Деформации при растяжении (сжатии)

Деформации при растяжении (сжатии)


Рассмотрим стержень постоянного сечения A длиной  , один конец которого закреплен (рис. 1.8). Приложим к свободному концу силу P, совпадающую по направлению с осью стержня. Под действием силы P длина стержня увеличивается (в случае сжимающей силы – уменьшается) на некоторую величину  . При этом изменяются также и размеры поперечного сечения: в случае растяжения они уменьшаются, а при сжатии – увеличиваются. Деформированное состояние стержня при растяжении показано на рис. 1.8 тонкими линиями. Рис. 1.8 Разность между конечной и первоначальной длинами стержня называется абсолютным удлинением (укорочением) стержня ─ конечная длина стержня;  ─ абсолютное удлинение укорочение стержня. Аналогичным образом определяется абсолютная поперечная деформация  где b1 – размер поперечного сечения стержня после деформаций. Отношение абсолютной продольной деформации к первоначальной длине стержня называется относительной продольной деформацией (относительным удлинением или укорочением) стержня:  Аналогично определяется относительная поперечная деформация 8) Относительные деформации ε1 и ε2 зависят от физических свойств материала и не зависят от размеров стержня. 11 Абсолютная величина отношения относительной поперечной деформации к относительной продольной деформации называется коэффициентом поперечной деформации или коэффициентом Пуассона (приложение П.1). 2  . (1.9) Значение коэффициента μ для всех материалов колеблется в пределах 0≤ μ ≤ 0,5. Так, для пробки μ = 0, резины – 0,5, для углеродистых сталей от 0,24 до 0,33, а для бетона от 0,08 до 0,18. Значения коэффициентов μ приводятся в справочной литературе (см. прил. 1). 1.5. Закон Гука Опыты показывают, что для многих материалов до определенных пределов выполняется прямая-пропорциональность между деформацией и действующей нагрузкой  (1.10) эта формула носит название закона Гука при растяжении (сжатии). В формуле (1.10) N – продольная сила; – длина стержня; А – площадь поперечного сечения; Е – модуль упругости материала (модуль Юнга). Модуль упругости характеризует способность материала сопротивляться деформациям растяжению (сжатию) и изгибу. Эта величина определяется опытным путем и зависит от физических свойств материала. Например, для сталей Ест= (190- 210) ГПа. В расчетах обычно принимается значения модулей упругости: стали Ест = 200 ГПа; меди Ем = (100 130) ГПа; алюминия ЕАл = 70 ГПа; сосны Ес = 10 ГПа; Для других материалов значение Е приводится в справочной литературе (см. прил. 1). Величина ЕА называется жесткостью поперечного сечения при растяжении (сжатии). Закон Гука (1.10) может быть представлен другой зависимостью, если учесть, что, то из (1.10) получим 12 = E1.11) т. е. нормальное напряжение прямо пропорционально относительной деформации. Формулы (1.10) и (1.11) справедливы для стержней при ЕА=const и N=const. При переменной по длине стержня площади поперечного сечения Ах (рис. 1.9) или продольной силы Nх абсолютная продольная деформация определяется по формуле  (1.12) Рис. 1.9 При расчете по формуле (1.12) необходимо знать законы изменения площади поперечного сечения Ах в зависимости от х и продольной силы Nх=f (x). При определении удлинения (укорочения) ступенчатого стержня нагруженного несколькими сосредоточенными, распределенными силами подсчитываются удлинения (укорочения) для каждого из участков и результаты суммируются алгебраически:. (1.13) Так, для стержня, имеющего два цилиндрических и конический участок, (рис. 1.10) его удлинение А1= const, А3= const. 13 Рис. 1.10 1.6. Определение перемещений Вследствие деформации стержня происходит перемещение поперечных сечений в направлении его оси. Перемещение это изменение положения поперечного сечения по отношению к исходному положению. Перемещение сечения зависит от деформации не всего стержня, а лишь участков, расположенных между этим сечением и неподвижным сечением или условно принятым за неподвижное. Так, для стержня, изображенного на (рис. 1.11), перемещение сечения В равно алгебраической сумме деформаций участков (ЕС, СВ), расположенных между неподвижными сечениями Е и сечением Иногда для наглядности строится эпюра перемещений, т. е. график, ординаты которого равны величинам соответствующих перемещений сечений. На (рис. 1.11, б) показан характер эпюры перемещений для рассматриваемого стержня. Из эпюры видно, что перемещение сечения К равно нулю. Сечения, расположенные выше этого сечения, перемещаются вниз (условно примем знак минус), а сечения ниже – вверх (знак плюс). 14 Рис. 1.11 На практике широко используются стержневые системы, представляющие собой совокупность двух или более шарнирносочленненых стержней (рис. 1.12). Определение перемещений в таких системах удобно производить графическим способом путем построения диаграммы перемещений. Рис. 1.12 Рассмотрим сущность этого способа на примере определения перемещения узла в кронштейне, состоящего из двух стержней 1, 2, соединенных шарниром В (рис. 1.13). Нагрузку Р, длины стержней  , пощади их поперечных сечений А1 и А2 и модули упругости Евс, Евд считаем известными. 15 Рис. 1.13 Решение: 1. Определяем усилия N1, N2 соответственно в стержнях 1 и 2. Для этого на основании метода сечений вырезаем узел В и рассматриваем его равновесие (рис.  решения этих уравнений находим + cos . Продольные силы N1 и N2 растягивающие. 2. Находим абсолютное удлинение стержней, применяя закон Гука: 1. 16 3. Строим диаграмму перемещений узла В. Для этого мысленно представим себе, что стержни 1 и 2 в узле В разъединены и каждый из них деформируется независимо (рис. 1.13, в). Первый стержень удлинился на величину , равную отрезку ВВ′, а второй – на  ВВ″. В действительности стержни связаны шарниром, поэтому опять мысленно соединим концы стержней в одну точку В. Для этого стержни 1 и 2 повернем вокруг точек D и С. Тогда их концы опишут дуги, пересечение которых определит новое положение узла В1 (рис. 1.13, в). Так как деформации стержней малы, то дуги обычно заменяют отрезками В1В′ и В2В″, перпендикулярными осями стержней ВD и ВС. Пересечение этих перпендикуляров и определяет (с некоторой погрешностью) новое положение узла В. Отрезок ВВ1 определяет полное перемещение узла В, Δв. Для определения этого перемещения разложим его на составляющие (рис. 1.13, в): горизонтальную  , равную отрезку В1К; вертикальную . Для установления связи между деформациями2 и перемещениями  , спроектируем ломаную линию ВВ1К на направление стержней ВD и ВС получим:ВвВ12  . Из решения этих уравнений находим вертикальное и горизонтальное перемещение узла В найденным Г определяем полное перемещение узла В:  С помощью рассмотренного способа можно определить перемещения в различных системах. Так, например, для системы, состоящей из жесткого стержня DC (деформацией таких стержней пренебрегают) и упругого стержня ВЕ, перемещения точки С на основании диаграммы перемещений (рис. 1.14) определится  17 Рис.1.14 Перемещение узла В – (ΔВ) находим из рассмотрения треугольника ВВ1 где 11 1