Понятие механической энергии является одним из центральных понятий механики. Из курса физики известно, что энергия может существовать в различных видах. Для движущихся механических систем основной вид энергии – кинетическая энергия. Кинетическая энергия Т материальной точки, обладающей массой m и скоростью V, равна: 2 mV 2 T 4.45) Кинетическая энергия механической системы, состоящей из N материальных точек, равна сумме их кинетических энергий: 46) Из определения кинетической энергии следует, что ее размерностью является джоуль: кгж. Однако, в отличие от работы кинетическая энергия не может быть отрицательной. Для твердых тел последнюю сумму следует заменить интегрированием по всему объему тела D:  Здесь  - плотность (масса единицы объема) вещества, из которого состоит твердое тело. Приведенные общие формулы для расчета кинетической энергии существенно упрощаются для типовых видов движения твердого тела. Так, при поступательном движении, как известно из кинематики, все точки тела обладают одинаковой скоростью. Поэтому функция, стоящая под знаком интеграла в (4.47), постоянна и может быть вынесена за знак интегрирования. Оставшийся интеграл равен объему тела. Следовательно, величина кинетической энергии при поступательном движении тела может быть рассчитана по формуле:  Здесь учтено, что произведение плотности на объем тела равно его массе, а в качестве скорости использована скорость центра масс тела, поскольку она такая же, как и скорость любой другой точки. Таким образом, при поступательном движении тела его кинетическая энергия рассчитывается по формуле аналогичной формуле (4.45) для кинетической энергии материальной точки. Рассмотрим теперь вращательное движение твердого тела (рис. 26). Бесконечно малый элемент, находящийся на расстоянии h = x2 ? y2 от оси вращения, имеет скорость, равную  h . Тогда, согласно (4.47), имеем: ? ? D J dm x y dm h  где использовано выражение (4.25) для момента инерции тела относительно оси вращения. Полученное соотношение показывает, что при поступательном и вращательном движениях кинетическая энергия тела вычисляется схожим образом (формулы (4.48) и (4.49)). Аналогия, отмеченная при анализе количественных характеристик поступательного и вращательного движений, сохраняется и здесь. При плоскопараллельном движении твердого тела его полная кинетическая энергия складывается из кинетической энергии поступательного и кинетической энергии вращательного движения вокруг полюса. Если в качестве полюса вновь выбрать центр масс твердого тела, то для вычисления полной кинетической энергии при этом виде движения следует объединить соотношения (4.48) и (4.49): 2 2m ? (4.50) Здесь Jz – момент инерции твердого тела относительно оси, перпендикулярной плоскости движения и проходящей через центр масс. Выясним теперь, за счет чего может измениться величина кинетической энергии механической системы. Для этого рассмотрим сначала одну материальную точку. Движение материальной точки подчиняется уравнению (4.1): m W = F, где F – равнодействующая всех сил, действующих на точку. Умножим обе части этого уравнения скалярно на вектор скорости точки: 82 mW V. Правая часть полученного равенства, согласно (4.35), равна мощности N сил, действующих на точку. Левая часть может быть преобразована следующим образом: 2 V 2 W V V Следовательно, производная по времени от кинетической энергии материальной точки равна алгебраической сумме мощностей всех сил, действующих на точку (или мощности их равнодействующей):  (4.51) В случае механической системы, состоящей из n материальных точек, предыдущее утверждение справедливо для каждой из точек: i i N , …, n Просуммируем левые и правые части всех этих равенств. Тогда слева, согласно (4.46), получим полную кинетическую энергию механической системы, а справа – сумму мощностей всех действующих в системе (4.52) Следовательно, производная по времени от кинетической энергии механической системы равна алгебраической сумме мощностей всех сил, действующих в системе. Это означает, что скорость изменения кинетической энергии определяется величиной мощности всех сил, вызывающих движение. Соотношение (4.52) справедливо для данного момента времени. Если требуется установить, насколько изменилась кинетическая энергия тела за некоторый конечный промежуток времени от 2, то предыдущее равенство нужно проинтегрировать по времени в пределах указанного промежутка: 8 1 В правой части этого соотношения, согласно (4.37), получим алгебраическую сумму работ всех действующих на тело сил, а в левой части – изменение полной кинетической энергии тела за промежуток времени (). Таким образом, изменение кинетической энергии механической системы за некоторый конечный промежуток времени равно алгебраической сумме работ всех сил: ?.53) Сформулированное утверждение является одним из наиболее важных в механике, поскольку оно справедливо для любого вида движения твердого тела. В качестве иллюстрации эффективности использования энергетического подхода рассмотрим следующую задачу. Пусть требуется определить силу натяжения каната подъемной машины в начальный момент подъема груза, когда он приходит в движение из состояния покоя (рис. 28). Будем считать известными массу груза m, момент инерции барабана J и его радиус R, а также величину вращающего момента М, приложенного к барабану. Решение. Полная кинетическая энергия системы «барабан-груз» в любой момент времени складывается из кинетической энергии груза и кинетической энергии барабана. Груз движется поступательно, его кинетическая энергия определяется соотношением (4.48). Кинетическая энергия вращающегося барабана вычисляется с помощью формулы (4.49). Следовательно, полная кинетическая энергия Т системы равна: mg W М Рисунок 28 84 2 Здесь использовано соотношение (3.24), связывающее линейную скорость V при вращательном движении с угловой скоростью ?. Воспользуемся равенством (4.52) для скорости изменения кинетической энергии. Левая часть этого равенства в условиях рассматриваемой задачи равна: V Определим теперь сумму мощностей всех сил, действующих в системе «барабан-груз». К указанным усилиям относятся вес груза, вращающий момент, вес барабана и опорная реакция. Две последние силы мощности не имеют, поскольку приложены к неподвижным точкам. Найдем мощности веса груза и вращающего момента. Вес груза, согласно (4.35), имеет мощность N = - mgV. Знак минус учитывает то обстоятельство, что сила веса направлена в сторону, противоположную направлению движения. Вращающий момент, согласно (4.41), имеет мощность N = M / R. Сумма мощностей будет, таким образом, равна: . Приравнивая полученный результат и правую часть (4.54), для ускорения груза имеем:  2 / R J mg m R M W . В соответствии с принципом Даламбера (подраздел 4.3) натяжение каната равно сумме веса груза и силы инерции: ( mg + mW ) = mg ( 1 + W / g ). Отсюда видно, что влияние силы инерции определяется величиной ускорения груза по сравнению с величиной ускорения свободного падения