Предельное состояние стержневых систем.

Предельное состояние стержневых систем.


Оглавление: 1. Расчет по предельному состоянию 1.1. Общие положения 1.2. Допущения, вводимые при расчете по предельному состоянию Диаграмма деформирования материала 1.3. Предельная нагрузка при изгибе статически определимых балок 1.4. Расчет статически неопределимых балок по первому предельному состоянию 1.5. Расчет статически неопределимых систем на растяжение (сжатие) по предельному состоянию 1.6. Расчет на кручение по первому предельному состоянию Библиографический список 4 1. Расчет по предельному состоянию 1.1. Общие положения При расчете по допускаемым напряжениям выдвигается требование, чтобы наибольшее напряжение, возникающее хотя бы в одной точке конструкции, не превышало допускаемой величины (1.1) где под допускаемым напряжением считают отношение предела текучести т к нормативному (требуемому) коэффициенту запаса прочности n, т.е. (1.2) Опасным напряжением для пластичных металлов является предел текучести т ,а нагрузка, при которой такие напряжения возникают хотя бы в одной точке сечения, называется опасной нагрузкой Рт. Соответственно, допускаемая нагрузка [Р] вызывает допускаемые напряжения. Рис. 1.1 Справедливость такого требования можно показать на примере осевого растяжения бруса силой Р (рис.1.1), когда напряжения в любой точке одновременно достигают одинакового значения и определяются уравнением (1.3) Если при этом окажется, что т , то несущая способность стержня будет исчерпана, а нагрузка Р=Рт является предельной нагрузкой Рпр. При неравномерном распределении напряжений (например, в статически неопределимых конструкциях, а также при деформациях изгиба или кручения) 5 состояние конструкции, при котором местные напряжения достигают величины предела текучести, не является предельным, так как конструкция еще может сопротивляться возрастающей нагрузке. На рис.1.2, а показан стержень, имеющий длину l , EA=const и жестко защемленный по торцам. Стержень нагружен внешней осевой силой Р, приложенной в сечении 2- 2. Требуется найти величину предельной нагрузки. После раскрытия статической неопределимости рассматриваемой задачи действительная эпюра напряжений имеет вид (рис.1.2, б) Рис. 1.2 Внутренние силы N и соответственно напряжения при упругой деформации различные на участках. В рассматриваемом примере на участках 1-2 они будут в два раза больше, чем на участках 2-3. При повышении нагрузки напряжения на участке 1-2 быстрее достигают предела текучести – (рис.1.2,в). Внешнюю нагрузку Р при этом можно назвать опасной (Рт), но стержень еще может сопротивляться возрастающей нагрузке, так как деформации на участке 2-3 еще будут упругими. Внешняя нагрузка станет предельной (Рпр), когда напряжения во всех сечениях стержня достигнут величины предела текучести т (рис.1.2,г). Величину предельной нагрузки найдем из равновесия стержня (рис.1.2,д) Таким образом, предельно допускаемая нагрузка. в то врем, как допускаемая нагрузка т.е. на 33% меньше. Таким образом, расчет по предельному состоянию (по несущей способности) позволяет установить скрытый запас прочности системы. 1.2. Допущения, вводимые при расчете по предельному состоянию. Диаграмма деформирования материала При расчете бруса по предельному состоянию реальная диаграмма деформирования материала (рис.1.3,а) идеализируется. В частности, предполагается, что материал из упругой стадии работы сразу переходит в пластическую, а площадка текучести является неограниченной (рис.1.3,б), т.е. материал не упрочняется. Этим самым принимается равенство между пределами пропорциональности и текучести, а малой длиной площадки текучести или ее отсутствием можно абсолютно пренебречь, считая, что даже при неравномерном распределении напряжений явление текучести во всех точках конструкции достигается раньше начала упрочнения. Рис. 1.3 Идеализированная диаграмма, (рис.1.3,б) называется диаграммой Прандтля и существенно упрощает расчеты по предельному состоянию. 7 1.3. Предельная нагрузка при изгибе статически определимых балок Предположим, что на балку действует сосредоточенная сила Р приложенная в середине пролета l (рис.1.4). Рис. 1.4 Из условия прочности по нормальным напряжениям Находим допускаемое значение силы Р (1.4.) Для балки прямоугольного поперечного сечения с размерами bh получим Рассмотрим, как изменяется напряжения в опасном сечении с увеличением силы Р (рис.1.5). Рис.1.5 Анализируя эпюры напряжений, заключаем, что при ] материал опасного сечения находится в безопасном состоянии . При ] нормальные напряжения достигают величины допускаемого напряжения только в наиболее удаленных точках. При дальнейшем увеличении силы Р для определенного ее значения в этих точках возникает опасное состояние . Однако нагрузочная способность балки не исчерпана. Она может воспринимать еще большую нагрузку. Дальнейшее увеличение нагрузки ведет к развитию пластических деформаций вглубь сечения, и когда упругое ядро практически исчезает, т.е. когда во всех точках опасного поперечного сечения   т , наступает предельное состояние, при котором Рис. 1.6 В этот момент в опасном поперечном сечении возникает пластический шарнир (ПШ), а изгибающий момент достигает предельного значения Мпр (рис.1.6). Несущая способность балки исчерпана, так как балка фактически превратилась в механизм, т.е. части балок поворачиваются без дальнейшей деформации. Выделим в окрестности точки приложения сосредоточенной силы участок балки длиной dx и рассмотрим его равновесие (рис.1.7): Таким образом, в предельном состоянии нейтральная линия делит поперечное сечение на две равные части: Ат сарАсж . (1.6) Соотношение (1.6) справедливо и для несимметричных относительно оси Z поперечных сечений. Более того, если в упругой стадии работы материала нейтральная линия проходит через центр тяжести поперечного сечения, то в предельном состоянии нейтральная линия смещается, а ее точное положение следует определять на основе соотношения (1.6). Запишем еще одно уравнение равновесия: статические моменты площадей сжатой и растянутой частей поперечного сечения. Сумму статических моментов (SсZж  SZраст) принято называть пластическим моментом сопротивления и обозначать Wпл. Следовательно, (1.7) Предельный изгибающий момент определяем по формуле (1.8) Определим Wпл для прямоугольного и двутаврового поперечных сечений. Прямоугольное сечение размерами а их отношение Двутавровое сечение Вычисляем Wпл для таврового сечения. Полная площадь сечения Нейтральная линия делит сечение пополам, тогда Величина пластического момента сопротивления Рассмотренный выше пример подтверждает, что расчет по несущей способности позволяет выявить скрытый запас прочности в элементах конструкций. При проектировании строительных конструкций и сооружений расчет по несущей способности входит в расчет по так называемому первому предельному состоянию. Поскольку механические свойства материала изменчивы, то для пластических материалов в расчет вводится так называемое браковочное значение предела текучести, математическая обеспеченность которого равна 0,95–0,995. Это значение предела текучести называется нормативным сопротивлением и обозначается RН. Возможное снижение механических свойств против нормативных значений учитывается введением коэффициента безопасности по материалу Км =1,1-1,2. Коэффициент безопасности материалу установлен на основе обработки статистических данных испытаний материалов и работы материала в конструкциях с таким расчетом, чтобы при всех учитываемых обстоятельствах использование в конструкциях материала с пониженным значением предела текучести было исключено. На этом основании в расчет по первому предельному состоянию вводится расчетное сопротивление (1.9) соответствующее такому значению предела текучести, ниже которого он не может быть ни при каких обстоятельствах. Таким образом, предельный изгибающий момент, или расчетный момент, равен . (1.10) Пример 1.1 Требуется подобрать сечение двутавровой балки (рис.1.9,а), если нормативная нагрузка РН =105 кН, коэффициент перегрузки n=1,2. Балка должна быть выполнена из малоуглеродистой стали с расчетным сопротивлением R=210 МПа. Рис 1.9 Решение 1. Расчетная нагрузка Р=РН ·n=105·1,2=126 кН. 2. Вычисляем реакции опор и строим эпюру изгибающих моментов (рис 1.9,б), по которой находим значение наибольшего изгибающего момента Mmax=378 кН·м. 3. Требуемый пластический момент сопротивления 4. По формуле (12.7) определяем требуемый статический момент для половины сечения SZ м3. 5. По сортаменту определяем номер двутавра. Этой величине SZ соответствует двутавр №50, для которого действительное значение пластического момента сопротивления 1.4. Расчет статически неопределимых балок 13 по первому предельному состоянию Образование одного шарнира пластичности в статически неопределимой балке понижает степень ее статической неопределимости на единицу. Исчерпание несущей способности статически неопределимой балки наступает после того, как образовавшиеся пластические шарниры превращают ее в механизм. Но в этом случае число шарниров пластичности должно превышать на единицу число избыточных связей. Это положение точно выполняется для однопролетных статически неопределимых балок (рис.1.10). Рис.1.10 В случае неразрезных балок потеря грузоподъемности может наступить и тогда, когда вследствие появления пластических шарниров один из пролетов превращается в механизм. Поэтому для определения несущей способности неразрезных балок приходится рассматривать каждый пролет отдельно. Пример 1.2 Найти величину расчетной нагрузки для неразрезной балки (рис.1.11), выполненной из стального двутавра №60. Сталь малоуглеродистая с расчетным сопротивлением R=210 МПа. Рис 1.11 Решение 1. Используя метод сил, построим для заданной неразрезной балки эпюру изгибающих моментов (рис. 1.11, б). Заметим, что для расчета неразрезной 14 балки по предельному состоянию необходимо иметь лишь общий вид эпюры изгибающих моментов, поэтому в отдельных случаях можно и не решать полностью задачу по методу сил, а ограничиваться лишь общими соображениями. 2. Величина предельного изгибающего момента 3. Определяем расчетную нагрузку по исчерпанию несущей способности пролета 1-3 (рис.1.12,а): Рис 1.12 На этом пролете балка превращается в механизм, когда пластические шарниры возникают в сечениях 2 и 3. При этом изгибающие моменты в них достигнут предельной величины Мпр. Из условия, что ордината предельного изгибающего момента Мпр в сечении 2 (рис.1.12,а) равна алгебраической сумме ординат эпюр изгибающих моментов, полученных раздельно для пролетной нагрузки (рис.1.12,б) и для опорного момента (рис.1.12,в), находим Откуда определяем значение расчетной нагрузки 4. Определяем расчетную нагрузку по исчерпанию несущей способности пролета 3-5 (рис.1.13,а). 15 На этом пролете балки пластические шарниры могут возникать в сечениях 3,4 и 5. Предельный изгибающий момент в сечении 4 находим суммированием ординат эпюр М от внешней нагрузки и от опорных моментов: откуда находим расчетную нагрузку 1.5. Расчет статически неопределимых систем на растяжение (сжатие) по предельному состоянию Предельная продольная сила на растяжение может быть определена по формуле . (1.11) Эта формула для расчета по первому предельному состоянию записывается в виде где N – расчетная или предельная сила; R – расчетное сопротивление на растяжение; АН – площадь поперечного сечения с учетом конструктивных ослаблений. Пусть абсолютно жесткая балка подвешена с помощью двух стальных стержней (рис. 1.14, а). Длина l и площадь сечения А стержней соответственно одинаковы. Балка нагружена вертикально силой Р. Материал стержней пластичный с расчетным сопротивлением R. Найдем предельную нагрузку, при которой несущая способность системы будет исчерпана. Для этого достаточно рассмотреть условия равновесия балки, предположив, что напряжения в первом и втором стержнях достигают значения предела текучести (рис. 1.14, б): Продольные усилия в стержнях при исчерпании несущей способности будут равны Подставив эти значения в уравнение равновесия, получим Откуда найдем расчетную нагрузку Значительный интерес представляет сравнение предельной (расчетной) нагрузки Р с допускаемой величиной [Р]. Для определения последней предварительно необходимо рассчитать статически неопределимую (n=1) систему методом сил или ее работе в упругой стадии. Решая известным методом, получим Поскольку площади поперечных сечений стержней 1и 2 одинаковы, то нормальное напряжение в стержне 1 в два раза больше, чем в стержне 2, и из условия прочности находим Отношение 1,2 показывает, что в статически неопределимых системах, работающих на растяжение или сжатие, имеется скрытый запас прочности, который может быть реализован лишь при расчете по предельным состояниям. 1.6. Расчет на кручение по первому предельному состоянию При кручении стержней с круглым поперечным сечением касательные напряжения достигнут предела текучести вначале по наружному слою (рис.1.15,а). При этом крутящий момент будет равен 18 С увеличением крутящего момента пластические деформации постепенно распространяются от наиболее удаленных точек к оси стержня (рис.1.15,б). Когда пластическая зона охватит все сечение, несущая способность стержня будет исчерпана, так как в дальнейшем он будет закручиваться без увеличения крутящего момента (рис.1.15,в). Вычислим величину предельного крутящего момента Мк(пр), соответствующего исчерпанию несущей способности стержня. Выделим в поперечном сечении элементарную площадку в виде кольца шириной d (рис.1.15,г). Элементарный момент от действия касательных напряжений относительно оси стержня равен . Предельный крутящий момент в сечении равен сумме всех элементарных моментов, поэтому называют пластическим моментом сопротивления при кручении. С учетом (1.16) выражение для предельного крутящего момента принимает вид (1.17) Отношение предельного крутящего момента Мк рп() к моменту опасного состояния Мк т, при котором в сечении впервые возникают напряжения текучести, определяется как Эта величина показывает, что при кручении стержней, выполненных из пластичных материалов, имеется также скрытый запас прочности. 19 БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 1. Дарков А.В. Сопротивление материалов / А.В. Дарков, Г.С. Шпиро // М.: Высшая школа, 1989. 624 с. 2. Феодосьев В.И. Сопротивление материалов : учебник для втузов / В.И. Феодосьев. М.: МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2004. 597с. 3. Поляков А. А. Сопротивление материалов и основы теории упругости / А.А. Поляков, В.М. Кольцов // Екатеринбург: ГОУ ВПО УГТУ УПИ, 2007. 517с.