Связь между деформациями и напряжениями при объемном напряженном состоянии

Связь между деформациями и напряжениями при объемном напряженном состоянии. Обобщенный закон Гука

 

Для простого осевого растяжения или сжатия закон Гука имеет вид Зависимость между относительными продольной и поперечной деформациями в относительном измерении поперечная деформация раз меньше продольной . И1спользуя эти формулы, установим зависимость между напряжениями и соответствующими деформациями для объемного и плоского напряженных состояний. Рассмотрим элемент в виде кубика, по граням которого приложены главные нормальные напряжения (рис. 1.14). Обозначим ребра кубика, параллельные 1, номером 1, ребра, параллельные ─ номером 2 и ребра, параллельные 3 ─ номером 3. Используя принцип независимости действия сил, считаем, что деформация каждого ребра кубика (любого из трех направлений), будет равна сумме деформаций этого ребра от каждого из трех действующих напряжений, т. е. для нашего случая имеем Здесь:─ полная относительная деформация ребра 1; 11 ─ деформация ребра 1 от напряжения 1; 12 ─ деформация ребра 1 от напряжения 2; 13 ─ деформация ребра 1 от напряжения 3 . Аналогично могут быть записаны деформации ребер и по другим направлениям (1.15) где полные относительные деформации ребер 2 и 3; деформация ребра 2 от напряжения 1 и т.д. Деформация 1 определяется как при обычном линейном растяжении, т. е. . Деформация 2 является поперечной по отношению к линии действия напряжения 2, поэтому она будет в  раз меньше, чем деформация ребра 2, параллельного напряжению 2, и равная 22 2 , поэтому 2 или окончательно 12 2 Знак (-) минус здесь поставлен потому, что при положительном (растягивающем) напряжении 2, размер элемента по направлению 1 будет уменьшаться. Аналогично определится деформация ребра 1 от напряжения . Подобным же образом определяются другие деформации, например: 21 1 . Подставляя все эти значения в формулы (4.14) и (4.15), получим: Группируя члены этих уравнений, окончательно получим: (1.16) Полученные формулы (1.16) носят название обобщенного закона Гука, так как они выражают зависимость между напряжениями и относительными деформациями упругого тела. В дальнейшем в курсе рассматривается в основном плоское напряженное состояние, поэтому для него, полагая , будем иметь . Решая совместно эти два уравнения, можно выразить зависимость напряжений от деформаций: Эти формулы используются для вычисления напряжений по известным относительным деформациям 2 , обычно замеряемым опытным путем. Следует отметить, что в формулах (1.17) и (1.18) значения напряжений и деформаций имеют алгебраический смысл, поэтому при подстановке численных значений следует учитывать знаки. 1.6. Относительное изменение объема Рассмотрим элемент, находящийся в объемном напряженном состоянии (рис. Пусть стороны этого элемента соответственно равны a , b, c . Тогда объем V0 элемента до нагружения будет равен После возникновения на его гранях главных напряжений 3 размеры ребер изменятся и соответственно будут равны a1, b1, c1. Объем элемента V1 в этом случае запишется так: здесь ─ абсолютное удлинение ребра a , а ─ относительное удлинение того же ребра, параллельного напряжению 1. Аналогично получим . Объем V1 считаем так: Раскрывая скобки и пренебрегая членами, содержащими произведения как членами высшего порядка малости, получим: Относительное изменение объема будет равно отношению приращения объема к его первоначальной величине V0 : Подставляя значение из формулы (4.19), получим Из полученной формулы видно, что относительное изменение объема зависит от суммы главных напряжений и не зависит от их соотношения. 1.7. Удельная упругая потенциальная энергия деформации Для простого осевого растяжения (или сжатия) удельная потенциальная энергия определяется по формуле Для объемного напряженного состояния можно подсчитать удельную потенциальную энергию деформации элемента, пользуясь принципом независимости действия сил следующим образом: . В самом деле, напряжение  не производит работы на перемещениях по направлению так как все три направления взаимно перпендикулярны (рис. 1.13). Аналогично можно сказать и о напряжениях поэтому выражение (1.22) справедливо. Подставляя в него значениям 3 из формулы (1.16) будем иметь Размерность удельной потенциальной энергии Н∙м/м3 (без сокращения). При действии на элементарный объем различных главных напряжений относительные удлинения оказываются также различными: Таким образом, изменяются не только размеры, но и форма элементарного параллелепипеда, поскольку меняются соотношения между размерами ребер. В дальнейшем нужно будет знать, какая часть удельной энергии, определяемой формулой (1.23), расходуется на изменение объема, а какая – на изменение формы элемента. Энергия, накопленная при изменении объема uоб , определяется по формуле Потенциальная энергиия изменения формы uф, определяется по формуле Очевидно, должно при этом сохранятся равенство Для случаев плоского и линейного напряженного состояний соответствующие выражения, по которым определяются удельная потенциальная энергия как полная, так и ее части, получаются, если принять Таким образом, получим для плоского и линейного напряженного состояния: для линейного напряженного состояния: 1.8. Сдвиг или срез В предыдущем разделе было показано, что на произвольно ориентированных сечениях могут возникнуть как нормальные, так и касательные напряжения. В результате этого части тела, расположенные по разные стороны сечения, стремятся не только оторваться друг от друга, но и сдвинуться одна относительно другой. Рис. 1.16 Отрыву сопротивляются нормальные, а сдвигу – касательные напряжения. На практике целый ряд деталей работает в таких условиях, что внешние силы стремятся их разрушить именно путем сдвига. Прак тически на этот вид деформации рассчитываются болтозаклепочные, а также сварные соединения. Так как расчет этих соединений подробно изучается в курсе «Детали машин», то здесь рассматривается только физическая сторона явления. На рис. 1.16 представлено заклепочное соединение из трех листов, подвергнутое растягивающему усилию P . Если усилие P будет достаточно велико, то разрушение заклепки может произойти, как показано на рис. 1.17. Силы P стремятся перерезать заклепку по плоскости mk раздела листов соединения, поэтому такой вид деформации называют срезом или сдвигом. В этом случае внутренние усилия, сопротивляющиеся срезу, будут действовать в плоскости сечения. Соответствующие напряжения, возникающие в этих сечениях, называют касательными напряжениями - . Представленная на рис. 1.17 схема работы заклепки – неполная. В сечениях могут возникать и нормальные напряжения в результате технологических особенностей установки заклепок. Под срезом обычно подразумевают разрушение в результате сдвига одной части материала относительно другой (рис. 1.17). В дальнейшем будет рассмотрен так называемый чистый сдвиг. Образование такого вида деформации лучше всего проследить на примере частного случая плоского напряженного состояния. Рассмотрим часть детали (рис. 1.18), работающей в условиях плоского напряженного состояния, когда на нее действуют главные напряжения, причем Тогда можно записать: . Выделим из этой части детали элемент abcd в виде квадрата, стороны которого повернуты на угол 450 к линиям действия главных напряжений . Для определения напряжений, возникающих на гранях элемента ab и bd , используем формулы (1.6) и (1.7): Для площадки ab угол (между направлением и нормалью к площадке). Используя ранее записанные условия а) и б) будем иметь на площадке . Получается, что на гранях элемента abcd нормальные напряжения равны нулю, а касательные – численно равны нормальным, действующим на рассматриваемую часть детали. При этом соблюдается закон парности касательных напряжений. Такое напряженное состояние носит название чистого сдвига. Итак, чистым сдвигом называют такое плоское напряженное состояние, при котором на взаимно перпендикулярных площадках возникают одинаковые по величине и противоположные по знаку касательные напряжения, а нормальные напряжения на тех же площадках – отсутствуют. Чистый сдвиг представляет собою частный случай плоского напряженного состояния. В этом случае на гранях элемента действуют только касательные напряжения (рис. 1.19). Касательные напряжения при чистом сдвиге можно считать равномерно распределенными по площади сдвига и определять по формуле – сдвигающая сила; 19 А – площадка сдвига. Рис. 1.19 Главные напряжения при частом сдвиге легко определить при помощи формулы (1.30). Они показаны на рис. 1.19. Главные напряжения действуют на площадках, составляющих углы в 45с площадками сдвига (рис. 1.19), и равны 1.9. Деформация при чистом сдвиге Если надавить пальцем на стопку бумаги, как показано на рис. 1.20, она примет положение, изображенное на рис. 1.17. Аналогичную картину мы можем увидеть и в том случае, если элемент abcd (рис. 1.20) условно закрепить гранью cd . Тогда под действием касательного напряжения  элемент изменит свою форму и примет положение a1b1cd . Перемещение точек a и b будем называть абсолютным сдвигом Отношение этой величины ( ) к размеру сдвигаемого элемента h называют относительным сдвигом . Как видно из чертежа, это отношение равно тангенсу угла . Ввиду малости деформаций при небольших напряжениях (), можно считать, что , и тогда где ─ угол сдвига или относительный сдвиг. 1.10. Зависимость между касательным напряжением и относительным сдвигом Для установления этой зависимости снова рассмотрим элемент abcd в исходном и деформированном положении и определим, на сколько при этом удлинится диагональ cb (рис. 1.21). Обозначим длину диагонали cb через l , тогда Если из точки b опустить перпендикуляр на прямую cb1, то получим точку k . Очевидно, что В виду того, что деформации малы, можно пренебречь значением угла  и считать, что в треугольнике bb1k угол при вершине b1 равен учитывая соотношение (4.29), запишем 0 С другой стороны удлинение диагонали l можно определить исходя из того, что напряженное состояние чистого сдвига эквивалентно плоско- напряженному состоянию (рис. 1.16). На этом чертеже видно, что 1 действует вдоль диагонали ad , поэтому относительное удлинение диагонали bc определится из обобщенного закона Гука (формула 1.16): Делая подстановку , получим Абсолютное увеличение длины диагонали определится так: ; длина диагонали ─ 0 ; делая подстановку, получим . Мы получили разные выражения для одной и той же величины (1.30) и (1.31). Приравнивая эти выражения друг к другу и, решая относительно , получим и окончательно имеем (1.32) Величину обозначают буквой G и называют модулем упругости при сдвиге. Формула (4.32) примет вид (1.33) Полученное выражение (4.33) называют законом Гука при сдвиге: касательное напряжение прямо пропорционально относительному сдвигу. Коэффициент пропорциональности определяется по формуле В эту формулу входят три физические константы, упругие постоянные изотропного тела . Зная две из них, третья определится по формуле (1.34). Если для сталей принять значения: 0,25, то Необходимо отметить, что удельная потенциальная энергия изменения объема при чистом сдвиге равна нулю. Используя формулу (1.27), получаем е. объем тела при чистом сдвиге не меняется. Относительное изменение объема при чистом сдвиге можно определить по формуле (1.20), подставив значения главных напряжений т. е. объемная деформация при чистом сдвиге равна нулю. Энергия деформации при чистом сдвиге определяется по формуле Удельная энергия деформации (1.37) Составляющие удельной энергии: а) энергия изменения объема б) энергия формоизменения Таким образом, при чистом сдвиге потенциальная энергия изменения объема равна нулю, а полная удельная энергия деформации равна энергии изменения формы. Условие прочности при сдвиге можно записать так: Величина допускаемого напряжения [] определяется в зависимости от принятой теории прочности. По второй теории прочности (теории наибольших линейных деформаций) (1.39) Для стали при По третьей теории (теории наибольших касательных напряжений) (1.40) По четвертой (энергетической) теории (1.41) Для пластичных материалов следует считать наиболее обоснованным значение допускаемого касательного напряжения по формуле (1.41).