Моменты инерции сечения

Моменты инерции сечения


Осевым моментом инерции сечения относительно некоторой оси называется сумма произведений элементарных площадок на квадраты их расстояний до этой оси. Осевые моменты инерции сечения (см. рис. 1.1) относительно оси y и z соответственно равны: 2 y A I . Осевые моменты инерции всегда положительны и не могут быть равными нулю. Они измеряются в см4 или м4. Полярным моментом инерции сечения относительно точки (полюса О) (см. рис. 1.1) называется сумма произведений площадей элементарных площадок на квадраты их расстояния до данной точки. (1.8) 20 Рис.1A . (1.9) Если учесть, что  т. е. полярный момент инерции относительно полюса равен сумме осевых моментов инерции относительно двух взаимно перпендикулярных осей, проходящих через этот полюс. Полярный момент инерции есть величина скалярная и имеет ту же размеренность, что осевые моменты инерции. Центробежным моментом инерции относительно двух взаимно перпендикулярных осей называется сумма произведений площадей элементарных площадок на их расстояния до этих осей: yz . Центробежный момент может быть положительным, отрицательным и равным нулю в зависимости от положения осей. Так, например, центробежный момент инерции площади фигуры в виде треугольника, относительно осей y1 и z1 для случая (рис. 1.7), положителен, так как координаты z1 и y1 всех элементов положительны. Если какое-либо сечение (плоская фигура) имеет хотя бы одну ось симметрии (см. рис. 1.2, 1.5), то центробежный момент инерции от- носительно осей: оси симметрии y и ей перпендикулярной z1 равен нулю. В действительности, если фигура, например трапеция (рис. 1.6), симметрична относительно оси y , то всегда для элементарной площадки dA с координатами z1 относительно y найдется симметричная площадка dA2 с координатами z2, y , равная по величине dA1. При этом координаты , 2но противоположны по знаку. Тогда элементарный центробежный момент инерции для площадки dA1, будет равен   , а для площадки dA2. A . Учитывая, что d z2 получим, что суммарный центробежный момент  zyz y 0. (1.10) (1.11) 21 Рис.1.7 Распространяя эти рассуждения на все сечение, имеем 1  представляют собой равновеликие площади частей 1 и 2 рассматриваемого сечения (рис. 1.6). Очевидно, что как бы не проходила ось z1, выше или ниже, оставаясь перпендикулярной оси симметрии y , центробежный момент инерции сечения (рис. 1.6) будет всегда равен нулю. Аналогично центробежный момент прямоугольника (см. рис. 1.2) относительно осей yz и yz1 равен нулю, так как ось y является осью симметрии. Оси, относительно которых центробежный момент инерции Iyz  0 называются главными осями инерции сечения. Так, для рассматриваемого случая оси y и z1 являются главными осями. Если главные оси проходят через центр тяжести сечения, то они называются главными центральными осями инерции сечения. Для сечения (см. рис. 1.6) оси y и z будут главными, центральными осями. Необходимо заметить, что ось z1, хотя и главная ось, но не является главной центральной осью, так как она не проходит через центр тяжести сечения. 1.4. Моменты инерции простых сечений 1. Прямоугольник (см. рис. 1.2). Пусть размеры b и h известны. Очевидно, что оси y и z, проходящие через середины сторон, будут центральными и главными осями инерции сечения. Определим моменты инерции относительно этих осей. При вычислении осевого момента инерции Iz примем в качестве элементарной площадки бесконечно узкую полоску, параллельную оси z, с площадью dy (см. рис. 1.2). С учетом этого 2 . Осевой момент Iy определяем аналогично, приняв за элементарную площадку полоску параллельную оси y , с площадью dA . 2. Треугольник (рис. 1.7). Центр тяжести (С) у треугольника находится на пересечении медиан или на расстоянии 1/3 высоты от основания. Оси zy , проходящие через центр тяжести (С) сечения, являются центральными. Поставим задачу определить осевой момент инерции относительно центральной оси (1.12) (1.13) 22 Рис.1.8. Рис. 1.9 z. Примем за элементарную площадь dA площадь полоски, параллельную оси z, y dA b dy, где by─ ширина полоски на уровне y от центральной оси z (на линии mn ). Из рассмотрения подобия треугольников KMN и Кmn устанавливаем зависимость ширины полоски by от координаты y . Делая подстановку, получим 3ольника относительно оси z1, проходящей через его основание (рис. 1.7), определяется аналогично. Площадь элементарной площадки определяется также dA bydy . В этом случае ширина площадки by теперь зависит от координаты y1 (рис. 1.7), т. е. ybbh 1y.С учетом этого 1 3 221 11 00 . 12 HH z h y bh I y dy y b d 3. Круг (рис. 1.8). Пусть требуется вычислить осевые моменты инерции круга относительно главных центральных осей y,z по известному диаметру d . Вычислим сначала полярный момент I круга относительно его центра. Для этого за элементарную площадь dA примем площадь бесконечно тонкого кольца толщиной d Тогда 24 2 . На основании, что  , yа в силу симметрии I, yследовательно, . yС учётом этого 4 yz64 . 4. Круговой сектор ODB (рис.1.9). Вычислим момент инерции относительно z. Площадь элементарной площадки и координаты выражаем через полярные координаты d ( Для четверти круга