Рассмотрим два оставшихся простых видов нагружения – чистый изгиб и плоский поперечный изгиб. В случае чистого изгиба единственным отличным от нуля внутренним силовым фактором в поперечном сечении стержня является один из изгибающих моментов. Стержень, работающий на изгиб, принято называть балкой. На рис. 36 показан элемент стержня, испытывающий чистый изгиб. Под действием изгибающих моментов ось балки приобретает кривизну, которая количественно характеризуется локальным значением радиуса кривизны r *). Нетрудно видеть, что на выпуклой стороне балки материал испытывает удлинение, тогда как на вогнутой – сжатие. Следовательно, в центре балки находится слой материала, который не подвергается ни сжатию, ни удлинению. Этот слой называется нейтральным слоем. *) Как известно из математики, радиусом кривизны плоской кривой называется радиус круга кривизны (или соприкасающейся окружности). Величина, обратная радиусу кривизны, носит название кривизны плоской кривой. 110 Оценим величину деформаций при изгибе. Для этого рассмотрим отрезок СD, параллельный оси балки и лежащий на расстоянии у от нейтрального слоя. До нагружения изгибающим моментом длина отрезка СD равнялась длине отрезка АВ на оси балки, которую можно выразить через радиус кривизны оси балки r и угол d После нагружения длина отрезка СD стала равной (rСледовательно, относительное удлинение отрезка СD оценивается величиной:  Отсюда видно, что величина деформации при изгибе увеличивается с расстоянием до нейтрального слоя, меняет знак при переходе через слой и пропорциональна кривизне изогнутой оси балки. Полученное выражение для относительной деформации подставим в закон Гука (5.9). Получим следующую связь напряжений с кривизной оси стержня: Воспользоваться полученными формулами для расчета деформаций и напряжений нельзя, поскольку не известна зависимость кривизны 1/r от величины изгибающего момента. Получим ее. Для этого рассмотрим поперечное сечение балки и действующие в нем напряжения. Выделим малую площадку dA в Рисунок 36 C C1 Нейтральный слой  сечении, находящуюся на расстоянии у от нейтрального слоя. Нормальные напряжения, действующие на этой площадке, создают момент относительно нейтральной оси, которой называется линия пересечения данного сечения с нейтральным слоем. Величина этого элементарного момента, очевидно, равна у. Результирующий момент всех нормальных напряжений, действующих в сечении, может быть получен путем интегрирования элементарного момента по всему сечению. С другой стороны, согласно (5.6), он равен величине изгибающего момента Мz в этом сечении. Следовательно, с учетом (5.26) имеем: 2 Интеграл ) называется моментом инерции поперечного сечения относительно нейтральной оси. Он имеет размерность м4 и является одной из важнейших геометрических характеристик сечения. Используя введенное обозначение из предыдущего равенства получим следующее выражение для кривизны изогнутой оси балки: z) Таким образом, кривизна оси балки пропорциональна величине изгибающего момента в данном поперечном сечении и обратно пропорциональна произведению EIz , которое называется жесткостью стержня при изгибе (аналогично жесткости ЕА при растяжении и жесткости GIp при кручении). Поскольку изгибающий момент может меняться по длине балки, меняется и ее кривизна. Подставив полученное соотношение в формулу (5.26), получим выражение для расчета нормальных напряжений в поперечном сечении: (5.29) Это соотношение носит название формулы Навье. Оно позволяет провести простой анализ распределения напряжений в сечении. На нейтральной оси сечения при у = 0 напряжения равны нулю, малы по 112 абсолютной величине в центре сечения (при малых значениях у) и достигают наибольших значений на периферии сечения. Следствием столь неравномерной картины напряжений послужило то, что на практике широко применяются балки с поперечным сечением специального профиля (двутавра, швеллера, уголка). У таких профилей основное количество металла сосредоточено на периферии сечения (в области больших напряжений), что позволяет значительно снизить металлоемкость конструкций. Формула Навье дает возможность сформулировать условие прочности при чистом изгибе. Как обычно, оно состоит в требовании, чтобы максимальные напряжения не превосходили допускаемых значений. Максимальные напряжения возникнут, очевидно, в том сечении, где действует наибольший изгибающий момент, и в тех точках этого сечения, которые находятся на максимальном удалении от нейтрального слоя. Следовательно, условие прочности имеет вид: [ ] max max max (5.30) Здесь Wz – момент сопротивления сечения относительно нейтральной оси (аналогично Wр при кручении). Иногда при проверке условий прочности приходится учитывать, что при изгибе одна часть материала испытывает растяжение, а другая - сжатие. Для большинства материалов значения допускаемых напряжений при сжатии []сж и растяжении []р различны. В этих случаях условие (5.30) распадается на два: В первом из этих неравенств учтено, что при сжатии напряжения отрицательны. Если при чистом изгибе в поперечных сечениях возникают только нормальные напряжения, то при плоском поперечном изгибе к ним добавляются касательные, обусловленные действием поперечной силы Qy. Величина касательных напряжений также зависит от расстояния до нейтрального слоя балки. Эта зависимость описывается формулой Журавского:  В числителе этой формулы участвует еще одна геометрическая характеристика поперечного сечения балки – статический момент Sz(y) относительно нейтральной оси. Эта характеристика определяется формулой:од интегралом стоит произведение элемента площади dA на расстояние до нейтральной оси, которое можно рассматривать как момент элемента площади относительно оси z (по аналогии с моментом силы). Интегрирование в (5.32) ведется по той части поперечного сечения, которая удалена от нейтральной оси больше, чем на у. Поэтому функция Sz(y) равна нулю при уmax, возрастает с уменьшением расстояния у (из-за увеличения площади интегрирования) и достигает своего наибольшего значения при у = 0. Величина b(y) в (5.32) представляет собой ширину поперечного сечения балки, которая также может меняться по его высоте. Условия прочности при поперечном изгибе в дополнение к (5.30) должны включать и ограничение на величину максимальных касательных напряжений. С учетом сказанного выше о характере изменения статического момента максимальные касательные напряжения возникнут в центре (при у = 0) того сечения, где действует максимальная по абсолютной величине поперечная сила. Следовательно, условие прочности по касательным напряжением будет иметь вид:] – допускаемое касательное напряжение. Таким образом, формулы Навье (5.29) и Журавского (5.31) позволяют оценить величину нормальных и касательных напряжений в любой точке материала балки, подверженной изгибу. При этом формула (5.28) дает возможность рассчитать величину возникающих деформаций. Однако, использовать последнюю формулу для практических расчетов неудобно, поскольку непосредственно измерять кривизну изогнутой оси балки довольно затруднительно. В силу этого при оценке жесткости балок вместо кривизны ее оси используются другие характеристики. На рис. 37 показана балка, нагруженная сосредоточенной силой. Под действием приложенной силы первоначально прямая ось балки искривляется. Перемещения изогнутой оси в произвольном сечении характеризуются прогибом у и углом поворота сечения . Прогиб представляет собой величину смещения центра сечения от своего первоначального положения. Величина  - угол, на который повернулось сечение вокруг нейтральной оси после приложения внешних нагрузок. И прогиб и угол поворота являются функциями 114 продольной координаты: . В каждом сечении обе характеристики перемещений связаны между собой соотношением: ( 5.34) Преобразуем формулу (5.28) так, чтобы вместо кривизны она содержала только что рассмотренные характеристики. Для этого воспользуемся известным из математики выражением для кривизны плоской кривой r . Углы поворота  при эксплуатации химического оборудования по порядку величины не превышают 10-2 рад. Поэтому в знаменателе приведенного выражения вторым слагаемым можно пренебречь. Следовательно, кривизна изогнутой оси балки целиком определяется второй производной от прогиба:  Подставив правую часть этого равенства в (5.28), получим уравнение Рисунок  которое носит название дифференциального уравнения изогнутой оси балки. Для его интегрирования необходимо знать явный вид зависимости изгибающего момента Mz(x) от продольной координаты. Согласно методу мысленных поперечных сечений изгибающий момент в некотором сечении определяется характером и величиной внешних нагрузок. Пусть на балку действует набор сосредоточенных сил  сосредоточенных моментов  и распределенных нагрузок  Будем отсчитывать продольную координату х от крайнего левого сечения. Тогда каждой сосредоточенной силе будет соответствовать координата aFi сечения, к которому она приложена. Аналогично каждому моменту Мi отвечает координата aMi, а каждой распределенной нагрузке – две координаты н  начала и конца участка ее действия. Рассмотрим сечение балки с некоторым фиксированным значением х. Согласно методу поперечных сечений, внутренний изгибающий момент в рассматриваемом сечении должен иметь такую величину, которая уравновесит сумму моментов, обусловленную действием всех внешних нагрузок, приложенных к балке по левую или правую сторону от сечения. Следовательно, момент Mz(x) в сечении равен алгебраической сумме моментов относительно данного сечения тех нагрузок, координата приложения которых меньше значения х: . Выбор знаков каждого слагаемого в этом выражении вытекает из вида дифференциального уравнения изогнутой оси балки (5.36). Согласно этому уравнению знак момента и второй производной от прогиба один и тот же. В свою очередь, как известно из математики, знак второй производной определяет направление кривизны плоской кривой. Следовательно, если некоторая внешняя нагрузка пытается изогнуть балку выпуклостью вверх, то соответствующее слагаемое берется со знаком минус (вторая производная меньше нуля). Если нагрузка пытается придать балке кривизну выпуклостью вниз (вторая производная положительна), то слагаемое берется со знаком плюс. Подставим выражение для момента Mz(x) в уравнение (5.36) и проинтегрируем один раз. Слева получим первую производную от прогиба, которая в силу (5.34) равна углу поворота сечения ). Справа однократное интегрирование даст первообразную степенной функции: 1) Величина 0 представляет собой угол поворота крайнего левого сечения балки, т. е.. Соотношение (5.37) позволяет по заданным внешним усилиям рассчитать угол поворота для любого сечения. Повторное интегрирование приведет к аналогичному соотношению для прогиба:  Здесь у0 – прогиб в крайнем левом сечении балки, т. е. у0 = у(0). Последнее соотношение позволяет определить прогиб в любом сечении балки. Величины  и у0 называются начальными параметрами. Их численные значения зависят от способа закрепления балки. В частности, если ее левый конец жестко защемлен, то оба начальных параметра равны нулю. Соотношения (5.37) и (5.38) называются универсальными уравнениями оси балки, изогнутой заданными внешними нагрузками. Они лежат в основе расчетов на жесткость при изгибе. Условия жесткости при этом вытекают из ограничений на максимальные перемещения: 9) Величины допускаемых прогибов [y] и углов поворота [ принимаются в соответствии со справочной литературой или нормами, основанными на опыте эксплуатации данного класса оборудования. Так, для валов перемешивающих устройств в аппаратах, работающих при повышенном давлении, прогиб вала на участке сальникового уплотнения не должен превышать [y] = 0.5 мм для обеспечения герметичности. Допускаемое значение угла поворота [при установке вала в подшипниках качения не должно превосходить 0.01 рад., а при установке в подшипниках скольжения 0.001 рад. Большие значения углов поворота приведут к резкому сокращению сроков службы деталей подшипников.