и формулы (4.14) позволяют найти его местоположение. Однако для твердого тела суммирование в правых частях равенств должно быть заменено интегрированием по его объему. Дифференцируя эти равенства по времени можно установить связь между скоростями Vi всех точек механической системы и скоростью ее центра масс VС: ) Повторное дифференцирование приведет к соотношению между ускорениями точек Wi и ускорением центра масс WС: ) Таким образом, движение центра масс механической системы зависит от характера движения каждой ее точки. В свою очередь, движение точек системы происходит под действием сил. При анализе сил отмечалось (раздел 2), что часть сил является внешними по отношению к механической системе, другие силы действуют внутри системы между ее отдельными точками. С учетом этого запишем уравнение (4.1) для каждой точки механической системы:Рi – равнодействующие внешних и внутренних сил, действующих на i - ю точку. Просуммируем левые и правые части всех N уравнений:  P Из статики известно (см. подраздел 2.1), что главный вектор внутренних сил  i 1 P любой механической системы равен нулю. Тогда с учетом (4.16) получим уравнение: Следовательно, произведение полной массы механической системы на ускорение центра ее масс равно главному вектору всех внешних сил, действующих на точки механической системы. Сравнение полученного уравнения с аксиомой 2 позволяет сделать вывод: центр масс механической системы движется как свободная материальная точка, в которой сосредоточена вся масса системы и к которой приложена сила, равная главному вектору внешних, действующих на точки системы. В проекциях на оси декартовой системы координат векторному уравнению (4.17) соответствуют три уравнения в скалярной форме: ) Здесь Fix, Fiy и Fiz – проекции на оси координат внешних сил, действующих на точку системы с номером i. Уравнения (4.18) называются дифференциальными уравнениями движения центра масс. В случае поступательного движения твердого тела эти уравнения достаточны для его полного описания. В самом деле, в разделе, посвященном кинематике, отмечалось, что описание поступательного движения сводится к описанию движения одной его точки. В динамике в качестве такой точки выбирается центр масс. Поэтому уравнения (4.18) часто называются дифференциальными уравнениями поступательного движения твердого тела. Из них, в частности, следует, что если главный вектор внешних сил равен нулю во все время движения, то центр масс механической системы будет находиться в покое или двигаться равномерно и прямолинейно. Еще один важный вывод, вытекающий из уравнений движения (4.18) состоит в следующем: внутренние силы, действующие между отдельными элементами механической системы (твердого тела), не могут изменить движения центра масс. 67 4.5. Количество движения материальной точки и механической системы Количеством движения материальной точки называют векторную величину, равную произведению массы точки на ее скорость: mi Vi. Единицей измерения количества движения служит м / с. Количеством движения механической системы К называют векторную сумму количества движения всех точек, составляющих систему:  K m V (4.19) Правую часть этого равенства, согласно (4.15), можно заменить на произведение mVC. Следовательно, количество движения механической системы (в частности, твердого тела) равно произведению ее массы на скорость центра масс: К = m VC. Отсюда видно, что количество движения является мерой поступательной части движения тела. Мерой вращательной части движения являются другие характеристики, которые будут рассмотрены ниже. Продифференцируем обе части равенства (4.19) по времени. С учетом (4.17) имеем: Это равенство составляет содержание теоремы об изменении количества движения механической системы: производная по времени от количества движения системы равна главному вектору внешних сил, действующих на систему. Сформулированная теорема широко применяется при анализе движения не только твердых тел, но и газообразных и жидких сред. Она остается справедливой при движении тел переменной массы (например, при реактивном движении). Из теоремы об изменении количества движения вытекает, что измениться оно может только в результате действия сил. Способность силы воздействовать на тело характеризуется ее импульсом. В общем случае импульс S силы F за промежуток времени от 0 до  определяется соотношением:  68 Если сила не меняется во времени, то импульс, который она передает телу, равен произведению силы на время воздействия Размерность импульса силы [м / с. Она совпадает с размерностью количества движения. Следовательно, эти физические величины взаимосвязаны. Конкретный вид такой связи вытекает из теоремы об изменении количества движения (4.20). Проинтегрируем обе части указанного равенства по времени в пределах от 0 до Свойства определенного интеграла после несложных преобразований позволяют записать: , (4.21) т.е. приращение количества движения механической системы за некоторый промежуток времени равно векторной сумме импульсов всех внешних сил, действующих на систему, за тот же промежуток времени. Поскольку сумма сил, входящая в соотношение (4.20), эквивалентна главному вектору, предыдущая формулировка может быть заменена следующей: приращение количества движения механической системы за некоторый промежуток времени равно импульсу главного вектора внешних сил за тот же промежуток времени. Обе формулировки составляют содержание теоремы импульсов. Из теоремы вытекает несколько важных следствий. Во-первых, внутренние силы не могут изменить количества движения механической системы. Во-вторых, если главный вектор внешних сил равен нулю в течение некоторого промежутка времени, то количество движения системы будет постоянным в течение этого промежутка. Наконец, в-третьих, если проекция главного вектора внешних сил на какое-нибудь направления равна нулю, то проекция количества движения на это направление будет оставаться постоянной во все время движения системы. Приведенные следствия широко используются при решении задач механики.
Читать дальше »

Как уже отмечалось, количество движения является мерой поступательной составляющей движения и не может служить 69 характеристикой движения для вращающихся тел. Действительно, рассмотрим тело, которое вращается вокруг неподвижной оси, проходящей через центр масс. Тогда VC = 0, и количество движения К = 0 в силу К = m VC. Точно так же обстоит дело с массой тела. Если для поступательного движения она служит мерой инерционности тела, то для вращательного движения эту роль играют другие характеристики. Они носят название моментов инерции. Пусть имеются материальная точка массой m и некоторая неподвижная ось. Моментом инерции материальной точки относительно некоторой оси называется скалярная величина, равная произведению массы точки на квадрат расстояния от точки до оси. Например, для материальной точки, изображенной на рис. 24, момент инерции относительно оси Ох равен Jx = m у2, относительно оси Оу – Jу = m х2, относительно оси l - Jl = m h2 (х и у – координаты точки). Единицы измерения осевых моментов [J] = кгм2. Из определения момента инерции следует, что он не может быть отрицательным. Понятие момента инерции материальной точки несложно обобщить на общий случай механической системы, состоящей из N материальных точек. Момент инерции системы равен сумме моментов инерции ее отдельных точек: где mi - масса точки с номером i , hi - расстояние этой точки до оси l. Свойство аддитивности момента инерции позволяет распространить это понятие на твердое тело произвольной формы. Если разбить весь объем, занятый телом, на бесконечно малые m l х у h Рисунок 24 О 70 элементы, то каждый такой элемент можно рассматривать как материальную точку массой dm. Момент инерции одного такого элемента, например, относительно оси Ох декартовой системы координат по определению равен (у2 + z2) dm. Тогда момент инерции всего тела может быть получен в результате интегрирования этой величины по всему объему ) Здесь масса элементарного объема тела выражена через плотность материала Аналогично могут быть записаны моменты инерции тела относительно осей Оу и Оz:  В качестве примера использования приведенных формул вычислим момент инерции прямоугольной пластины, изображенной на рис. 25. Пусть m – масса пластины, h - ее длина, в – ширина, а – толщина. Тогда объем пластины V = hва, а масса единицы объема равна m / hва. Определим сначала момент инерции Jz относительно оси Оz, проходящей через центр тяжести пластины С (рис. 25). Воспользуемся формулой . Выделим бесконечно малый элемент пластины, ограниченный координатами x, x + dx и z, z + dz. Его объем равен аdxdz , а масса dm : h в z x C Рисунок  С учетом того, что координата у = 0, интегрирование в формуле (4.25) сведется к интегрированию по координатам х и z в пределах их изменения:  Аналогично может быть получено выражение для момента инерции Jх относительно оси Ох. Оно равно Jх = mв2 / 12. Позднее нам понадобится значение момента инерции диска радиуса R и массы m относительно оси, проходящей через его центр. Он равен J = mR2/2. Из приведенного примера видно, что величина момента инерции относительно некоторой оси зависит от квадрата поперечного по отношению к данной оси размера тела. Кроме того, она зависит от положения оси, относительно которой вычисляется момент инерции. С помощью аналогичных вычислений можно показать, что момент инерции относительно оси Оz параллельной Оz и отстоящей от нее на расстоянии р равен: Jz = Jz + mp2. Отсюда следует, что, зная значение момента инерции тела относительно некоторой оси, нетрудно определить его значение относительно любой оси, параллельной данной. Другой вывод, который может быть сделан: момент инерции тела относительно оси, проходящей через центр масс (или центр тяжести), является наименьшим из всех моментов инерции относительно осей, параллельных ей.
Читать дальше »

При анализе сил, действующих на твердое тело, отмечалось, что вращательный эффект силы определяется ее моментом относительно некоторой точки или оси. Величина момента силы в общем случае находится по формуле (2.10) как векторное произведение радиус- вектора, проведенного в точку приложения силы, на вектор самой силы: M(F) = r x F. Точно так же для количественного описания вращательного движения служит особая характеристика - момент количества движения. Она определяется аналогично понятию момента силы, а именно: моментом количества движения МО(mV) материальной точки относительно некоторой центра О называется векторное произведение: 72 МО(mV) = r x mV (4.26) Направление вектора МО(mV) определяется по обычным правилам для векторного произведения. Единицей измерения момента количества движения служит кгм2/с. Моментом количества движения механической системы (или кинетическим моментом) называется векторная сумма моментов количества движения всех точек, составляющих систему:  ) Здесь моменты количества движения всех материальных точек, составляющих систему, вычисляются относительно одного и того же центра О. В том случае, когда механическая система представляет собой твердое тело, суммирование в формуле (4.27) заменяется на интегрирование по всему объему тела. Рассмотрим, как связаны кинематические характеристики вращающегося тела и его момент количества движения. Пусть твердое тело вращается с угловой скоростью  вокруг неподвижной оси Оz (рис. 26). Выделим в теле бесконечно малый элемент массой dm, находящийся на расстоянии h от оси вращения: h = x2 ? y2 , где х и у – координаты выделенного элемента. Траекторией его движения является окружность с центром на оси вращения. Скорость движения элемента направлена по касательной к траектории, а ее величина равна ? h. Так что вектор количества движения направлен также по касательной к траектории, и величина его равна . Момент количества движения выделенного элемента относительно оси Оz равен его моменту количества движения относительно любой точки на этой оси (так же как в случае момента силы относительно оси). В качестве такой точки возьмем точку пересечения оси Оz и плоскости движения рассматриваемого элемента (рис. 26). Тогда плечом вектора количества движения служит величина h, а момент количества движения равен:  . Момент количества движения всего тела получим путем интегрирования этого выражения по его объему:  Здесь использовано соотношение (4.25) для момента инерции твердого тела. Таким образом, кинетический момент вращающегося тела равен произведению угловой скорости вращения на момент инерции тела относительно оси вращения. Нетрудно увидеть аналогию между количественными характеристиками поступательного и вращательного движения. При поступательном движении количество движения механической системы определяется по формуле: К = m VC. При вращательном движении аналогом этой формулы служит соотношение (4.28): Lz = Jz?. Следовательно, кинетический момент Lz является аналогом количества движения К, т. е. служит мерой вращательного движения. При этом мерой инерционности является момент инерции Jz. Выясним, что может быть причиной изменения момента количества движения. Сначала рассмотрим движение одной материальной точки. Оно подчиняется уравнению  равнодействующая всех сил, действующих на точку. Умножим векторно левую и правую части уравнения движения на радиус-вектор точки относительно некоторого центра О: r F (4.29) Справа от знака равенства стоит момент силы относительно точки О: Левая часть равенства может быть преобразована следующим образом:4 Здесь использованы свойства производной и векторного произведения двух векторов. В последнем слагаемом V . Следовательно, векторно перемножаются два параллельных вектора. Такое произведение, как известно из курса математики, равно нулю. Произведение r  mV, согласно , представляет собой момент количества движения материальной точки МО(mV) относительно центра О. В результате из предыдущего вытекает уравнение:  которое показывает, что причиной изменения момента количества движения материальной точки является вращательный эффект действующих на нее сил. Уравнение (4.30) устанавливает количественную сторону этой связи. В механической системе, состоящей из N точек, для каждой из них можно составить уравнение …, N Просуммируем левые и правые части всех этих уравнений. Сумма левых частей, согласно (4.27), может быть представлена в виде:  В правой части в результате суммирования уравнений получим сумму моментов всех сил (главный момент), действующих на точки механической системы. При этом сумма слагаемых, включающих внутренние силы, будет равна нулю. Действительно, каждой силе, действующей внутри механической системы, соответствует равная по величине и противоположная по направлению сила (аксиома 3). Поэтому моменты этих двух сил будут уравновешивать друг друга. В итоге получаем уравнение: Полученное уравнение представляет собой символьную запись теоремы об изменении кинетического момента: производная по времени от кинетического момента механической системы относительно некоторой точки равна главному моменту внешних 75 сил, действующих на точки системы, относительно той же точки. Сформулированная теорема является основной при изучении вращательного движения твердых тел. Для вращающегося вокруг оси Оz тела, согласно (4.28), кинетический момент равен: Lz =Jz . Если во время вращения форма тела не меняется, то момент инерции Jz = const, и уравнение (4.31) в этом случае примет вид: Полученное уравнение называется дифференциальным уравнением вращательного движения твердого тела. В его правой части суммирование ведется по всем силам, действующим на тело. Используя обозначение для углового ускорения  , предыдущее уравнение можно записать в форме аналогичной уравнению (4.17), описывающему поступательное движение твердого тела:
Читать дальше »

Из кинематики известно (подраздел 3.4.), что плоскопараллельное движение твердого тела представляет собой наложение поступательного и вращательного движений. Оно полностью описывается тремя уравнениями (3.31), два из которых задают движение полюса, а третье характеризует вращение тела вокруг полюса. В динамике при составлении уравнений плоского движения в качестве полюса всегда выбирается центр масс тела С. Такой выбор объясняется тем, что центр масс является единственной подвижной точкой, для которой теорема об изменении кинетического момента (4.31) имеет такой же вид, как и для неподвижной точки. При выбранном полюсе поступательная часть движения подчиняется векторному уравнению (4.17), которое в проекциях на оси декартовой системы координат равносильно двум скалярным уравнениям:  76 Здесь Fjx и Fjy – проекции на координатные оси внешних сил, действующих на тело, хС и уС – координаты центра масс (в поле сил тяжести – центра тяжести) тела. Вращательная часть движения тела подчиняется векторному уравнению (4.31), проектируя которое на ось Оz, перпендикулярную плоскости движения тела и проходящую через его центр масс получим: ) Здесь моменты инерции и моменты внешних сил вычисляются относительно оси Оz. Уравнения (4.33) и (4.34) называются дифференциальными уравнениями плоскопараллельного движения твердого тела.



Читать дальше »

Эффект действия сил на механические системы не ограничивается изменением их количества движения или кинетического момента. Другие характеристики сил – мощность и работа. Мощность силы N при ее действии на механическую систему определяется скалярным произведением силы на скорость точки ее приложения: N =V = FV cos (F,?V) (4.35) Если известны проекции силы и скорости на оси декартовой системы координат, то выражение для мощности силы можно представить в виде: V  ? ? (4.36) Здесь x, y и z – координаты точки приложения силы. Из предыдущих выражений следует, что мощность силы положительна, если угол между вектором силы и скорости острый. В этом случае сила оказывает разгоняющий эффект на твердое тело. Наоборот, если угол между силой и скоростью тупой, то сила оказывает на тело замедляющее воздействие, и мощность силы отрицательна. Наконец, если сила перпендикулярна направлению скорости, то мощность силы равна нулю. Сила не имеет мощности и тогда, когда она приложена к неподвижной точке (V = 0). Размерностью мощностью, как это следует из ее определения, 77 является ватт: Н м / с = Вт. Мощность является характеристикой силы в текущий момент времени. Работа в отличие от мощности представляет собой интегральную характеристику силы, определяющую ее воздействие на тело в течение некоторого промежутка времени. Работой силы А за промежуток времени от  называется величина:  (4.37) Если мощность в течение указанного промежутка времени остается постоянной, то работа силы равна произведению мощности на величину промежутка времени: ). Отсюда следует, что единицей измерения работы является джоуль: Вт= Дж. Работа, как и мощность, может принимать положительные, отрицательные, а также нулевые значения. Рассмотрим бесконечно малый промежуток времени d. За этот промежуток сила совершит работу, равную dA = N . Используя соотношение (4.35) можем записать: dA = F Заменим теперь вектор скорости с помощью соотношения (3.6). Тогда для элементарной работы dA получим выражение dA = F  dr . Величина работы за промежуток времени от  может быть получена с помощью интегрирования элементарной работы: 38) Здесь r1 и r2 – радиусы-векторы точки приложения силы в моменты времени 2 соответственно. Выражение (4.38) для вычисления величины работы удобно использовать тогда, когда характер движения тела не известен, и мощность силы в каждый момент времени не может быть подсчитана. При этом зависимость силы F от положения точки, к которой она приложена должна быть задана. В частности, если сила постоянна, а движение тела происходит по прямой, то работа определяется по следующей формуле, вытекающей из (4.38): А = F s cos (F,?V) (4.39) где s – пройденный телом путь. 78 Рассмотрим несколько примеров вычисления работы сил, которые часто встречаются при функционировании технологического оборудования. Работа силы тяжести. Пусть тело массой m перемещается в поле силы тяжести. При этом на него действует направленная вертикально вниз постоянная по величине сила равная mg (g – ускорение свободного падения). Если r1 и r2 – радиусы-векторы, характеризующие положение центра тяжести тела в начальном и в конечном положении, то из соотношения (4.38) следует: (r r F r Вектор (r2 – r1) соединяет начальное и конечное положение центра тяжести тела (рис. 27). Скалярное произведение этого вектора на вектор ускорения свободного падения g равно перепаду высот h между начальным и конечным положением тела. Поэтому величина работы силы тяжести может быть представлена в виде: А =gh (4.40) Знак «+» в полученном выражении (работа положительна) берется тогда, когда угол между векторами (r2 – r1) и g острый, т. е. тело под действием силы тяжести движется вниз. Работа отрицательна (в выражении (4.40) выбирается знак «-»), если тело движется вверх, преодолевая действие силы тяжести. Работа сил во вращательном движении. Пусть сила F действует на твердое тело, которое вращается вокруг оси Оz с угловой скоростью  Вектор скорости V точки приложения силы направлен по касательной к траектории в сторону движения точки, а по величине он равен  h, где на сей раз h – расстояние от точки приложения силы до оси вращения. В определении мощности (4.35) произведение F cos g r2 -r1 r2 r1 O Рисунок 27 79 (F,? V) есть не что иное, как проекция силы F на направление касательной Fm. Следовательно, величину мощности при вращательном движении определяет только касательная составляющая силы. При этом мощность равна: N = Fm  h. Но произведение Fm h равно моменту силы F относительно оси Оz. Поэтому мощность может быть вычислена с помощью формулы: N = (F)M (4.41) Знак в этом выражении выбирается в зависимости от того, является ли сила разгоняющей или замедляющей. Если на тело действует не одиночная сила, а пара сил с моментом М, то выражение (4.41) сохранит свой вид, только вместо момента силы Mz(F) следует подставить момент пары М. По известной мощности работу силы за промежуток времени от 1 до2 можно найти по формуле (4.37): Здесь2 – значения угла поворота тела, соответствующие моментам времени . Если во время вращения момент силы остается постоянным, то предыдущая формула упрощается:  т. е. работа крутящего момента равна произведению его величины на угол поворота. Знак выбирается из тех же соображений, что и в соотношении (4.41). Работа силы упругости. Как уже отмечалось, сила упругости пропорциональна расстоянию х до некоторой фиксированной точки О (обычно она соответствует положению упругого элемента в недеформированном состоянии): F = - cx. Пусть в момент времени 1 упругий элемент занимал положение х1, а в момент времени 2 – положение х2. Воспользуемся формулой (4.38). В рассматриваемом случае она примет вид: Таким образом, работа силы упругости пропорциональна коэффициенту жесткости и разности квадратов координат начального 80 и конечного положения упругого элемента. Если упругий элемент удаляется от нейтрального недеформированного положения , то работа силы упругости отрицательна. В противном случае – положительна.
Читать дальше »