Моменты инерции относительно параллельных осей

Моменты инерции относительно параллельных осей


Пусть оси y и z для сечения (см. рис. 1.1) являются центральными, а осевые моменты инерции Iz и Iy, а также центробежный момент Iyz известны. Поставим задачи определить осевые моменты инерции 11 I,zyI и центробежный момент Iy1z1 этого сечения относительно осей y1 и z1, параллельных центральным y и z . Исходя из определения моментов инерции и учитывая, что y1 , имеем A представляет собой статический момент площади сечения, а ось z является центральной, то Sz  0. Тогда окончательно имеем . (1.19) Момент инерции сечения относительно любой оси, параллельной центральной, равен сумме момента инерции сечения относительно своей центральной оси и произведения площади сечения на квадрат расстояния между осями. Это положение называется теоремой о моментах инерции относительно параллельных осей. По аналогии осевой y1 I , и центробежный Iy1z1 моменты инерции определятся по зависимостям В формулах (1.19) – (1.21): I,yzI─ осевые моменты инерции сечения относительно центральных осей; yz I ─ центробежный момент инерции сечения относительно центральных осей; a,b─ расстояния между осями: центральными и им параллельными. Отметим, что координаты a и b, а также центробежный момент инерции Iyz , подставляются с учетом их знака. Таким образом, из полученных формул (1.19) – (1.21) можно сделать вывод, что моменты инерции сечения при параллельном (1.18) (1.20) 24 Рис. 1.10 Рис. 1.11 смещении осей изменяются: при удалении от центральных осей они возрастают. Моменты инерции относительно центральных осей ( y, z) имеют максимальное значение по отношению к осям им параллельным. 1.6. Моменты инерции сложных сечений К сложным сечениям относят сечения представляющие собой совокупность ряда простых сечений (см. рис. 1.2). Прокатные профили – уголки равнобокие (рис.1.10,а) (приложение П.1), неравнобокие (рис. 1.10,б) (приложения П.2), швеллера (рис. 1.10,в) (приложение П.4), двутавры (рис. 1.10,г) (приложение П.3) и др. также являются сложными сечениями. Однако для них все геометрические характеристики приводятся в таблицах сортамента (приложения П.1-П.4) в соответствии с ГОСТ, поэтому в вычислении геометрических характеристик таких сечений нет необходимости. а б Однако из прокатных профилей могут быть сконструированы сложные (составные) сечения, например, коробчатые (рис. 1.11,а), более сложные (рис. 1.11,б). В этих случаях требуется производить расчет геометрических характеристик. При вычислении момента инерции сложные сечения могут быть разбиты на отдельные простые части, моменты инерции которых известны. Из основного свойства интеграла следует, что любой интеграл можно рассматривать как сумму интегралов и, следовательно, момент инерции площади любого сечения можно вычислить как сумму моментов инерции отдельных его частей (рис. 1.3): Выражение (1.22) необходимо понимать в алгебраическом смысле. Если, например, в сечении (рис. 1.12) расположено отверстие, то последнее считается частью площади фигуры с отрицательной площадью и момент инерции такого сечения можно представить в виде разности моментов инерции двух простых сечений: круга и прямоугольника: . Заметим, что если бы центры тяжести простых сечений круга и прямоугольника не совпадали, то предварительно необходимо было определить положение центра тяжести всего сечения, а затем для вычисления момента инерции относительно центральной оси z или y воспользоваться теоремой о моментах инерции относительно параллельных осей (см. раздел 1.5). Аналогичным образом вычисляется центробежный момент инерции сложного сечения: Это выражение также понимается в алгебраическом смысле.