Кривые поверхности

Кривые поверхности


Поверхность можно представить себе как общую часть двух смежных областей пространства. В начертательной геометрии поверхность определяется как след движущейся линии или другой поверхности. Представление о поверхности как о совокупности всех последовательных положений некоторой перемещающейся в пространстве линии удобно для графических построений. Конечно, при изображении поверхности ограничиваются показом этой линии лишь в некоторых ее положениях. Представление об образовании поверхности непрерывным движением позволяет называть такие поверхности кинематическими. Линию, производящую поверхность, в каждом ее положении называют образующей (или производящей). Образующая обычно указывается в ряде ее положений. Говорят: «образующие», «проведем образующую» и т. п., понимая иод этим различные положения образующей. Образующая линия может быть прямой или кривой. Итак, кинематическая поверхность представляет собой геометрическое место линий, движущихся в пространстве по некоторому закону. Поверхность, образуемая при наличии такого закона, называется закономерной (или правильной), в отличие от незакономерных (или случайных) поверхностей. Поверхность, которая может быть образована прямой линией, называется линейчатой поверхностью. Линейчагая поверхность представляет собой геометрическое место прямых линий. Поверхность, для которой только кривая линия может быть образующей, будем называть не.1инейчатой поверхностью. Примеры линейчатых поверхностей даны на рисунках 221 и 222. Изображенная на рисунке 221 поверхность образована прямой линией /1,А2у которая, оставаясь постоянно параллельной прямой StS2, скользит по некоторой неподвижной линии Tt Т2Т2> называемой направляющей. Очевидно, такая же поверхность образуется, если посчитать неизменяемую линию 7, Т2ТЪУ образующей, все точки которой перемещаются по прямым, параллельным направляющей линии Конечно, во всех своих положениях кривая должна отвечать условиям равенства и параллельности кривых, т. е. совпадению их друг с другом при наложении, и взаимной параллельности касательных, проведенных к кривой в одной и гой же ее точке в последовательных положениях. Поверхность, изображенная на рисунке 222, образована прямой линией, которая, оставаясь параллельной плоскости скользит но двум неподвижным направляющим линиям — прямой SlS2 и кривой Г, Т2. Примером нелинейчатой поверхности служит сфера (иначе шаровая поверхность). Олна и та же поверхность может быть образована перемещением различных линий и согласно различным условиям, которым должна подчиняться в своем перемещении образующая линия. Например, боковая поверхность прямого кругового цилиндра (рисунок 223) может рассматриваться как результат некоторого определенного перемещения образующей — прямой линии /t,A2, — или как результат переметения окружности, центр которой перемещается по прямой 0,02, а плоскость, определяемая этой окружностью, перпендикулярна к 0Х02. На рисунке 223 показана еще кривая 7\Т?Т}; все ее точки равноудалены от прямой 0. 02. Можно представить себе образование боковой поверхности этого цилиндра и как результат вращения линии 7] Т2ТУ вокруг оси О у Ог Вообще, законы образования какой-либо поверхности могут быть разнообразны; желательно из этих законов и вида образующих линий выбирать те, которые являются наиболее простыми или удобными для изображения поверхности и решения задач, связанных с нею. Если представить себе совокупность прямолинейных образующих и совокупность образующих окружностей (рисунок 223), то п2 ч каждая ЛИНИЯ ОДНОЙ совокупности (одно- Рисунок 223 го «семейства» линий) пересечет все линии другой совокупности (другого «семейства» линий), в результате чего получается сетка — каркас данной поверхности. Такое представление можно распространить и на другие поверхности. Некоторые кривые поверхности могут быть развернуты так, что совместятся всеми своими точками с плоскостью, не претерпевая каких-либо повреждений (например, разрывов, складок). При этом каждая точка на развертке соответствует единственной точке поверхности; принадлежащие поверхности прямые линии остаются прямыми; отрезки линий сохраняют свою длину; угол, образованный линиями на поверхности, остается равным углу между соответствующими линиями на развертке; площадь какой-либо замкнутой области на поверхности сохраняет свою величину внутри соответствующей замкнутой области на развертке. Такие поверхности будем называть развертываемыми. К ним относятся только линейчатые, причем такие, у которых смежные прямолинейные образующие параллельны, или пересекаются между собой, или являются касательными к некоторой пространственной кривой. Все кривые нелинейчатые поверхности и те линейчатые, которые не могут быть развернуты в плоскость, называются неразвертываемыми (или косыми). Задать поверхность на чертеже — значит указать условия, позволяющие построить каждую точку этой поверхности. Для задания поверхности достаточно иметь проекции направляющей линии и указать, как строится образующая линия, проходящая через любую точку направляющей. Но если хотят придать изображению большую наглядность и выразительность, то вычерчивают еще очерк поверхности, несколько положений образующей, наиболее важные линии и точки на поверхности и т. д. Примерами поверхностей линейчатых развертываемых могут служить поверхности цилиндрические и конические. Цилиндрическая поверхность образуется прямой линией, сохраняющей во всех своих положениях параллельность некоторой заданной прямой линии и проходя-шей последовательно через все точки некоторой кривой направляющей линии (рисунок 221). Коническая поверхность образуется прямой линией, проходящей через некоторую неподвижную точку и последовательно через все точки некоторой кривой направляющей линии (рисунок 224). Неподвижная точка S называется вершиной конической поверхности. Если точку S удалить в бесконечность, то коническая поверхность превращается в цилиндрическую. В числе кривых поверхностей — линейчатых и нелинейчатых — имеются широко распространенные в практике поверхности вращения. Поверхностью вращения называют поверхность, получаемую от вращения какой-либо образующей линии вокруг неподвижной прямой — оси поверхности. Поверхность вращения можно задать образующей и положением оси. На рисунках 176, 180 и 223 показаны такие поверхности. Каждая точка образующей описывает окружность. Таким образом, плоскость, перпендикулярная к оси поверхности вращения, пересекает эту поверхность по окружности. Такие окружности называются пара.и&гями. Наибольшую из параллелей называют экватором, наименьшую — горлом поверхности. Плоскость, проходящую через ось поверхности вращения, называют меридиональной носкостью. Линия пересечения поверхности вращения меридиональной плоскостью называется меридианом поверхности. Можно назвать вершиной поверхности вращения точку пересечения меридиана этой поверхности с ее осью, если в пересечении не образуется прямой угол. Если ось поверхности вращения параллельна плоскости я2, то меридиан, лежащий в плоскости, параллельной плоскости я2, называется главным меридианом. При таком положении главный меридиан проецируется на плоскость л2, без искажения. Если ось поверхности вращения перпендикулярна к плоскости я,, то горизонтальная проекция поверхности имеет очерк в виде окружности. На рисунке 225 изображен один виток винтовой поверхности, образованной движением отрезка АВ. Прямая, определяемая данным отрезком, во всех положениях пересекает ось под одним и тем же утлом (на рисунке 225 угол 60°). Перемещение концов огрезка вдоль оси пропорционально угловому перемещению отрезка. Точки А и В образуют цилиндрические винтовые линии, как и все точки отрезка АВ, и, следовательно, для более точного изображения очерка винтовой поверхности на плоскости л2, надо было бы провести возможно больше проекции винтовых линий, описываемых различными точками отрезка А В, и затем провести кривые, огибающие эти проекции. Практически вместо этого громоздкого построения обычно проводят прямые, одновременно касающиеся проекций винтовых линий. Если наклон образующей по отношению к оси цилиндра не равен 90й (например. 60° на рисунке 225), то винтовая поверхность носит название косой. Если же этот угол равен 90°, то образуется прямая винтовая поверхность. При изображении кривых поверхностей и при выполнении связанных с ними построений может оказаться необходимым проведение плоскости, касательной к поверхности. Возьмем небольшую часть поверхности и точку на ней. Нсли через эту точку проведены на поверхности кривые и касательные к ним прямые, то последние оказываются в одной плоскости. Эту плоскость называю! касательной к поверхности в данной ее точке. Точка поверхности, в которой может быть, и притом только одна, касательная плоскость, называется обыкновенной (или правильной). Обыкновенным точкам противопоставляются особые, например: вершина конической поверхности, вершина поверхности вращения, точка на ребре возврата. Плоскость вполне определяется двумя пересекающимися прямыми; поэтому для построения плоскости, касательной к кривой поверхности в некоторой ее точке, достаточно через эту точку провести на поверхности две кривые и к каждой из них касательную в той же точке. Эти две прямые (касательные) определяют касательную плоскость. Перпендикуляр к касательной плоскости в обыкновенной точке поверхности служит нормалью к поверхности. Отсюда нормальное сечение поверхности — сечение плоскостью, проходящей через нормаль. На рисунке 226 построена плоскость, касательная к вытянутому эллипсоиду вращения в его точке К. Через эту точку проведена параллель поверхности и к ней касательная KF: проекция К"F" совпадает с фронтальной проекцией параллели, а горизонтальная проекция K'F' является касательной к окружности — горизонтальной проекции параллели. В качестве второй кривой, проходящей через точку К, взят меридиан. Прямые KF и SK определяют искомую плоскость. Вопросы для самопроверки 1. Что такое поверхность? 2. Как образуется поверхность, называемая кинематической? 3. Что такое образующая (или производящая) линия поверхности? 4. В чем различие между линейчатой и нелинейчатой поверхностями? 5. Что называется поверхностью вращения? 6. Чем можно задать поверхность вращения? 7. Как образуется прямая и косая винтовые поверхности?