Осесимметричные оболочки
Осесимметричные оболочки
Расчет тонкостенных осесимметричных оболочек
1.1 Примеры расчета осесимметричных оболочек
Библиографический список
4
1. Расчёт тонкостенных осемметричных оболочек.
Тонкостенной осесимметричной оболочкой называется, тело имеющее форму
вращения, толщина стенки которого весьма мала по сравнению с радиусами
кривизны её поверхности.
Если оболочка достаточно тонкая и не имеет резких переломов в очертании,
жестких закреплений и внешних сосредоточенных сил и моментов, то при расчёте
можно пренебречь изгибом поверхности оболочки и считать, что напряжение по
толщине стенки распределены равномерно. Такой расчёт называется расчётом по
безмоментной теории.
При наличии указанных факторов необходимо определять изгибающие моменты в
оболочках. Расчёт оболочек по моментной теории в курсе " Сопротивление
материалов ” не рассматривается.
На рис. 1.1,а изображена срединная поверхность осесимметричной оболочки, т.е.
поверхность, равноудаленная от её наружной и внутренней поверхностей.
Рис.1.1
Выделим из неё бесконечно малый элемент ABCD двумя меридиональными
плоскостями mm1m3 и mm2m3 (т.е. плоскостями, проходящими через ось симметрии
оболочки) с углом d между ними и двумя плоскостями, перпендикулярными оси
симметрии оболочки, одна из которых пересекает срединную поверхность оболочки
по линии ВС, а другая – по линии AD (рис.1.1а).
Радиусы кривизны срединной поверхности элемента ABCD в меридиональной
плоскости обозначим m, а в плоскости, перпендикулярной меридиану, – t (рис.
1.1,б).
По боковым граням AB и CD, совпадающим с меридиональными плоскостями, в
силу симметрии оболочки и нагрузки касательные напряжения равны нулю. По этим
граням действуют лишь нормальные напряжения t (окружные напряжения).–
рис.1.2,а.
Рис.1.2
Из закона парности касательных напряжений следует, что и по боковым граням BC
и AD они также отсутствуют. По этим граням действуют лишь нормальные
напряжения m (меридиональные напряжения) рис.1.2,б. Кроме напряжений m
на элемент оболочки действует нагрузка в виде давления , перпендикулярного
поверхности ABCD.
Составим условие равновесия бесконечно малого элемента оболочки (Рис. 1.2,в)
в виде суммы проекций приложенных к нему сил на ось n , совпадающую с
нормалью к поверхности ABCD:
где – толщина элемента ABCD оболочки.
Вследствие малости углов их синусы равны значениям углов, а потому
Подставив эти выражения в уравнения равновесия, после сокращения получим:
(1.1)
6
Формула (1.1) носит название уравнение Лапласа.
Для сферических (шаровых) оболочек
Если такие оболочки находятся под газовым давлением, то по формуле (1.1)
(1.2)
Для оболочек, имеющих форму цилиндра или конуса (m= ∞ , меридиан оболочек
представляет собой прямую линию), окруженное напряжение также можно найти из
уравнения Лапласа: (1.3)
Для определения меридионального напряжения необходимо привлечь уравнение
равновесия части оболочки, отсеченной плоскостью, перпендикулярной оси
симметрии. Тогда
(1.4)
В случае газового давления величина постоянна во всех точках поверхности
оболочки; для резервуаров, наполненных жидкостью, значение по их высоте
переменно.
Примеры расчета тонкостенных оболочек
Пример 1.1
Стальной котёл диаметром D=1,5 м и толщиной стенки t=10 мм находится под
давлением р=2 МН/м2
Проверить котел на прочность по IV теории предельных состояний, если
допускаемое напряжение металла []=200 МПа. Определить также приращение
показаний механических тензометров А и В (nВ) при создании в котле
рабочего давления р. База тензометров S=20 мм, коэффициент увеличения k=1000
мм
дел
(Рис.1.3)
Рис.1.3
7
Решение
1. Окружное напряжение находим по формуле (1.3)
2. Тангенциальное напряжение (1.4)
4. Проверка на прочность: Условие прочности котла обеспечивается.
5. Напряжения в направлении датчиков А и В:
6. Деформации в направлении осей датчиков А и В, определяем, используя
обобщенный закон Гука:
7. .Приращения показаний тензометров:
Пример 1.2
Стальной резервуар диаметром D=2 м наполнен жидкостью с объемным весом
γ=1·104 Н/м3 на высоту Н=4 м и находится под избыточным давлением р1=6 атм.
Исходя из IV теории прочности, установить толщину стенки t, если допускаемое
напряжение []=80 МПа.
Рис.1.4
Решение
1. Опасным является сечение у нижнего торца резервуара, где действует
максимальное давление, складывающееся от избыточного давления и веса
жидкости. Гидростатическое давление для жидкости с объемным весом
γ=1·104 Н/м3 составляет 1 атм(0,1 МН/м2) на глубине 10 м.
Тогда на уровне опасного сечения давление составляет:
2. Напряжение в опасном сечении резервуара
3. Исходя из IV теории прочности
получаем ≥0,0079 м.
Принимаем =8 мм. |