Pacчет бруса круглого поперечного сечения на прочность и жесткость при кручении

Pacчет бруса круглого поперечного сечения на прочность и жесткость при кручении



Целью расчетов на прочность и жесткость при кручении является определение таких размеров поперечного сечения бруса, при которых напряжения и перемещения не будут превышать заданных величин, допускаемых условиями эксплуатации. Условие прочности по допускаемым касательным напряжениям в общем случае записывается в виде Данное условие означает, что наибольшие касательные напряжения, возникающие в скручиваемом брусе, не должны превышать соответствующих допускаемых напряжений для материала. Допускаемое напряжение при кручении [] зависит от 0 ─ напряжения, соответствующего опасному состоянию материала, и принятого коэффициента запаса прочности n : ─ предел текучести, nт- коэффициент запаса прочности для пластичного материала; ─ предел прочности, nв- коэффициент запаса прочности для хрупкого материала. В связи с тем, что значения в получить в экспериментах на кручение труднее, чем при растяжении (сжатии), то, чаще всего, допускаемые напряжения на кручение принимают в зависимости от допускаемых напряжений на растяжение для того же материала. Так для стали [для чугуна . При расчете скручиваемых брусьев на прочность возможны три вида задач, различающихся формой использования условий прочности: 1) проверка напряжений (проверочный расчет); 2) подбор сечения (проектный расчет); 3) определение допускаемой нагрузки. 1. При проверке напряжений по заданным нагрузкам и размерам бруса определяются наибольшие возникающие в нем касательные напряжения и сравниваются с заданными по формуле (2.16). Если условие прочности не выполняется, то необходимо либо увеличить размеры поперечного сечения, либо уменьшить нагрузку, действующую на брус, либо применить материал более высокой прочности. 2. При подборе сечения по заданной нагрузке и заданной величине допускаемого напряжения из условия прочности (2.16) определяется величина полярного момента сопротивления поперечного сечения бруса По величине полярного момента сопротивления находят диаметры сплошного круглого или кольцевого сечения бруса. 3. При определении допускаемой нагрузки по заданному допускаемому напряжению [] и полярному моменту сопротивления WP предварительно на основе (3.16) определяется величина допускаемого крутящего момента MK а затем с помощью эпюры крутящих моментов устанавливается связь между K M и внешними скручивающими моментами. Расчет бруса на прочность не исключает возможности возникновения деформаций, недопустимых при его эксплуатации. Большие углы закручивания бруса весьма опасны, так как могут приводить к нарушению точности обработки деталей, если этот брус является конструктивным элементом обрабатывающего станка, либо могут возникнуть крутильные колебания, если брус передает переменные по времени скручивающие моменты, поэтому брус необходимо рассчитывать также на жесткость. Условие жесткости записывается в следующем виде: где ─ наибольший относительный угол закручивания бруса, определяемый из выражения (2.10) или (2.11). Тогда условие жесткости для вала примет вид Величина допускаемого относительного угла закручивания определяется нормами и для различных элементов конструкций и разных видов нагрузок изменяется от 0,15° до 2° на 1 м длины бруса. Как в условии прочности, так и в условии жесткости при определении max или max  будем использовать геометрические характеристики: WP ─ полярный момент сопротивления и IP ─ полярный момент инерции. Очевидно, эти характеристики будут различными для круглого сплошного и кольцевого поперечных сечений при одинаковой площади этих сечений. Путем конкретных расчетов можно убедиться, что полярные моменты инерции и момент сопротивления для кольцевого сечения значительно больше, чем для оплошного круглого сечения, так как кольцевое сечение не имеет площадок, близко расположенных к центру. Поэтому брус кольцевого сечения при кручении является более экономичным, чем брус сплошного круглого сечения, т. е. требует меньшего расхода материала. Однако изготовление такого бруса сложнее, а значит, и дороже, и это обстоятельство также необходимо учитывать при проектировании брусьев, работающих при кручении. Методику расчета бруса на прочность и жесткость при кручении, а также рассуждения об экономичности, проиллюстрируем на примере. Пример 2.2 Сравнить веса двух валов, поперечные размеры которых подобрать для одного и того же крутящего момента MK  600 Нм при одинаковых допускаемых напряжениях [60 МПа и относительном угле закручивания [ 0,1°/м. Модуль (2.20) 55 сдвига - G  80 ГПа. Первый вал ─ сплошной, второй ─ трубчатый с отношением внутреннего диаметра к наружному 0 0 0,8 Из условия прочности (2.16) и жесткости (2.20) определим WP и IP . Для сплошного вала: Принимаем диаметр сплошного вала 8,2 см, т.е. в данном случае решающим является условие жесткости. Для кольцевого сечения: Определяем диаметр только из условия жесткости, так как из условия прочности, как показывают вычисления, диаметр будет значительно меньше. Сравним веса валов. Предполагаем, что их длины одинаковы и они выполнены из одного материала. Тогда отношение весов равно отношению площадей поперечных сечений: Таким образом, полое сечение является более экономичным по расходу материалов и в рассмотренном примере дает более чем двукратное снижение веса вала (рис. 2.14). Построим эпюры касательных напряжений для сплошного и полого вала. Материал сплошного вала в центральной части напряжен значительно меньше, чем в периферийной, а в кольцевом сечении напряжения распределены более равномерно, и этим повышается степень использования материала. 2.9. Кручение прямого бруса прямого поперечного сечения Задача кручения бруса с некруглым поперечным сечением является значительно более сложной по сравнению с рассмотренной выше задачей кручения бруса круглого поперечного сечения. Допущения, принятые для бруса круглого поперечного сечения, не могут быть приняты для случая некруглого сечения. Прежде всего нарушается закон плоских сечений. Отдельные точки поперечного сечения перемещаются вдоль оси бруса, и всё сечение в целом перестает быть плоским. Происходит, так называемая, депланация сечения. Рассмотрим прямой брус прямоугольного поперечного сечения (рис. 2.15). На поверхности бруса до деформации кручения нанесем прямоугольную сетку линий, параллельных продольной оси и перпендикулярных к ней. Приложим к брусу два взаимно уравновешенных скручивающих момента m. В результате деформации торцевые, поперечные сечения не остались плоскими, а депланировали. Прямоугольные элементы, имеющиеся на поверхности бруса, получили наибольшее искажение в середине широкой стороны и почти не исказились около ребер бруса. Очевидно, наибольшие напряжения возникают там, где имеют место наибольшие деформации. Покажем распределение касательных напряжений в поперечном сечении прямоугольного бруса. Точное решение задачи о кручении прямого бруса прямоугольного поперечного сечения дано в теории упругости. Мы ограничимся приведением окончательных результатов. Наибольшее касательное напряжение можно определить по формуле момент сопротивления при кручении. Напряжение 2 , возникающее в середине короткой стороны, определяется через 1 : Угол закручивания бруса вычисляется по формуле b─ момент инерции прямоугольного поперечного сечения при кручении. Входящие в данные формулы коэффициенты  и зависят от соотношения сторон прямоугольника и для некоторых значений h приведены в таблице. Таким образом, формулы для определения maпри кручении прямого бруса прямоугольного поперечного сечения имеют такой же вид, что и для бруса круглого поперечного сечения. Однако величины зависят от формы и размеров поперечного сечения и лишь по размерности и значению в расчетных формулах аналогичны WP и IP для бруса круглого поперечного сечения. 2.10. Пример расчёта при кручении Пример 2.3 Вал изготовлен из стали. Модуль сдвига G = 80 ГПа. Требуется: 1. Из условия равновесия определить величину и направление незаданного скручивающего момента М3. 2. Построить эпюру крутящего момента МК. 3. Из условия прочности и жёсткости подобрать диаметры d и D сплошно го и полого участков вала ( d D  - отношение диаметров). 4. Построить эпюру углов скручивания, приняв за неподвижное левое торцевое сечение. Рис. 2.17 (2.23) Таблица 1 58 5. Исследовать напряжённое состояние элемента, расположенного на поверхности вала в окрестности точки К. При выполнении данного пункта необходимо: а) выделить элемент параллелепипед и определить касательные напряжения на границах, совпадающих с поперечным и осевым сечениями; б) изобразить прямоугольный элемент, определить положение главных площадок, найти главные касательные напряжения, нормальные напряжения и показать их на чертеже. Решение: 1. Определяем из условия равновесия MX  0величину и направление внешнего скручивающего момента М3 (рис. 2.18). 2. Разбиваем вал на участки (начало и конец участков обозначены буквами, а сами участки – цифрами) и, пользуясь методом сечений, определяем крутящие моменты каждого из участков (рис. 2.18). Участок Участок ДЕ (проще рассмотреть левую часть): По полученным данным и построению эпюры МК видно, что участок АВ является наиболее опасным для сплошного сечения, так как в его сечениях крутящий момент по абсолютному значению имеет наибольшую величину. 3. Определяем диаметр сплошного вала для участков АВ, ВС: а) из условия прочности по формуле (2.18): б) из условия жёсткости (3.20): Сопоставляя полученные значения диаметров, принимаем наибольшее из них, округлив до стандартного значения. Окончательно назначаем диаметр сплошного участка вала D = 100 мм. 4. Определяем диаметр для полых участков вала (СД и ДЕ). Расчетный момент для этих участков МК = 2,0 кНм: а) из условия прочности б) из условия жесткости Для полого участка вала окончательно принимаем наибольшее значение диаметра с учетом округления: D = 120 мм; d = 65 мм. 5. Определяем углы закручивания для каждого из участков, используя закон Гука (3.6). Участок АВ: 1 6. Определяем углы поворота сечений. Сечение А принято неподвижным в относительном движении: 7. Устанавливаем напряженное состояние в точке К, расположенной на поверхности вала, на втором участке. Рассмотрим вал по сечению, проходящему через точку К. Отбросим правую часть и рассмотрим левую часть (рис. 2.19, а). В сечении действует крутящий момент Мк2 = 1,2 кНм, который представляет собой равнодействующий момент всех внутренних касательных напряжений, взятых относительно центра сечения. Таким образом, касательные напряжения τ в любой точке поперечного сечения вала будут определены по формуле (2.4): в точке К напряжения имеют максимальное значение: с учетом значений MK имеем: На рис. 3.19, в. показано напряжённое состояние в точке К. На гранях бесконечно малого элемента, выделенного в окрестности точки К, действуют только касательные напряжения, а на гранях элемента авсd действуют главные напряжения min . Положение главных площадок определяется углом 0 , определённым по (1.11, см. раздел "Напряженно – деформированное состояние в точке”): Главные напряжения определяем по формуле : На основании данных расчетов видим, что два главных напряжения не равны нулю, это значит, что материал вала в точке К испытывает плоское напряженное состояние. 63 БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК 1. Дарков А.В. Сопротивление материалов / А.В. Дарков, Г.С. Шпиро // М.: Высшая школа, 1989. 624 с. 2. Феодосьев В.И. Сопротивление материалов : учебник для втузов / В.И. Феодосьев. М.: МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2004. 597с. 3. Поляков А. А. Сопротивление материалов и основы теории упругости / А.А. Поляков, В.М. Кольцов // Екатеринбург: ГОУ ВПО УГТУ УПИ, 2007. 517с. 4. Поляков А. А. Сопротивление материалов / А. А. Поляков // Екатеринбург: ГОУ ВПО УГТУ – УПИ, 2006. 163с. ПРИЛОЖЕНИЯ Таблица П.2 Наименование материала Марка σт, σв, δ, МПа МПа % Чугун серый СЧ 120-380 _ Дюралюминий Д16 330 450-500 12 Дюралюминий Д1 110-240 210-420 18-15 Алюминиевые сплавы АМг 100-210 180-250 6-23 Латунь Л68 91-520 320-660 55,3 Латунь алюминиевая ЛА77-2 140 400-650 55-12 Бронзы оловянистые Бр.010 - 250 11 Сосна вдоль волокон _ _ 80 _ Текстолит ПТК _ 100 0,8- 1,2 Стекловолокнистый пластик СВАМ _ 260-480 1,4-2 66 Таблица П. 3 Механические характеристики некоторых марок сталей, МПа Марки сталей Диаметр заготовки, мм, не более B Таблица П.4 Ориентировочные значения основных допускаемых напряжений Материал Допускаемое напряжение, Мн/м2 на растяжение на сжатие Чугун серый в отливках 28-80 120-150 Сталь ОС и Ст. 2 140 Сталь Ст. 3 160 Сталь Ст. 3 в мостах 140 Сталь углеродистая конструкционная в машиностроении 60-250 Сталь легированная конструкционная в машиностроении 100-400 и выше Медь 30-120 Латунь 70-140 Бронза 60-120 Алюминий 30-80 Дюралюминий 80-150 Текстолит 30-40 Гетинакс 50-70 Бакелизированная фанера 40-50 Сосна вдоль волокон 0,7-10 10-12 Сосна поперёк волокон 1,5-2 Дуб вдоль волокон 9-13 13-15 Дуб поперёк волокон 2,0-3,5 Каменная кладка до 0,3 0,4-4 Кирпичная кладка до 0,2 0,6-2,5 бетон Таблица П.5 Допускаемые напряжения и расчетные сопротивления для древесины сосны и ели Вид сопротивления Допускаемые напряжения Расчетные сопротивления обозначения величина, МПа обозначение величина, МПа Изгиб ] 10 Rи 13 Растяжение вдоль волокон  р] 7 Rp 10 Сжатие и смятие вдоль волокон [см] 10 Rc , Rcм 13 Смятие поперек волокон (на длине не менее10 см) [см]90 2,5 Rcм 90 3 Скалывание вдоль волокон при изгибе [и] 2 Rcк 2,4 Скалывание вдоль волокон при врубках [] 1 Rcк 1,2 – 2,4 Скалывание во врубках поперек волокон