Поступательное и вращательное движение твердого тела Поступательным движением твердого тела называется такое движение, при котором любая прямая, связанная с телом, перемещается в пространстве, оставаясь параллельной самой себе. Другими словами, при поступательном движении отсутствуют какие- либо повороты тела. Покажем, что при таком характере движения все точки тела двигаются по идентичным траекториям, в каждый момент времени имеют одинаковые скорости и ускорения. Выберем в движущемся теле две произвольные точки А и В (рис. 16). Их положение определяется радиус-векторами rА и rВ, которые меняются с течением времени. Пусть r – вектор с началом в точке А и концом в точке В. Рисунок 16 rB rА О А В r 42 Векторы rА , rВ и r в любой момент времени связаны соотношением: rВ = r + rА. Если тело движется поступательно, то, согласно определению, r = const. С учетом этого продифференцируем векторное равенство по времени: . скорости точек А и В одинаковы как по величине, так и по направлению в любой момент времени. Дифференцируя вторично, убеждаемся, что и ускорения точек также одинаковы. Следовательно, поступательное движение твердого тела полностью определяется движением одной из его точек. Другими словами, кинематика поступательного движения твердого тела сводится к кинематике точки. Поэтому все положения подразделов 3.1 и 3.2 применимы для описания этого типа движения тела. Еще одним простейшим типом движения твердого тела является вращательное движение. При вращательном движении все точки тела, лежащие на некоторой прямой, остаются неподвижными во все время движения. Указанная прямая называется осью вращения. Точки тела, не лежащие на оси вращения, движутся в плоскостях, перпендикулярных оси вращения, по окружностям с центром на оси. Их положение в произвольный момент времени однозначно определяется углом ? поворота тела относительно некоторой фиксированной неподвижной плоскости, проходящей через ось вращения. Угол поворота принято считать положительным, если вращение происходит против часовой стрелки, и отрицательным – в противном случае. При вращении угол поворота тела меняется во времени: ? = ? () (3.21) Это уравнение служит уравнением вращательного движения твердого тела. Кинематическими характеристиками вращательного движения являются угловая скорость и угловое ускорение. Угловой скоростью  называется вектор, лежащий на оси вращения. Модуль этого вектора, характеризует быстроту изменения угла поворота во времени:(3.22) 43 Направление вектора угловой скорости выбирается так, чтобы вращение происходило против часовой стрелки, если смотреть с конца вектора . Единица измерения угловой скорости – радиан в секунду (рад / с или с -1). В технике часто используется другая единица измерения – обороты в минуту n (об / мин). Их связывает простое соотношение:  =  n / 30. Угловое ускорение  также изображается вектором, лежащим на оси вращения. Модуль вектора  характеризует быстроту изменения угловой скорости во времени:) Направление вектора углового ускорения  совпадает с направлением вектора угловой скорости , если движение тела ускоренное, и противоположно ему, если движение замедленное. Верно и обратное утверждение. В зависимости от значений кинематических характеристик  различают следующие частные случаи вращательного движения твердого тела. При равномерном вращательном движении угловое ускорение ? = 0. Тогда, согласно (3.23), движение происходит с постоянной угловой скоростью: ? = const. Интегрирование (3.22) приводит к уравнению равномерного вращательного движения тела: ?() = ?0 + ? . При равнопеременном вращательном движении угловое ускорение ? = const. Дважды интегрируя (3.23), приходим к уравнению равнопеременного вращательного движения: . В приведенных формулах через ?0 и ?0 обозначены значения угла поворота и угловой скорости при  = 0. Угловая скорость и угловое ускорение являются кинематическими характеристиками тела в целом, а не его отдельных точек. Для того чтобы найти скорости и ускорения точек при вращательном движении, необходимо применить положения предыдущего параграфа. Траектория любой точки тела при его вращении представляет собой окружность, которая лежит в плоскости, перпендикулярной оси вращения. Центр окружности находится на оси, а ее радиус равен расстоянию от оси до данной точки. Поскольку траектория точки известна, целесообразно применить естественный способ задания ее движения. Дуговую координату s будем отсчитывать вдоль дуги окружности в направлении положительного изменения угла поворота. Тогда угол поворота  и дуговая координата связаны между собой известным соотношением: s = R. Согласно (3.9), модуль скорости точки равен: . величина скорости точек вращающегося тела пропорциональна их расстояниям до оси вращения и угловой скорости. Направление вектора скорости совпадает с направлением касательной к окружности – траектории точки. Ускорение точки при естественном способе задания движения в соответствии с (3.15) является суммой двух ускорений: касательного и нормального. Величина касательного ускорения определяется формулой (3.16). Для рассматриваемого кругового движения точки она равна:  Величину нормального ускорения можно найти с помощью соотношения (3.17). Для рассматриваемого случая она равна: Модуль полного ускорения найдем, используя (3.18):  Выведенные формулы допускают более общую запись с помощью операций векторной алгебры. Поместим начало координат в произвольную точку оси вращения (рис. 17). Тогда положение некоторой точки М вращающегося тела определяется радиус- вектором r. Модуль радиус-вектора r и расстояние точки М до оси Рисунок  связаны простым соотношением: R = r sin (r,?). С учетом (3.24) для модуля скорости точки М получим выражение: V =  r sin (r,?), из которого следует, что вектор V является векторным произведением векторов r и  (рис. 17): V =  x r (3.28) Полученная формула носит название формулы Эйлера. Она позволяет определить скорость любой точки вращающегося тела и поэтому играет важнейшую роль в кинематике. Дифференцирование равенства (3.28) по времени с учетом свойств векторного произведения и соотношений (3.5), (3.10), (3.15) и (3.23) позволяет записать: ? Сравнение полученного соотношения с (3.15) показывает, что первое слагаемое представляет собой касательное ускорение Wm, а второе – нормальное Wn. Таким образом, при вращательном движении тела проекции полного ускорения его точек на направления касательной к траектории и нормали в общем случае определяются с помощью следующих формул: Wm = ? x r ; Wn =  x V = ? x (? x r) (3.30) Касательное ускорение иногда называют вращательным, а нормальное ускорение – центростремительным. Полное ускорение точки в соответствии с (3.15) равно сумме векторов Wm и Wn.