Динамика простейших колебательных систем
Колебательные движения играют огромную роль при эксплуатации химического оборудования. Чаще всего инженер-технолог сталкивается с частным видом колебаний – вибрациями (колебания с 85 малой амплитудой, но большой частотой). С точки зрения работоспособности технологических машин и аппаратов вибрации крайне нежелательны, поскольку оборудование при этом испытывает переменные во времени циклические нагрузки. Большинство конструкционных материалов сопротивляется таким нагрузкам гораздо хуже, чем статическим. В подразделе 4.2. уже рассматривалось колебательное движение материальной точки, но проведенный анализ был неполным и привел к результату, противоречащему практике. Причина противоречия заключалась в том, что анализ не учитывал сил сопротивления. Любая реальная колебательная система состоит из нескольких обязательных составляющих: упругого элемента, источника вынуждающей силы, инерционного элемента (принципиальная схема простейшей колебательной системы приведена на рис. 29). Упругий элемент порождает появление упругой силы Fупр, которая, как уже отмечалось ранее, в любой момент времени направлена в сторону нейтрального недеформированного положения, и величина которой пропорциональна расстоянию до него. Вынуждающая сила F() является внешней причиной колебаний. Она, как правило, периодически меняется во времени. Инерционный элемент определяется массой колебательной системы m. Он вызывает появление сил инерции. В реальных колебательных системах, помимо перечисленных сил, всегда существуют силы, препятствующие поддержанию движения. Это силы трения и силы гидравлического сопротивления. Если колебания элементов оборудования особенно нежелательны, то в конструкции вводятся специальные устройства, предназначенные для демпфирования (подавления) колебаний. В любом случае сила сопротивления Fсопр пропорциональна скорости движения колеблющегося тела и направлена в сторону, противоположную направлению движения. Приведенные предварительные замечания позволяют перейти к описанию поведения колебательных систем. Основой описания является уравнение движения (4.17), в котором за центр масс принят Рисунок 29 m c k F(?) 86 центр масс колеблющегося тела. Пусть движение происходит в горизонтальном направлении вдоль координатной оси Ох. Совместим начало координат с положением центра масс при нейтральном состоянии колебательной системы и спроектируем уравнение на координатную ось. При этом проекция силы тяжести инерционного элемента будет равна нулю. В результате получим: сопр уп Сила сопротивления с учетом сделанных замечаний может быть выражена соотношением: Fсопр = k V =  dx ? k C (k – коэффициент сопротивления), а сила упругости пропорциональна координате х: Fупр = - с х (с – коэффициент упругости или жесткости). Вынуждающая сила при гармоническом характере внешних воздействий может быть аппроксимирована следующим выражением:  ? – частота колебаний возмущающей силы. Подставляя все выражения для сил в предыдущее уравнение, получим дифференциальное уравнение, описывающее движение центра масс простейшей колебательной системы: sin  Это уравнение сводится к уравнению свободных незатухающих колебаний (4.5) при отсутствии вынуждающей силы (F0 = 0) и сопротивления движению (k = 0). При этом инерционный элемент будет совершать колебания (4.6) с частотой c m  , которая называется собственной частотой колебаний колебательной системы. Учет сил сопротивления в уравнении (4.55) в условиях отсутствия вынуждающей силы (k  0, F0 = 0) приведет к однородному дифференциальному уравнению второго порядка с постоянными коэффициентами следующего вида: 0 2 2 ? ? (4.56) Непосредственной подстановкой нетрудно убедиться, что общим решением этого уравнения является функция:  где А1 и А2 – постоянные интегрирования, значения которых находятся из начальных условий,  - частота колебаний с учетом сил сопротивления. Функция (4.57) описывает затухающие колебания, поскольку сомножитель перед скобкой убывает с течением времени. Причем, при  центр масс колеблющегося тела неограниченно приближается к началу координат, т. е. к положению равновесия. При этом, чем большей инерционностью обладает колебательная система, тем медленнее происходит затухание колебаний. Таким образом, влияние сил сопротивления проявляется двояко: в смещении частоты колебаний и в их полном подавлении с течением времени. Рассмотрим теперь наиболее важный для практики случай, когда колебания обусловлены действием вынуждающей силы. Для простоты будем пренебрегать силой сопротивления, поскольку их эффект уже проанализирован. В этом случае общее уравнение (4.55) примет вид:  sin 2 0 2 cx F d d x m C C ?  (4.58) Из курса математики известно, что общим решением уравнений такого вида является сумма общего решения соответствующего однородного уравнения (с нулевой правой частью) и частного решения неоднородного. Общее решение однородного уравнения получено ранее. Оно задается соотношением (4.6). Частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде: x€ Bsin(4.59) Подставляя это выражение в уравнение (4.58), после несложных преобразований убеждаемся, что функция (4.59) будет удовлетворять уравнению, если величина коэффициента В равна: ( 2 2 ) 0m F B . Следовательно, общее решение уравнения (4.58), описывающее закон движения центра масс колебательной системы при вынужденных колебаниях, будет иметь вид: 88  ? ? ?  (4.60) Из полученного решения видно, что вынужденные колебания складываются из двух движений: из чисто вынужденных колебаний (первое слагаемое в (4.60)) и из сопровождающих колебаний (второе и третье слагаемые). Чисто вынужденные колебания происходят с частотой вынуждающей силы, в то время как частота сопровождающих колебаний определяется свойствами самой колебательной системы. При совпадении указанных частот сомножитель в первом слагаемом обращается в бесконечность. В реальности с учетом сил сопротивления это означает, что амплитуда колебаний становится значительно больше, чем при несовпадении частот вынужденных и собственных колебаний. Это явление называется резонансом. Достижение резонанса, как правило, приводит к разрушению механической системы. Поэтому при эксплуатации химического оборудования, когда возникают колебания некоторых его элементов, резонанса пытаются всячески избежать. Это можно сделать с помощью ряда мер, которые непосредственно подсказывает вид решения (4.60). Например, можно снизить амплитуду вынуждающей силы, уменьшив величину F0, за счет улучшения балансировки движущихся узлов оборудования. Иногда удается избежать резонанса путем изменения собственной частоты системы. Поскольку собственная частота равна c  , это можно сделать, изменив массу колеблющихся элементов оборудования или жесткость упругих элементов. Еще один путь – установка специальных демпферов, гасящих колебания.