Динамика упругих систем

Динамика упругих систем


Динамические задачи сопротивления материалов Учет сил инерции Примеры расчетов с учетом сил инерции Упругие колебания Виды колебаний Свободные (собственные) колебания системы без учета сил сопротивления Примеры расчетов на собственные колебания Учет массы системы при колебаниях Свободные затухающие колебания Вынужденные колебания систем с одной степенью свободы Пример расчета на вынужденные колебания Ударное действие нагрузки Расчеты на удар без учета массы ударяемой системы Примеры решения задач на удар без учета массы ударяемой системы Влияние собственной массы упругой системы Пример решения задачи на удар с учетом собственной массы упругой системы Библиографический список 1. Динамические задачи сопротивления материалов 1.1. Учет сил инерции Во многих случаях при эксплуатации машин и сооружений имеет место так называемая динамическая нагрузка, которая сравнительно быстро меняет свою величину. Под динамической понимается такая нагрузка, при действии которой возникают заметные ускорения отдельных элементов или точек сооружения. Поскольку динамическая нагрузка вызывает ускоренное движение частей сооружения, то при расчете необходимо учитывать силы инерции, зависящие как от массы нагрузки, так и от массы сооружения. В общем случае динамическая нагрузка представляет собой очень сложное воздействие, и поэтому решение динамических задач встречает большие затруднения. В курсе сопротивления материалов рассматриваются лишь простейшие задачи, для решения которых можно применить вспомогательные гипотезы, упрощающие решение. К таким простейшим задачам относятся задачи, в которых величина ускорения постоянна. Эти задачи довольно часто встречаются при расчете различного типа машин и механизмов. В этом типе задач известно уравнение движения элемента, который подвергается исследованию. При этом используется принцип Даламбера, согласно которому движущуюся систему можно рассматривать в равновесии, если ко всем ее точкам присоединить дополнительно силы инерции. Сила инерции численно равна произведению массы точки на ее ускорение и направлена в сторону, противоположную ускорению. С помощью принципа Даламбера динамическая задача сводится к более простой, статической по форме, в которой любые усилия находятся с помощью уравнений статики: − ускорения точек тела соответственно при прямолинейном и вращательном движении. Силы инерции, так же как и силы тяжести, представляют собой объемные силы, так как они приложены к каждой элементарной частице объема тела. Величина dPu элементарной силы инерции, действующей на каждую частицу тела, равна произведению массы dm этой частицы на ее ускорение α и направлена противоположно ускорению: dPu = dm∙α. (1.2) Но масса элементарной частицы равна отношению ее силы тяжести dP к ускорению g (g = 9.81 м/с2 ), т.е. dm = dP / g ; следовательно, где γ − удельный вес материала ; dV − объем элементарной частицы. При расчете стержневых систем объемные силы инерции заменяют силами инерции, распределенными по длине оси каждого стержня, т.е. распределенной погонной инерционной нагрузкой. Интенсивность qu этой нагрузки равна отношению dPu / dx, где dPu − сила инерции, действующая на элемент стержня длиной dx. Подставим в формулу (1.3) вместо dV объем элемента стержня длиной dx, равный Adx: Рассмотрим несколько примеров на применение принципа Даламбера. 1.2. Примеры расчетов с учетом сил инерции Пример 1.1 Определить наибольшее динамическое напряжение в канате при подъеме груза Р с постоянным ускорением a (рис. 1.1, а). Пусть площадь поперечного сечения каната А, длина его l, объемный вес материала − γ. Проведем сечение m—n на расстоянии х от нижнего конца каната. Продольная сила, действующая в нем, из условия равновесия нижней части будет равна весу груза и каната и инерционной силе (рис. 1.1, б): Выражение, стоящее в первой скобке (1.5), представляет собой статическую силу, а выражение во второй скобке – некоторый коэффициент, показывающий, во сколько раз динамическая продольная сила больше статической. Этот коэффициент принято называть динамическим коэффициентом K . На основании сказанного выражение (1.5) можно переписать в таком виде: Динамическое напряжение в сечении m — n равно После подстановки в (1.7) выражения (1.6) получим или в развернутой форме Очевидно, что наибольшее динамическое напряжение будет в сечении х = l (l − наибольшая возможная длина каната): σднаиб (1 ) Рассмотрим расчет вертикального бруса постоянного сечения, поднимаемого вверх силой , превышающей вес бруса Р (рис. 1.2, а). Определить наибольшее динамическое напряжение в сечении бруса. Кроме силы на брус действуют равномерно распределенная по его длине вертикальная нагрузка интенсивностью q = Р / l =γА от собственного веса бруса и инерционная нагрузка qu = q а (рис. 1.2, б, в), где А − площадь сечения бруса. Ускорение а направлено в сторону действия силы N(усилие подъема), т.е. вверх; нагрузка qu равномерно распределена по длине бруса и направлена в сторону, противоположную ускорению, т.е. вниз. Составим уравнение равновесия в виде суммы проекций всех сил на ось бруса х: Нормальное напряжение в поперечном сечении бруса, расположенном на расстоянии х от его нижнего конца, Наибольшее напряжение возникает в верхнем сечении бруса: Пример 1.3 Рассмотрим горизонтальный брус, поднимаемый вверх силой , приложенной посередине бруса (рис. 1.3, а) Найти величину наибольшего напряжения в сечении бруса. Нагрузка от собственного веса, равномерно распределенная по длине бруса, q=γ∙A=P/l, инерционная нагрузка  . Интенсивность полной погонной нагрузки, состоящей из собственного веса q и инерционной нагрузки qu, равна qcyм =q + qu (рис. 1.3, б, в). Под действием этих нагрузок брус изгибается. Эпюры поперечных сил и изгибающих моментов показаны на рис. 1.3, г, д. Максимальное напряжение, возникающее в поперечном сечении бруса посередине его длины, составит где Wz (Wu)— момент сопротивления сечения бруса изгибу. Пример 1.4. Рассмотрим стержень постоянного поперечного сечения А, который вращается вокруг оси 0 — 0 с постоянной угловой скоростью ω (рис. 1.4, а). Длина стержня l, объемный вес γ. Найти величину наибольших динамических напряжений в его сечении. 8 Выделим на расстоянии x от оси вращения элементарный участок стержня длиной dx, в пределах которого интенсивность инерционных сил в соответствии с (1.4) составляет Это выражение показывает, что интенсивность нагрузки меняется по линейному закону, причем наибольшая величина интенсивности будет на конце стержня (рис. 1.4, б). Элементарная сила инерции, действующая на участке бруса dx, составляет Продольная сила в сечении, расположенном на расстоянии х от оси вращения, равна а динамические напряжения Эпюра динамических напряжений изображена на рис. 1.4, в. Наибольшие динамические напряжения будут на оси вращения, т.е. при частота вращения, об/мин. Пример 1.5 Определить динамические напряжения в кольце, вращающемся вокруг оси, перпендикулярной к его плоскости, с равномерной угловой скоростью ω (рис. 1.5, а). Рис. 1.5 Площадь поперечного сечения кольца А, объемный вес материала γ. При указанном вращении кольца в каждой точке его будут возникать постоянные по величине силы инерции, интенсивность которых в соответствии с (1.4) будет равна На участке dS=Rdα действует элементарная сила инерции Рассекая кольцо по диаметру (рис. 1.5, б), заменим действие нижней отброшенной части силами N . В силу симметрии рассмотрим равновесие одной четверти кольца Тогда динамические напряжения в сечениях кольца составят . Пример 1.6 Масса m = 5 кг, прикрепленная в сечении С ломаного бруса ABC, вращается с постоянной скоростью вокруг оси 0 −0 (рис. 1.6, а) Частота вращения n=300 об/мин. Брус стальной, сечением  мм. R = AB = 0,05 м ; ВС = l = 0,1 м. Требуется найти наибольшие напряжения в сечении бруса АBC, в котором он связан с осью вращения (сечение А). Решение 1. Геометрические характеристики сечения бруса: 2. Угловая скорость вращения 3. Погонная нагрузка q по длине бруса 4. Ускорения точек по оси бруса ВС и сосредоточенной массы 5. Инерционные силы переменная. Схема нагрузок показана на рис. 1.6, б. 6. Построение эпюры динамических изгибающих моментов: Эпюра М показана на рис. 1.6, в. 7. Построение эпюры продольных сил: переменная, от ее влияния максимальная продольная сила возникает в сечении бруса А и определяется формулой (1.13) Суммарное значение продольной силы в сечении А Эпюра N представлена на рис. 1.6, в. 8. Максимальные напряжения в сечении бруса Пример 1.7 При работе кривошипно-шатунного механизма (рис. 1,7 а) в сечениях стержня 12 АВ возникают инерционные силы, способствующие его изгибу. Длины стержней: lАО=R=0,2 м; lAB=0,8 м. Сечение стержня АВ прямоугольное, в =25 мм; h= 40 мм. Частота вращения n= 240 об/мин. Определить максимальное напряжение в сечении стержня АВ от инерционных сил при работе механизма. Решение 1. Угловая скорость при вращении кривошипа ОА 2. Ускорение в сечении А стержня АВ 3. Максимальная интенсивность инерционных сил (qu), действующих на брус АВ, будет иметь место, когда угол между стержнями ОА и АВ составит 90 градусов и определится величиной Найдем реакции опор по концам стержня АВ (рис. 1.7, б): 5. Строим эпюру поперечных сил Q (рис. 1.7, в). Поперечная сила меняет знак в сечении С на расстоянии х от правой опоры. Определим координаты сечения С. Интенсивность инерционных сил в этом сечении составит qx (рис. 1.7, б). Из подобия треугольников Из определения значения поперечной силы в сечении С 6. Интенсивность инерционных сил в сечении С 7. Найдем значение изгибающего момента в сечении С: 8. Геометрическая характеристика сечения стержня АВ 9. Максимальные напряжения в сечении стержня АВ Пример 1.8 Рассмотрим применение принципа Даламбера для определения динамических усилий в рамке, вращающейся относительно оси, лежащей в плоскости рамки (рис. 1.8, а), с равномерной угловой скоростью ω. Рис. 1.8 Пусть длина стержней рамки l, площадь поперечного сечения всех стержней постоянна и равна А, масса единицы длины − m. Инерционные силы, возникающие при вращении рамки и вызывающие изгиб ее элементов, показаны на рис. 1.8, б. Интенсивность этих сил Инерционные силы, возникающие в стержнях 1-2 и 3-4 и вызывающие только их растяжение, учтем при построении эпюры продольных сил. Инерционные силы вызывают главным образом изгиб элементов рамки. Рамка представляет собой внутренне трижды статически неопределимую систему. По геометрической схеме и схеме действия нагрузок она имеет две оси симметрии х и у (рис. 1.8, б). Используя свойство симметрии, можно выбрать основную систему в виде четверти рамки, в которой будет лишь одно неизвестное усилие - момент х1 (рис. 1.9, а). На рис. 1.9, б, показаны внутренние усилия, действующие на четыре части рамки при (мысленном) расчленении ее по осям симметрии. Из условий симметрии усилия лев x6 и x6прав будут равны нулю. Это можно установить из следующего положения. Например, усилия лев x6 и x6прав (рис.1.9, б) из условия симметрии должны быть равны по величине и направлению. По закону "действие равно противодействию” − они должны быть, кроме того, направлены в разные стороны. Эти два условия могут быть удовлетворены только тогда, когда эти усилия будут равны нулю. Эти соображения можно также распространить и на усилия х2. Далее, на основании уравнения проекций сил на ось у находим, что усилие х3 = 0 (рис. 1.10, а). После высказанных соображений расчетную схему принимаем как это изображено на рис. 1.10, б, а основную систему - на рис. 1.10, в. В результате такого подхода каноническое уравнение будет иметь вид δ11x1 + Δ1p = 0. Далее расчет ведем по схеме, принятой для статически неопределимых задач: а) построение эпюр М1 и М р; Строим эпюру М1 , нагрузив основную систему единичным усилием Х1 = 1 (рис. 1.10, г). Нагрузив основную систему внешней нагрузкой, получим эпюру Мр (рис. 1.10, д). б) используя способ Верещагина найдем коэффициенты канонического уравнения: в) решение канонического уравнения: г) построение окончательной эпюры ; Ординаты эпюры изгибающих моментов находим, используя формулу Вычисления по этой формуле для наглядности удобнее провести путем сложения ординат Мр (рис. 1.10, д) и М1X1 (рис. 1.10, е). Окончательная эпюра М показана для всей рамки на рис. 1.10, ж. д) построение эпюры ; Расчленяем рамку на четыре прямолинейных стержня (рис. 1.11, а). Для каждого из них по концевым изгибающим моментам (известным по величине из эпюры М ) находим концевые поперечные силы или реакции. Затем методом вырезания стержней строим эпюру динамических поперечных сил Q (рис. 1.11, б). е) построение эпюры ; Для построения эпюры продольных сил вырезаем узлы 1, 2, 3 и 4 (рис. 1.12, а). Рассматривая условия равновесия этих узлов, находим продольные силы в 17 сечениях, бесконечно близких к узловым точкам. Однако для того, чтобы построить эпюру динамических продольных сил в данной задаче, необходимо учесть центробежные силы, возникающие в стержнях 1-2 и 3-4 при вращении рамки (1.13). Интенсивность этих нагрузок показана на рис. 1.12, а. Эпюра динамических продольных сил показана на рис. 1.12, б. ж) динамические напряжения. Наибольшие динамические напряжения будут: для стержней для стержней 1.3. Упругие колебания Особое значение для задач машиностроения и строительства имеют так называемые механические колебания упругих систем. Известны случаи, когда строительные конструкции, рассчитанные с большим запасом прочности на статическую нагрузку, разрушались под действием сравнительно небольших периодически действующих сил. При некоторых режимах резания на станках возбуждаются колебания, одинаково вредные как для самих станков, так и для обрабатываемых изделий. При изучении колебаний упругих систем последние принято различать по числу степеней свободы. Степенью свободы системы называется количество независимых геометрических параметров, определяющих положение всех масс системы при любых возможных упругих деформациях ее. Иначе можно сказать, что степень свободы системы будет равна минимальному количеству связей (стержней), которые необходимо поставить, чтобы все массы были неподвижны. В простейших случаях положение системы может быть определено только одной величиной. Такие системы называются системами с одной степенью свободы. Например, простейший случай изображен на рис. 1.13. Упругая система, 19 изображенная на рис. 1.14 в виде ломаной балки с массой конечных размеров на конце, будет иметь три степени свободы. Рис.1.13 Рис.1.14 Положение этой массы определяется тремя независимыми параметрами: х, у, а. Если масса точечная, то поворота не будет и система будет иметь две степени свободы (независимые параметры х, у). Если пренебрегать продольными деформациями стержней и поворотом масс, т.е. считать их точечными, то невесомая балка (масса которой мала по сравнению с величиной сосредоточенной массы и ею можно пренебречь), изображенная на рис. 1.15, а с одной точечной массой m, имеет одну степень свободы, так как положение этой массы определяется одним параметром у. Невесомая балка с двумя точечными массами (рис. 1.15, б) имеет две степени свободы, так как положение этих масс определяется двумя прогибами у1, у2. Рис.1.15 Все реальные сооружения фактически представляют собой системы с бесконечным количеством степеней свободы (в том числе и весомая балка). Однако иногда удается расчет таких систем свести к расчету систем с конечным количеством степеней свободы (пренебрегая малой величиной некоторых масс, используя метод приведения масс и т.д.). Чем меньше степень свободы системы, тем проще ее расчет. 1.4. Виды колебаний Все динамические нагрузки вызывают колебания сооружений. Эти колебания различают по следующим признакам: 20 1. В зависимости от характера возбуждающих сил: свободные, вынужденные, самовозбуждающие или автоколебания, параметрические. Свободными колебаниями называют колебания, возникающие под действием мгновенно приложенной силы. Так, например, балка, выведенная из состояния равновесия какой-нибудь силой, после снятия ее будет совершать свободные колебания (рис. 1.16, а, б). Рис.1.16 Параметры, свободных колебаний (частота колебаний, период) зависят только лишь от упругих свойств колеблющейся системы, и поэтому их еще называют собственными колебаниями. Вынужденными называются колебания, возникающие под действием внешней, переменной во времени силы. Эта сила называется возмущающей. Закономерности изменения возмущающей силы во времени весьма разнообразны и определяются видом машины или механизма. Весьма распространен случай возмущающей силы, вызванной действием неуравновешенной массы m, вращающейся равномерно вокруг неподвижной оси (например, центр тяжести ротора не совпадает с его осью). Вертикальная и горизонтальная составляющие центробежной силы F(t), действующей на массу m (рис.1.17,а), и будут представлять собой возмущающие силы, изменяющиеся во времени по гармоническому закону. Рис.1.17 Если двигатель с неуравновешенной массой установлен на балке, то она будет совершать вынужденные колебания под действием возмущающей силы FSin φt (рис. 1.17, б). Горизонтальная составляющая центробежной силы FCos φt вызовет продольные колебания балки, которые ввиду значительно большей жесткости балки в продольном направлении, чем в поперечном, обычно не учитываются. 21 Самовозбуждающиеся автоколебания − незатухающие периодические колебания системы, характеризующиеся наличием постоянного непериодического источника энергии и обратной связи, регулирующей поступление энергии из источника. Простейшим примером автоколебательной системы является часовой механизм. В часах автоматически устанавливается такая амплитуда незатухающих колебаний маятника, при которой потери энергии на сопротивление пополняются потенциальной энергией заведенной пружины. Параметрические колебания – колебания, происходящие в результате изменения параметров самой системы (масс или жесткостей). Например, стоя на качелях, можно раскачать их периодическим приседанием, т.е. изменением момента инерции колеблющейся массы относительно центра подвеса. 2. По характеру возникающих деформаций колебания подразделяются на продольные, поперечные, крутильные и изгибо-крутильные. 3. В зависимости от учета сил сопротивления движению они могут быть затухающие и незатухающие. 4. По виду функций колебательного движения колебания делятся на периодические и непериодические. 5. По типу зависимости между силами и вызываемыми ими перемещениями колебания могут быть линейные и нелинейные. 6. По числу степеней свободы различают колебания с одной, с несколькими и с бесконечным количеством. В дальнейшем будем рассматривать колебания систем только с одной степенью свободы. 1.5. Свободные (собственные) колебания системы без учета сил сопротивления Рассмотрим невесомую балку (рис.1.18,а), несущую одну сосредоточенную массу m, расположенную посередине пролета. Рис. 1.18 В состоянии покоя под действием груза P= mg перемещение балки составит уст. Обозначим δ11 перемещение сечения в центре пролета от единичного усилия Р 1, приложенного к этому сечению. Это перемещение можно найти по формуле Мора, 22 предварительно построив эпюру единичных изгибающих моментов от силы Р= 1. Полное перемещение уст составит Если груз с балкой оттянуть вниз и отпустить, то балка будет колебаться. Уравнение движения груза Р, имеющего массу m, можем получить, согласно принципу Даламбера, как уравнение динамического равновесия. Это уравнение отличается от статического тем, что к действующим на массу силам следует добавить силы инерции. Рассмотрим условия динамического равновесия массы m в крайнем нижнем положении (рис. 1.18, б). На массу m действуют восстанавливающая (упругая) сила , направленная к статическому положению равновесия, собственный вес Р и сила инерции Рu=–mу", направленная от линии статического равновесия. Уравнение равновесия массы m будет иметь вид ∙ уст согласно (1.15); по аналогии S = С ∙ (уст + у); После преобразования получаем Обозначим c ω2 , тогда уравнение движения груза Р примет вид Решение уравнения (1.17) имеет вид где ω – частота собственных колебаний, с-1; λ– сдвиг по фазе; График уравнения движения (1.18) изображен на рис. 1.19. Рис. 1.19 Предположим, что груз Р, имеющий массу m, расположен на упругой балке. Если его вывести из состояния равновесия, он будет совершать гармонические колебания. Величина ±А, представляющая собой наибольшее отклонение массы от положения равновесия, есть амплитуда колебания. Удвоенная величина амплитуды называется размахом колебаний. Время Т, за которое масса успевает совершить полный цикл колебаний, называется периодом колебаний. Из графика, приведенного на рис. 1.19, следует, что Число полных циклов колебаний в одну секунду называется частотой колебаний. Это будет величина, обратная периоду : (1.21) Единица измерения частоты – герц – частота колебательного процесса с периодом Т=1с. Эту частоту принято называть технической частотой. Число полных циклов колебаний за время 2 / с называется круговой или циклической частотой. По (1.20) она равна ) Как следует из (1.19), частота свободных колебаний не зависит от внешнего воздействия и определяется только внутренними свойствами самой колебательной системы, поэтому ее часто называют собственной частотой. Частота свободных 24 колебаний системы с одной степенью свободы убывает с увеличением массы и возрастает с увеличением жесткости. 1.6. Примеры расчетов на собственные колебания Пример 1.9 Определить частоту собственных колебаний массы m=2500 кг, находящейся посередине стальной балки переменного сечения (рис. 1.20). Дано: Решение а) Определение единичных перемещений. По известным правилам строим эпюру изгибающих моментов от силы, равной единице и приложенной в месте сосредоточенной массы (рис. 1.20, б, в). После этого, используя способ Верещагина и формулу Симпсона, находим б) Вычисление частоты собственных колебаний. Определяем круговую частоту колебаний по формуле (1.19): Находим техническую частоту по (10.22): Период колебаний 0,048 Пример 1.10 Определить частоту собственных колебаний массы m=1000 кг, укрепленной на конце кронштейна, показанного на рис. 1.21. Рис. 1.21 Тяга 1 кронштейна выполнена из стального стержня площадью сечения А1 = 2830 мм2 , а балка 2 – из стального двутавра № 30 (А2 = 4650 мм2). Модуль продольной упругости Е = 200 ГПа. l= 3,0 м. а) Определение единичного перемещения. Вырезаем узел В (рис.1.21, в) и, рассматривая уравнение его равновесия, находим усилия в стержнях системы: Затем определяем перемещение: б) Определение частоты собственных колебаний: круговая частота техническая частота . Пример 1.11 Определить частоту собственных колебаний системы из двух дисков, 26 насаженных на вал постоянного сечения диаметром d = 60 мм (рис. 1.22). Рис. 1.22 Моменты инерции дисков . Модуль упругости материала вала При крутильных колебаниях диски будут совершать колебания навстречу друг другу. При этом некоторое промежуточное сечение 1-1 будет оставаться неподвижным. Тогда из условия равенства частот колебаний обоих дисков с примыкающими к ним участками вала можно записать где С − крутильная жесткость вала, равная скручиваемому моменту, необходимому для закручивания вала на угол величиной в один радиан; J − момент инерции диска относительно оси стержня, перпендикулярной к плоскости диска; Подставляя эти выражения в (1.23), получим величину частоты собственных крутильных колебаний: 1.7. Учет массы системы при колебаниях Если колеблющаяся система, несущая сосредоточенную массу, обладает значительной собственной массой, то ее влияние необходимо учитывать, так как упрощенные расчеты, приведенные выше, будут давать уже значительную погрешность. В элементарных расчетах на колебания с достаточной для практики точностью можно приближенно распределенную массу заменить приведенной по формуле mприв=βml, (1.25) где m − распределенная масса по длине стержня ; l − длина стержня ; β − коэффициент приведения. Для некоторых случаев величина коэффициента β приведена на рис. 10.23. Рис. 1.23 В этой методике систему можно по-прежнему рассчитывать как систему с одной степенью свободы, но к сосредоточенной массе нужно добавить приведенную, т.е. расчетная масса будет: 1.8. Свободные затухающие колебания В уравнении (1.18) свободных колебаний системы с одной степенью свободы амплитуда не зависит от времени, и, следовательно, колебания могут продолжаться бесконечно с одинаковой амплитудой. В действительности под влиянием сил сопротивления внешней среды, вязкости или неполной упругости материала самого сооружения и от трения в опорных устройствах колебания будут постепенно затухать. В случае учета сил сопротивления, при линейном характере затухания частота колебаний определяется выражением где  − коэффициент затухания. Обычно характеристика затухания  мала по сравнению с частотой колебаний , и в большинстве практических случаев влиянием затухания пренебрегают. 1.9. Вынужденные колебания систем с одной степенью свободы Если на систему действует сила F(t), изменяющаяся во времени по какому-либо закону, то колебания, вызванные действием этой силы, называются вынужденными. Рассмотрим случай, когда внешняя сила представляет собой вибрационную (периодическую) нагрузку, изменяющуюся по гармоническому закону с частотой  t и действующую на систему с одной степенью свободы (рис. 1.24, а). Рис.1.24 В любой момент времени положение массы определяется действием двух сил : возмущающей силы F(t) и силы инерции , где – перемещение сечения, в котором расположена сосредоточенная масса, от действия единичной силы, приложенной и этому же сечению. Раскрывая скобки, получим Тогда где согласно (1.5) . Таким образом, получаем неоднородное дифференциальное уравнение (1.27) решение которого приводит к уравнению вынужденных колебаний системы с одной степенью свободы: где первое слагаемое характеризует собственные колебания системы с амплитудой А и частотой колебаний , а второе слагаемое характеризует вынужденные колебания с амплитудой и частотой колебаний . Преобразуем выражение амплитуды вынужденных колебаний. Из выражения после преобразования где β1 — коэффициент повышения динамического параметра (коэффициент нарастания колебаний). На рис.1.25 показана зависимость коэффициента β1 по абсолютной величине от отношения . При значение . Это означает, что вынужденные колебания системы происходят в той же фазе, что и колебания возмущающей силы. При значение , следовательно, колебания системы и возмущающей силы происходят в разных фазах, т.е. в противоположных направлениях: когда возмущающая сила направлена вниз, то перемещение системы будет вверх, и наоборот. При стремлении происходит нарастание амплитуд колебаний, и при наступает явление резонанса (. 30 Рис.1.25 Отстройка от резонанса заключается в том, чтобы величина отношения не была близкой к единице. Опасным интервалом считается При вынужденных колебаниях системы с одной степенью свободы полное перемещение сосредоточенной массы может быть найдено по уравнению Преобразуем это выражение : Аналогично можно найти и напряжения в сечениях балки 1.10. Пример расчета на вынужденные колебания Пример 1.12 31 Определить динамические и полные напряжения в балках, выполненных из двух швеллеров № 20. На балках помещен двигатель массой mдв = 180 кг с частотой вращения nдв = 1400 об/мин (рис. 1.26). Масса несбалансированной части двигателя mн = 40 кг, радиус дисбаланса r = 0,5 мм. Пролет балки l =3 м. Модуль упругости материала балок Е=200 ГПа. Решение 1. По сортаменту прокатных профилей находим: геометрические характеристики сечения масса погонного метра балок 2. Определяем частоту вынужденных колебаний: 3. Находим величину инерционной силы Fu, возникающей при вращении несбалансированной массы (рис. 1.26): Вертикальная составляющая этой силы представляет собой силу, которая меняется по закону синуса (рис. 1.26, б) и вызывает поперечные колебания балок. 4. Вычисляем значение приведенной массы по формуле Суммарная масса посередине балки 5. Прогиб от действия единичной силы, приложенной к сечению, где расположена сосредоточенная масса: 6. Определяем частоту собственных колебаний (10.19): 7. Коэффициент нарастания амплитуды колебаний 8. Находим динамические напряжения Амплитуда возмущающей силы Fu=429,25 Н. Согласно эпюре изгибающих моментов (рис. 1.27, д) и формуле динамические напряжения будут равны 9. Находим полные напряжения. Для определения полных напряжений необходимо учесть статические нагрузки – собственный вес балки и вес мотора (рис. 1.27,е). Эпюра изгибающих моментов от действия этих нагрузок показана на рис. 1.27,ж. Нагрузки, действующие на балку статически: Полное напряжение Интервал изменения полных напряжений 1.11. Ударное действие нагрузки Одним из видов динамических нагрузок служит удар, являющийся наиболее опасным динамическим воздействием для конструкции. При ударе скорость движения какого-то элемента конструкции или соприкасающихся с ним частей изменяется на конечную величину за малый промежуток времени, что сопровождается появлением значительных ускорений и соответственно больших инерционных сил, действующих в направлении, противоположном ускорению. Время удара исчисляется малыми величинами. Динамическая задача весьма сложна, так как точно установить законы ускорения затруднительно, поэтому при расчетах вводится ряд допущений. 1. Считают, что при ударе соблюдается закон сохранения энергии, т.е. кинетическая энергия, которой обладает движущееся тело, в момент удара переходит в потенциальную энергию упруго деформируемого тела: где Т – кинетическая энергия ударяющего тела (системы), которой оно обладает в момент удара; U — потенциальная энергия упруго деформируемой ударяемой системы; T1 — кинетическая энергия движения ударяемой системы. Если масса ударяемого тела значительно меньше массы ударяющего тела, то расчет проводят без учета этой массы, и формула (10.32) после упрощения примет вид 2. Предполагают, что удар неупругий, т.е. ударяющее тело с момента соприкосновения с ударяемым движется вместе с ним как единое целое. 3. Предполагают, что при ударе соблюдается закон Гука или связь между динамической нагрузкой и деформациями линейная (рис.10.28), т.е. соблюдается равенство где − это обобщенная сила (N, Мк, Ми ); − обобщенная деформация. Рис.1.28 Считают, что модуль продольной упругости Е материала при ударном действии нагрузки не изменяется. В зависимости от направления движения ударяющего тела различают удары вертикальный (1.29, а, б, 1.30, а) и горизонтальный (1.29, в, 1.30, б), каждый из которых может вызвать деформацию растяжения или сжатия (рис. 1.29, а, б, в), изгиба (рис. 1.30, а, б, 1.31, а (участок CD)), кручения бруса или совместного их действия (сложное сопротивление), например изгиб с кручением (рис. 1.31 (участок ВС)) Расчеты на удар без учета массы ударяемой системы Вертикальный удар Рассмотрим вертикальный сжимающий удар. Пусть груз весом Р падает с высоты h на стержень длиной l (известная жесткость сечения ЕА) и деформирует его на величину (рис. 1.29, б) Изменение кинетической энергии падающего тела численно равно работе, совершенной им при падении и деформировании стерня, т.е., а потенциальная энергия упруго деформированного тела составит U , где P представляет собой силу динамического удара. На основании (1.34) запишем Рассматривая выражение где знак минус не соответствует физической стороне рассматриваемой задачи. После преобразования окончательно получим называют динамическим коэффициентом. На практике возможны случаи, когда высота падения равна нулю. Такой случай носит название внезапного действия (или мгновенного приложения) нагрузки. Например, если стойки, поддерживающие опалубку при возведении железобетонного перекрытия, при демонтаже убрать мгновенно, выбив их одновременно все. из формулы (1.35) получим Следовательно, при внезапном действии нагрузки деформации системы и напряжения в ней вдвое больше, чем при статическом действии той же нагрузки, поэтому по возможности этого следует избегать. В случае, когда высота падения груза h значительно превосходит величину статической деформации cm , значениями единицы пренебрегаем, тогда Учитывая линейную связь между напряжениями и деформациями, можно записать Для вертикального поперечного изгибающего (рис. 1.30,а) и вертикального крутящего ударов при аналогичных рассуждениях с использованием закона сохранения энергии можно получить такую же формулу динамического 38 коэффициента: где при вертикальном поперечном изгибающим ударе (рис.1.30,а) статическое перемещение находят по формуле Мора с использованием правила Верещагина: а при сложном сопротивлении (рис. 10.31) - по формуле где n – количество участков перемножения эпюр. Горизонтальный удар При горизонтальном ударе формула динамического коэффициента будет отличаться от ранее полученной (1.35), так как в этом случае происходит чисто динамический удар и будет отсутствовать работа, совершаемая силой Р. Пусть тело массой m движется с постоянной скоростью V и вызывает деформацию стержня  (рис. 1.29,в). Из закона сохранения энергии T где cm – перемещение в точке удара от статического приложения силы Р в этом месте, при этом сила Р прикладывается горизонтально. Крутящий удар В практике крутящий удар, как правило, встречается в деталях машин и механизмов и чаще всего вызывается не падением тех или иных грузов, а силами 39 инерции масс при больших ускорениях, что имеет место главным образом при торможении быстровращающихся валов, несущих маховики. Рассмотрим крутящий удар на примере торможения вала, несущего маховик (рис. 10.32) Рис. 1.32 Вал вращается с постоянной угловой скоростью . При торможении вал закручивается силами инерции вращающегося маховика, что вызывает максимальные напряжения в сечениях вала на расстоянии l от маховика (у тормозных колодок, рис 1.32). Требуется найти величину этих напряжений. Кинетическая энергия маховика, вызывающая ударное кручение, (1.41) где Jm – момент инерции вращающейся массы для маховика;  – угловая скорость вращения. Потенциальная энергия упругой деформации равна работе внешних сил, затраченных на закручивание вала. Она определяется по формуле как половина произведения силы на перемещение, т. е. где – динамический крутящий момент; – соответствующий угол закручивания вала на длине l. – модуль сдвига Выразим потенциальную энергию U через максимальные касательные напряжения Тогда из равенства T получим где lA – объем закручиваемого участка вала длиной l ; площадь сечения вала. Из формулы (1.44) видно, что на величину динамических напряжений большое влияние при прочих равных условиях оказывает длина закручиваемого участка вала. Если торможение осуществляется не мгновенно, а в течение некоторого времени, то в формуле (1.42) вместо следует использовать , т.е. изменение скорости за 1 с. 1.13. Примеры решения задач на удар без учета массы ударяемой системы Пример 1.13 Груз Р=2 кН падает с высоты h=0,1м на вертикальный деревянный столб длиной l=5 м. Нижний конец столба закреплен (рис. 1.29,б). Поперечное сечение столба круглое диаметром 300 мм, А = 70,7∙103 мм2, Е=1∙10 МПа. Определить наибольшие сжимающие напряжения в столбе. Решение 1. Находим величину статического перемещения: 2. Динамический коэффициент 3. Динамические напряжения в сечениях бруса Груз Р=40 кН опускают стальным тросом (Е=2∙105 МПа, А = 1500 мм2) с постоянной скоростью V= 1 м/с, как показано на рис. 1.33. После того как трос был выпущен на длину l= 20 м, включили тормоз, и груз дополнительно получил перемещение . Определить максимальное напряжение в сечениях троса и полную величину его деформации. Решение 1. Рассмотрим закон сохранения энергии 2. Левая часть баланса представляет собой различные компоненты энергии, которые затем переходят в правую часть баланса. Это, во-первых, кинетическая энергия движения груза, равная mV . Во-вторых, в выпущенном на длину l= 20 мм тросе вследствие статической деформации имеется накопленная потенциальная энергия Тогда второе слагаемое примет вид . Дополнительно на участке перемещения будет совершена работа P. Окончательно левая часть баланса примет вид 3. Правую часть баланса по аналогии с вышеизложенным можно записать 4. После анализа энергетического баланса и преобразования получаем 5. Определим статическую деформацию троса, выпущенного на длину  6. Величина динамического коэффициента составит 7. Максимальные напряжения в сечениях каната 8. Величина полной деформации троса Пример 1.15 Призматический стержень весом Р падает с высоты h на жесткую недеформируемую плиту (рис.1.34) Найти максимальные динамические напряжения, возникающие в сечении стержня при ударе. Такой случай возможен при ковке нагретой полосы металла. При захолаживании металла его пластические свойства понижаются в десятки раз, и захоложенную полосу условно можно считать абсолютно жесткой. Тогда кинетическая энергия падающего штока поглощается самим штоком, что может привести к его разрушению. При ударе силы инерции действуют на каждую точку стержня. При этом напряжения, возникающие в его сечениях, изменяются по высоте по линейному закону. Вверху они равны нулю и достигают максимальной величины у нижнего сечения, в месте соударения с плитой (рис. 1.34, б). Динамические напряжения в сечении стержня на расстоянии х от верхнего края равны Потенциальная энергия деформации ударяющего тела при этом будет равна Кинетическая энергия ударяющего тела где т – масса единицы длины;  – плотность материала; A – объем стержня; h – высота падения ; Р – вес стержня. Пренебрегая потерями энергии падающего стержня на местное смятие, трение о среду, деформацию плиты и т.п., можно записать, что , или, с учетом вышеизложенного, откуда получим Из полученного следует, что при упругой деформации падающего стержня возникающие в нем динамические напряжения зависят только от свойств материала, но не зависят от его линейных размеров. Пример 1.16 Груз, масса которого т = 5 кг, движется со скоростью V = 0,2 м/с и ударяется в стойку ВС системы, показанной на рис. 1.35,а. Стойка жестко связана со стальной балкой длиной  = 1,5 м, выполненной из двутавра №  м3), а сама она принимается недеформируемой. Требуется найти максимальные напряжения в балке. Решение В данном случае возникает горизонтальный изгибающий удар, для которого динамический коэффициент найдем по формуле (1.40): 1. Прикладываем горизонтальную силу, равную единице, к сечению стойки в месте удара (рис. 1.35,б) и строим эпюру единичных изгибающих моментов рис. 1.35,в). 2. Находим единичное перемещение 11 по формуле Мора с использованием правила Верещагина: 3. Полное перемещение от статического действия силы Р, равной весу груза, приложенной горизонтально в точке удара, составит 4. Определим величину динамического коэффициента: 5. Максимальное значение статического момента в сечении балки 6. Максимальные динамические напряжения в сечении балки Если в заданной схеме (рис. 1.35,а) поменять местами опоры (левое сечение балки закрепить шарнирно-неподвижной опорой), то будет иметь место сложное сопротивление – изгиб с растяжением. Тогда следует находить мN,а напряжения бст Пример 1.17 Маховик диаметром D= 400 мм с массой M = 40 кг, насаженный на вал диаметром d = 60 мм, вращается с постоянной угловой скоростью ω при частоте вращения n = 150 об/мин. Определить величину наибольших касательных напряжений в сечении вала при резком торможении (сечение А внезапно останавливается, рис. 1.32). Сечение А расположено от маховика на расстоянии 1200 мм. Модуль сдвига материала G = 78 ГПа. Массой вала пренебрегаем. Решение 1. Угловая скорость вращения вала 2. Момент инерции вращающейся массы (маховика) 3. Геометрические характеристики сечения вала 4. Максимальное динамическое напряжение в сечении вала 1.14. Влияние собственной массы упругой системы При учете массы упругой системы, распределенной по длине бруса, ввиду сложности задачи вводятся следующие допущения: 1. Считают, что масса упругой системы сосредоточена в точке удара (в точке приведения массы), а упругая система рассматривается как невесомая. 2. Упругая система с сосредоточенной (приведенной) массой обладает теми же свойствами, что и система с распределенной массой. При этом приведенную массу в точке удара определяют из равенства кинетической энергии систем с сосредоточенной (приведенной) массой и распределенной (рис.1.36), т.е. где Vmax и Vx – скорости перемещений в точке удара и в сечении x; Qпр. – приведенный вес системы в точку удара; mпр. – приведенная масса упругой системы в точку удара; m – масса упругой системы. 3. Считают, что соотношение скоростей и деформаций системы в этих случаях одинаковы (рис. 1.36): где – статические перемещения соответствующих сечений в точке удара. Откуда коэффициент приведения или рабочая формула для определения коэффициента приведения где – вес упругой системы  - плотность материала; А – площадь поперечного сечения стержня; l – длинна стержня. Например, при вертикальном сжимающем ударе (рис.1.29, б) коэффициент привидения составит Решение данной задачи упрощается, если вначале рассматривается удар с массой упругой системы, сосредоточенной в месте удара, а затем с помощью коэффициента приведения β учитывается, что масса распределена по длине стержня. Рассмотрим случай изгибающего удара (рис. 1.36). Массу балки сосредотачиваем (приводим) в точке удара При этом будем различать три характерных момента времени удара. 1. Момент, непосредственно предшествующий соприкосновению падающего груза Р с упругой системой, когда скорость груза Р равна Vmax, а скорость приведенной массы системы равна нулю. 2. Момент, когда скорость груза Р и приведенного веса системы становятся равными V1. 3. Момент, когда упругая система в точке удара получает наибольшее 49 перемещение, а скорость груза Р и упругой системы равна нулю. Скорость V1 определим из условия, что при неупругом ударе количество движения до удара равно количеству движения после удара, т.е. Система под действием веса Qпр еще до удара деформируется. Если 1− прогиб системы, вызванный под действием силы Qпр, то количество потенциальной энергии, накопленной системой до удара, . Обозначим Δ наибольшее перемещение в месте падения груза Р, вызванное его ударным действием и силой Qпр. В момент времени, когда система получает такое перемещение, грузы Р и Qпр оказывают на систему наибольшее действие с нагрузкой, равной  р пKP Q,где K – динамический коэффициент, учитывающий вес груза Р и инерцию этого груза. Рассматриваемому моменту времени соответствует наибольшее значение потенциальной энергии системы (кинетическая энергия в этот момент равна нулю, так как равны нулю скорости движения грузов Р и Qпр ) – потенциальная энергия системы до удара ; – кинетическая энергия груза и системы в момент их соприкосновения ; – работа сил Р и Qпр на дополнительном перемещении 12. Потенциальную энергию можно выразить также через силу K Qпр и полное перемещение (рис. 1.36, а): Сравнивая эти выражения, после некоторых преобразований получим Обозначим ст прогиб системы под грузом Р от статического действия этого груза. Зависимость между перемещениями 1 (от силы Qпр) и определяется формулами Подставим эти выражения перемещений в уравнение (1.53) и преобразуем его: где Qпр – сила, равная приведенной массе системы, β – коэффициент приведения, определенный по формуле (10.50). 1.15. Пример решения задачи на удар с учетом собственной массы упругой системы Пример 1.18 На стальную балку длиной = 3,2 м, выполненную из двутавра № 30, падает с высоты h = 300 мм посередине пролета груз Р = 800 H (рис. 1.37). 51 Найти динамические напряжения в балке. Как изменится величина напряжений в ней, если при расчетах учитывается собственная масса упругой ударяемой системы и если правая опора (рис. 1.37, в, г) будет установлена на пружину с коэффициентом жесткости С = 2 мм/кН. Рис. 1.37 Решение 1. По таблицам сортамента прокатных профилей для двутавра № 30 находим Iz м4 , Wz  м3 , массу погонного метра балки q=36,5 кг/м. 2. Прогиб от статического воздействия 3. Динамический коэффициент 4. Максимальные динамические напряжения в сечениях балки 5. Учтем собственную массу упругой ударяемой системы. Приведенная масса балки Вес этой массы 6. Динамический коэффициент с учетом собственной массы упругой системы 7. Динамические напряжения 8. Правая опора установлена на пружину (рис. 1.36, в, г). Реакция опоры при статическом нагружении балки силой Р = 0,8 кН равна R = 0,4 кН. Под действием этого усилия деформация пружины составит Примечание: Если известны параметры пружины, то жесткость ее можно рассчитать по формуле 1 , где λ – осадка пружины от силы P 1 (рис.1.37), которую можно найти по формуле где D – средний диаметр пружины; d – диаметр проволоки пружины ; n – число витков пружины. В центре пролета перемещение балки от сжатия пружины составит 0,4 мм. Суммарный статический прогиб в центре пролета 9. Динамический коэффициент 0 10. Динамические напряжения Сравнение полученных результатов показывает, что учет собственной массы ударяемой системы приводит к снижению динамических напряжений в 1,3 раза. Постановка пружины в одну из опор существенно снижает по величине напряжения (в 12 раз), но при этом возрастают перемещения.