Растяжение и сжатие Продольная сила и ее эпюра

Растяжение и сжатие Продольная сила и ее эпюра


Растяжение и сжатие 1.1. Продольная сила и ее эпюра Вид деформации, при котором в поперечных сечениях стержня возникает только продольная сила, называется центральным растяжением (сжатием). Такой вид деформации испытывают элементы многих строительных конструкций, подъемнотранспортных машин, механизмов и др. Например, напряжение возникает в тросе 1 подъемника буксированной машины (рис. 1.1), а сжатие – в трубе (рис. 1.2) от ее собственного веса. При растяжении продольную силу считают положительной (направлена от сечения, рис. 1.3, а), а при сжатии – отрицательной (направленной к сечению, рис. 1.3, б). Если на стержень действует несколько внешних сил, приложенных к концевым или промежуточным его сечениям, то растяжение (сжатие) будет возникать только в том случае, когда силы направлены по оси стержня или приводятся к равнодействующей, направленной по этой оси. Для определения продольной силы применяется метод сечений (РОЗУ). Рассмотрим пример: пусть дан ступенчатый стержень, нагруженный силами (рис. 1.4), приложенными в точках В и Д, совпадающих с осью стержня. Требуется определить продольные силы в сечениях 1-1 и 2-2. Для решения воспользуемся методом сечений: стержень мысленно рассекаем плоскостью, перпендикулярной оси стержня по сечению, например, 1-1 на две части. Взаимодействие частей между собой заменяем продольной силой N1 5 Рис. 1.4 (индекс присваиваем в соответствии с нумерацией сечения). Из условия равновесия какой-либо одной части определяется значение продольной силы. Так, для нижней части стержня (рис. 1.4, а) уравнение равновесия имеет вид: Очевидно, что величина продольной силы N1 не зависит от положения сечения 1-1 (координата х) в пределах участка ВС и СД. Продольная сила на этих участках будет вызывать деформацию растяжения, и знак ее положителен. Аналогичным образом определяются значения продольной силы N2 в сечении 2-2. Из условия равновесия нижней части (рис. 2.4,б) получим: Из выражения для N2 видим, что ее знак зависит от соотношения сил P1 и P2. Если сила P1 по абсолютному значению больше чем P2, то продольная сила N2 будет положительной, т.е. направлена от сечения (рис. 1.4,б) и вызывает растяжение стержня на участке . В случае, когда , продольная сила изменяет знак на отрицательный. Она будет направлена к сечению (рис. 1.4,в) и вызовет сжатие стержня на данном участке. Продольные силы в сечениях 1-1 и 2-2, можно было определить из рассмотрения равновесия правой части стержня (рис. 1.4), но в этом случае необходимо предварительно определить реакцию в заделке RВ. Что касается величин сил N1 и N2, то их значения будут те же. На основании рассмотренного примера дадим определение продольной силы. Продольная сила представляет собой равнодействующую внутренних нормальных сил в поперечном сечении 6 стержня, численно равную алгебраической сумме проекций на ось стержня всех внешних сил, расположенных по одну сторону от рассматриваемого сечения, и заменяет действие отброшенной части стержня на оставшуюся. При практических расчетах, когда на стержень действует несколько сил, удобно для наглядности строить эпюру продольных сил. Эпюра продольных сил – это график, показывающий закон изменения продольных сил в поперечных сечениях стержня по его длине. Ордината на этом графике численно равна продольной силе в данном сечении. На рис. 1.4, г показана эпюра продольных сил N применительно к стержню, рассмотренного в примере выше при значениях силы P1 =10 кН и P2 =15 кН. Заметим, что резкое изменение площади поперечного сечения (место сопряжения стыка двух участков (рис. 1.4)) не влияет на величину продольных сил, т. е. продольная сила зависит только от внешних сил, действующих на стержень, а не от геометрических его параметров. Скачки на эпюре N (рис. 1.4, г) обусловлены силами P1, P2 и реакцией RВ. Здесь мы рассмотрели простой случай, когда продольная сила по длине каждого из участков не изменялась. Рассмотрим более сложный случай, когда на стержень действует внешняя распределенная нагрузка интенсивностью q, изменяющейся по оси стержня по некоторому закону q=f(x) (рис. 1.5). Для решения этой задачи рассмотрим равновесие бесконечно малого элемента, вырезанного двумя сечениями, расположенными друг от друга на расстоянии dx (рис. 1.5, а). К сечению 1-1 вырезанного элемента приложим силу N, а к сечению 2-2 – силу (N + dN). Из условия равновесия вырезанного элемента ∑x = 0 находим Зависимость (1.1) позволяет определять продольную силу в текущем сечении стержня по известной распределенной внешней нагрузки интенсивности qx. Так, если внешняя нагрузка равномерно распределена по длине стержня (рис. 1.5) q=const, то продольная сила изменяется по линейному закону (рис. 1.5, в), если внешняя нагрузка распределена по линейному закону, например то продольная сила изменяется по закону квадратичной параболы (рис. 1.2. Напряжения при растяжении (сжатии) При центральном растяжении (сжатии) многократными опытами установлено, что плоские и перпендикулярные оси стержня поперечные сечения до деформации остаются плоскими и перпендикулярными оси после деформации. Этот вывод, впервые высказанный голландским ученым Д. Бернулли, получил название гипотезы плоских сечений. Гипотеза Бернулли является основополагающей в курсе Сопротивление материалов и широко используется при решении многих задач. Соблюдение гипотезы Бернулли можно усмотреть из простого опыта. Так, если на поверхность призматического стержня (рис. 1.6, а) нанести систему взаимно перпендикулярных линий до нагружения, то после нагружения (рис. 1.6, б) поперечные линии а-а, в-в, с-с и т. д. переместятся параллельно самим себе (надо иметь в виду, что этот вывод не выполняется для концевых участков стержня, расположенных в зоне действия сил). Исходя из данного опыта и на основе гипотезы Бернулли можно предположить, что внутренние силы распределены по сечению равномерно. Продольная сила N является равнодействующей всех внутренних нормальных сил σdA, действующих на бесконечно малые площади поперечного сечения площадью А: Тогда с учетом сказанного выше, что имеем (1.3) где – нормальное напряжение; N – продольная сила в сечении; А – площадь поперечного сечения. Формула справедлива только для поперечных сечений, расположенных от мест приложения нагрузки на расстоянии, не меньше поперечного размера стержня (принцип Сен-Венана). Вблизи места приложения нагрузки напряжения распределяются неравномерно – по сложному закону. Для стержня постоянного сечения, однородного, нагруженного силами, приложенными по концам, напряжения остаются постоянными как по сечению, так и по длине, т. е. одинаковыми для всех точек объема стержня. Такое напряженное состояние называется однородным. При растяжении (сжатии) может иметь место и неоднородное напряженное состояние. Например, у стержня с переменной площадью поперечного сечения (рис. 1.7) напряжения не одинаковы в различных точках. Они имеют разную величину и разное направление, так как площадь поперечного сечения не одинакова Ax  const. Аналогично нормальное напряжение в поперечных сечениях стержня, вызываемые его собственным весом (рис. 1.15), изменяются по его длине. В этом случае продольная сила Nx изменяется по длине стержня. 1.3. Условие прочности Для обеспечения надежной работы элементов конструкций, работающих на растяжении (сжатии), необходимо, чтобы выполнялось следующее условие: наибольшее нормальное напряжение, возникающее в поперечном сечении стержня от действия эксплуатационных нагрузок, не должно превышать допускаемых напряжений для материала, из которого изготовлен этот стержень. В математической форме записи это условие запишется в виде где – допускаемое напряжение на растяжении или сжатии (см. прил. П.4). Это расчетное уравнение позволяет решать следующие задачи: 1. Выполнять проверочный расчет, т. е. определять по заданным нагрузке и размерам поперечного сечения стержня фактические напряжения и сравнивать их с допускаемыми. Фактические напряжения не должны отклоняться от допускаемых более чем на ± 5%. Перенапряжение больше этой величины недопустимо с точки зрения прочности, а недонапряжение свидетельствует о перерасходе материала. 2. Выполнять проектный расчет: по известной нагрузке и допускаемому напряжению определять размеры поперечного сечения стержня, требуемые по условию его прочности: (1.5) 3. По известной площади поперечного сечения и допускаемому напряжению определять допустимую продольную силу, а по ней допускаемую нагрузку