Плоские крышки и днища (пластины) широко применяются в конструкциях машин и аппаратов, благодаря простоте и относительно низкой стоимости их изготовления. Под действием внутреннего давления р, нормального к срединной поверхности, пластина изгибается и приобретает кривизну одновременно в двух плоскостях, образуя слабо изогнутую поверхность двоякой кривизны (оболочку). Если прогиб пластины значительно меньше ее толщины (как это и бывает в технологических аппаратах), то напряжения, возникающие в материале, будут обусловлены, главным образом, изгибающими моментами. Отличны от нуля изгибающие моменты Мt и Мr в тангенциальном и радиальном направлениях. В этих же направлениях действуют нормальные напряжения ?t и ?r . Связь между напряжениями и изгибающими моментами в пластинах имеет ту же физическую природу, что и в стержнях, подверженных изгибу. Зависимость изгибающих моментов Мt и Мr от радиальной координаты в жестко защемленной круглой пластине приведена на 158 рис. 47 в виде соответствующих эпюр. Здесь ? – коэффициент Пуассона, который для сталей равен 0.25 ? 0.3. Несложный анализ показывает, что опасным сечением в данном случае является кольцевое сечение в заделке оболочки, поскольку в этом сечении действует максимальный по величине изгибающий момент Мr , равный pD2 / 32. Размерность этой величины может быть записана следующим образом: Н м2/м2 = Н м / м. Отсюда видно, что момент Мr отнесен к единице длины кругового контура. Изгибающий момент вызывает напряжения в материале, которые определяются формулой Навье . Их максимальное значение достигается на поверхности пластины, и оно равно:  . Здесь ymax = s/2 – максимальное расстояние до срединной поверхности; I = s3/12 – момент инерции, также отнесенный к единице длины кругового контура вдоль заделки оболочки. Подставив значения максимального момента, момента инерции I и расстояния ymax в предыдущую формулу, для максимального напряжения, действующего в опасном сечении, получаем:  Для составления условий прочности отметим, что пластина при действии внутреннего давления испытывает двухосное напряженное состояние. Первым главным напряжением в опасном сечении является напряжение ?r , вторым главным напряжением - ?t , а третье ?m пренебрежимо мало по сравнению с первыми двумя. Первая (для хрупких материалов) и третья (для пластичных материалов) гипотезы прочности приводят, как и в отношении оболочек другого типа, к одной и той же форме условия прочности:  из которого для расчетного значения толщины оболочки вытекает следующее соотношение:  Интересно сравнить расчетную толщину оболочек различного типа, необходимую для обеспечения условия прочности, при одних и тех же условиях (внутреннем давлении, диаметре, механических свойствах материала). Пусть, например, диаметр оболочки равен 2 м, допускаемое напряжение 140 МПа, коэффициент прочности сварного шва 0.9 и внутреннее давление 50 атм. Тогда для сферической оболочки, используя формулу  и заменяя в ней ? на допускаемое напряжение, получим для s значение 0.79 см. Для эллиптической и цилиндрической оболочек по формулам (7.16) и (7.12) получим значение расчетной толщины стенки в два раза больше: 1 Формула для конической оболочки даст величину  Наконец, при тех же условиях для плоской оболочки с помощью соотношения (7.19) придем к значению 17.4 см. Таким образом, использование плоских оболочек при изготовлении технологических аппаратов, работающих при избыточном давлении, связано с вынужденным применением стальных листов большой толщины. В этом состоит недостаток плоских оболочек.