Примеры расчета геометрических характеристик плоских сечений
Примеры расчета геометрических характеристик плоских сечений.Пример 1.2
Для сечения, состоящего из двух швеллеров
№ 10 и двух прямоугольных пластин
(20100) мм определить главные центральные
моменты инерции (рис. 1.15)
Решение:
1. Определяем главные центральные
моменты инерции для швеллера и
прямоугольника:
а) для швеллера № 10 ГОСТ 8240-89 площадь Рис. 1.15
(приложение П.4)
сечения A1 10,9см2. Моменты инерции: Iy1 20,4см4, Iz1 174см4. Положение
центра тяжести d1,44см.
б) прямоугольника
2см2.
2. Вычисляем главные центральные осевые моменты инерции сечения.
Оси Y иZ являются осями симметрии сечения (рис. 1.15), поэтому они являются
центральными осями инерции ( Iyz 0) и нет необходимости их определять.
Осевые моменты инерции относительно этих осей:
(1.43)
( Пример 1.3
Для сечения составленного, из двутавра № 40, (П27) неравнобокого уголка
(П26) (90Ч56Ч6)мм, пластины (12Ч400)мм требуется определить положение центра
тяжести, осевые моменты инерции относительно центральных осей, положение
главных центральных осей инерции и моменты инерции относительно этих осей.
Решение:
1. Разбиваем сечение на простейшие, показываем их центры тяжести и
центральные оси инерции Y,i Z iтаких сечений три за номерами 1, 2, 3 (рис.
1.16).
Для прокатных профилей двутавра и уголка выписываем данные их
геометрических характеристик из таблиц сортамента, а для пластины
рассчитываем:
а) двутавр № 40 ГОСТ 8239-89 (приложение П.3).
площадь A1 72,6 см 2 ;
моменты инерции
1 Iz 19062см4, Iy1 667 см4, Iy1z1 0;
высота сечения H 40см;
ширина полки B 15,5см;
толщина стенки d 0,8см.
Рис. 1.16.
32
Рис. 1.16
б) прямоугольник
площадь A2 0 48см2 ;
моменты инерции
2
3
40см4, 2
3
1,2 40
6400 y0.
в) уголок (90Ч56Ч6)мм (см. ГОСТ 8510-86) (приложение П.2)
площадь A3 8,54 см2 ;
момент инерции
33
4
I70, 6z , I 21,2yсм см4 ,
I3,min=12,7см4 вычисленной относительно главной оси и уголка, расположенного
под углом 0 к оси Z3. Угол 03 определяем из выражения tg384,
приведенного в таблице сортамента. Координаты центра тяжести
03 03
z1,2 8 2,95см y см.
Для определения центробежного момента инерции уголка
y33z
I предварительно
необходимо найти осевой момент инерции уголка I3,max .
Его находим из условия
znim ,3xa m,33I .
Отсюда
xa m,3 33
3,max 3,min 0
03
79,1 12,7
sin2 sin2 21 22,22
zy22
II
I 2. Определяем координаты центра тяжести сечения по отношению к главным
центральным осям двутавра, считая их как вспомогательные. ,
где zi─ координаты центров тяжести сечений где yi - координаты центров тяжести от оси z1
72,6 0 48м.
Примечание. Необходимо учитывать знаки координат.
Через найденный центр тяжести сечения проводим оси y и z, которые
являются центральными осями.
3. Вычисляем осевые и центробежный моменты инерции сечения относительно
центральных осей y и z по формулам:
3,
здесь a,ibi─ координаты центров тяжести простейших сечений 1, 2 ,3 от
центральных осей y и z определяются из чертежа (рис. 1.16).5 48 22,22 24,28 14,9 8,54 104;
4. Определяем главные центральные моменты инерции
, x5. Находим положение главных центральных осей сечения
0 Отложив угол 9,130 от z по часовой стрелке, получим направление
главной центральной оси сечения z0, другая главная ось сечения y0 ей взаимно
перпендикулярна.
6. Выполняем проверку расчетов из условия, что сумма моментов инерции
относительно повернутых взаимно-перпендикулярных осей должна оставаться
величиной постоянной: см4;
00Iy z38624 11661,5 50285,5 см4.
Расхождение в пределах 0,01см4 близко к нулю, поэтому можно утверждать,
что расчет выполнен верно.
Примечание. Проверку расчетов можно выполнить, определив центробежный
момент инерции сечения по найденным главным центральным моментам инерции
сечения по формуле
00
0
sin2
2 и сравнив его с Iyz , вычисленным в пункте 3.
34
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1. Дарков А.В. Сопротивление материалов / А.В. Дарков, Г.С. Шпиро // М.:
Высшая школа, 1989. 624 с.
2. Феодосьев В.И. Сопротивление материалов : учебник для втузов / В.И.
Феодосьев. М.: МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2004. 597с.
3. Поляков А. А. Сопротивление материалов и основы теории упругости /
А.А. Поляков, В.М. Кольцов // Екатеринбург: ГОУ ВПО УГТУ УПИ, 517с.
35
ПРИЛОЖЕНИЯ
Т
а
б
л
и
ц
а
П
.
1
ГОСТ 8509-93. Уголки стальные горячекатаные
равнополочные
1. Настоящий стандарт распространяется на уголки стальные горячекатаные
равнополочные.
2. Размеры уголков, площадь поперечного сечения, справочные величины для
осей и масса 1 м уголков должны
соответствовать указанным на рисунке и в таблице.
Примечания:
1. Площадь поперечного сечения и справочные величины вычислены по
номинальным размерам. Плотность стали —
7,85 г/смі.
2. Радиусы закругления, указанные на рисунке и в таблице, даны для
построения калибра и на профиле не
контролируются.
Условные обозначения к рисунку и
таблице:
b — ширина полки;
t — толщина полки;
R — радиус внутреннего закругления;
r — радиус закругления полок;
F — площадь поперечного сечения;
I — момент инерции;
y0 — расстояние от центра тяжести до
наружной грани полки;
Izy — центробежный момент инерции;
i — радиус инерции.
3. По точности прокатки уголки
изготавливают:
А — высокой точности; В — обычной точности.
ГОСТ 8510-86. Уголки стальные горячекатаные
неравнополочные
1. Настоящий стандарт распространяется на стальные горячекатаные
неравнополочные уголки.
2. Размеры уголков, площадь поперечного сечения, справочные величины для
осей и массы 1 м уголков должны
соответствовать указанным на чертеже и в таблице.
Примечания:
1. Площадь поперечного сечения и справочные величины вычислены по
номинальным размерам. При вычислении
массы 1 м уголка плотность стали принята равной 7,85 г/смі.
2. Радиусы закругления, форма и размеры участка сопряжения внутренних граней
полок, указанные на чертеже и в
таблице, даны для построения калибра и на уголке не проверяются
3.Уголки, отмеченные звездочкой, изготовляют по требованию потребителя.
Условные обозначения к чертежу и
таблице:
В — ширина большей полки;
b — ширина меньшей полки;
t — толщина полки;
R — радиус внутреннего закругления;
r — радиус закругления полок;
I — момент инерции;
i — радиус инерции;
zo, yo — расстояния от центра тяжести до
наружных граней полок;
Izy — центробежный момент инерции.
3. По точности прокатки уголки изготовляют:
А — высокой точности; В — обычной
точности.
ГОСТ 8239-89. Двутавры стальные горячекатаные
Настоящий стандарт устанавливает сортамент горячекатаных стальных двутавров с
уклоном внутренних граней полок.
1.Поперечное сечение двутавров должно соответствовать указанному на чертеже.
h — высота двутавра;
b — ширина полки;
s — толщина стенки;
t — средняя толщина полки;
R — радиус внутреннего закругления;
r — радиус закругления полки.
Примечание: Уклон внутренних граней
полок должен быть 6 — 12 %.
2. Номинальные размеры двутавров,
площадь поперечного сечения, масса и
справочные значения для осей должны
соответствовать приведенным в таблице.
Примечания:
1. Площадь поперечного сечения и масса
1 м двутавра вычислены по номинальным
размерам; плотность стали принята
равной 7,85 г/смі.
2. Величины радиусов закругления,
уклона внутренних граней полок,
толщины полок, указанные на
чертеже и в
таблице, приведены для
построения калибров и на готовом
прокате не контролируются.
3. В таблицах используют обозначения:
I — момент инерции; W — момент сопротивления; S — статический момент
полусечения; i — радиус инерции.
4. Двутавры от № 24 до № 60 не рекомендуется применять в новых разработках.
5. По точности прокатки двутавры изготовляют: повышенной точности — А;
обычной точности — В. ГОСТ 8240-97. Швеллеры стальные горячекатаные
1. Область применения
Настоящий стандарт устанавливает сортамент стальных горячекатаных швеллеров
общего и специального назначения
высотой от 50 до 40 мм и шириной полок от 32 до 115 м.
2. Основные параметры и размеры
2.1. По форме и размерам швеллеры изготовляют следующих серий:
У — с уклоном внутренних граней полок; П — с параллельными гранями полок; Э
— экономичные с параллельными
гранями полок и др.
В данном издании рассмотрены только швеллера серии У.
Условные обозначения величин,
характеризующих свойства швеллера:
h — высота (швеллера);
b — ширина полки;
s — толщина стенки;
t — толщина полки;
R — радиус внутреннего закругления;
r — радиус закругления полки;
z0 — расстояние от оси Y—Y до наружной грани
стенки;
F — площадь поперечного сечения;
I — момент инерции;
W — момент сопротивления;
i — радиус инерции;
Sz — статический момент полусечения.
2.2 Поперечное сечение швеллеров серий У должно
соответствовать рисунку.
2.3 Размеры швеллеров, площадь поперечного
сечения, масса 1 м и справочные значения для осей должны соответствовать
приведенным в таблице.
2.3.1 Площадь поперечного сечения и масса 1 м
швеллера вычислены по номинальным размерам,
плотность стали принята равной 7,85 г/смі. |