Сферическое движение и движение свободного твердого тела
В подразделах 3.3. и 3.4. были рассмотрены поступательное, вращательное и плоскопараллельное движение твердого тела. При указанных типах движения на перемещения точек тела наложены определенные ограничения. Чем меньше таких ограничений, тем больше возможных перемещений имеют точки твердого тела, и тем сложнее количественное описание характеристик движения. Более сложным типом движения, чем выше перечисленные, является сферическое. Сферическим называется такое движение твердого тела, при котором одна из его точек во все время движения остается неподвижной. При таком ограничении остальные точки тела движутся по сферическим поверхностям. Нетрудно увидеть определенную аналогию между вращательным и сферическим движениями. Если при вращательном движении положение тела 57 однозначно определяется углом поворота относительно некоторой неподвижной плоскости, то при сферическом движении положение тела также определяется угловыми величинами, но уже тремя. Пусть имеется две системы координат: одна неподвижная Охуz и вторая подвижная Ох1у1z1 , которая связана с телом и перемещается вместе с ним. Совместим начало координат обеих систем с неподвижной точкой твердого тела. Плоскости Оху и Ох1у1 пересекаются по некоторой прямой, называемой линией узлов. При движении тела положение линии узлов будет меняться. Угол  между линией узлов и осью Ох называется углом прецессии. Угол , который составляют линия узлов и ось Ох1 носит название угла собственного вращения. Наконец, угол  между осями Оz и Оz1 называется углом нутации. В процессе движения тела все три угла являются функциями времени:  Эти зависимости называются уравнениями сферического движения тела. Если твердое тело совершает сферическое движение, то в каждый момент времени существует прямая, точки которой в данный момент времени неподвижны. Эта прямая называется мгновенной осью вращения. Она является в определенной степени аналогом мгновенного центра скоростей при плоскопараллельном движении. С течением времени положение мгновенной оси вращения меняется как в пространстве, так и по отношению к телу. При этом сферическое движение можно рассматривать как поворот тела в данный момент времени вокруг мгновенной оси вращения с некоторой угловой скоростью . Тогда скорость любой точки тела может быть определена по формулам для вращательного движения. Однако, в отличие от вращательного движения при сферическом движении вектор является переменным по направлению. Поэтому вектор углового ускорения , которое равно производной по времени от угловой скорости, не лежит на одной прямой с вектором . Еще более сложным случаем движения твердого тела является движение свободного тела. При его количественном описании одну из точек тела принимают за полюс С (так же как это делалось при описании плоскопараллельного движения). Тогда движение свободного тела можно рассматривать как одновременно происходящие два движения: поступательное движение вместе с полюсом С и сферическое движение вокруг полюса. Следовательно, уравнениями движения свободного твердого тела будут:  Основными кинематическими характеристиками тела при его свободном движении являются скорость VC и ускорение WC полюса, а также угловая скорость  и угловое ускорение  тела. Тогда скорость любой точки тела равна векторной сумме скорости полюса и скорости, которую имеет эта точка в относительном движении тела вокруг полюса. Аналогично может быть определено ускорение любой точки тела при его свободном движении.