Плоские кривые линии

Плоские кривые линии


Вращая секущую KSt (рисунок 208) вокруг оси К так, чтобы точка А, стремилась к точке К, получим предельное положение AT — положение касательной к кривой в ее точке К. до- т V Рисунок 208 Касательная передает направление движения точки, образующей кривую; направление касательной в некоторой точке кривой называют направлением кривой в этой точке. Проведя в точке К прямую KN1 AT, получаем нормаль к кривой в ее точке А. Нормаль к окружности совпадает с направлением ее радиуса. Кривая в точке А на рисунке 208 плавная: у нее в точке /Годна касательная. Если кривая составлена только из таких точек, то это плавная кривая линия. На рисунке 209 в точке А" кривой проведены касательная AT и нормаль KN. Если во всех точках кривой повторяется такое же расположение относительно касательной и нормали в рассматриваемой окрестности, то кривая является выпуклой и ее точки — обыкновенными (или правильными). Примером служит эллипс. На рисунке 210 показаны точки: А — точка перегиба, в которой кривая пересекает касательную, В и С — точки возврата, в которых кривая имеет острие («клюв») и касательная является общей для обеих ветвей кривой (из них точку В называют точкой возврата первого рода, а точку С — точкой возврата второго рода. Рисунок 210 Здесь мы коснулись гак называемых особых точек кривой линии, например таких, в которых направление движения точки, описывающей кривую, изменяется на обратное (точки возврата) или скачком. При выполнении чертежей часто приходится прибегать к вычерчиванию плоских кривых линий, состоящих из ряда сопряженных частей, которые невозможно провести циркулем. Такие кривые строят обычно по ряду принадлежащих им точек, которые затем обводят при помощи лекал. Рассматриваемые лекальные кривые располагаются в одной плоскости и называются поэтому плоскими. Чтобы начертить плавную лекальную кривую, необходимо иметь набор из нескольких лекал. Выбрав подходящее лекало, надо подогнать кромку части лекала к возможно большему количеству заданных точек кривой и обвести их карандашом. Ниже рассмотрены способы построения плоских кривых линий, наиболее часто встречающиеся в технике. Плоские кривые конических сечений получаются при сечении прямого кругового конуса плоскостями, различно расположенными по отношению к оси конуса. При этом получаются контуры сечений, образующие эллипс, параболу и гиперболу. При пересечении плоскостью всех образующих конуса получается эллипс (рисунок 211, а). При пересечении конуса плоскостью параллельной одной из образующих конуса, получается парабола (рисунок 211, б). При пересечении конуса плоскостью параллельной оси конуса, получается гипербола (рисунок 211, в). Эллипс — замкнутая плоская кривая, сумма расстояний каждой точки которой до двух данных точек (фокусов), лежащих на большой оси, есть величина постоянная и равная длине большой оси. Широко применяемый в технике способ построения эллипса по большой АВ и малой CD осям представлен на рисунке 212. Проводят две перпендикулярные осевые линии. Затем из центра О откладывают вверх и вниз по вертикальной оси отрезки, равные малой полуоси, а влево и вправо по горизонтальной оси — отрезки, равные днине большой полуоси. Из центра О радиусами OA и ОС проводят две концентрические окружности и ряд лучей-диаметров. Из точек пересечения лучей с окружностями проводят линии, параллельные осям элли пса, до их взаимного пересечения в точках, принадлежащих эллипсу. Полученные точки соединяют, обводя по лекалу. Парабола — плоская кривая, каждая точка которой равноудалена от директрисы DD, прямой, перпендикулярной к оси симметрии параболы, и от фокуса F — точки, расположенной на оси симметрии параболы (рисунок 213). Рисунок 213 Расстояние KF между директрисой и фокусом называется параметром р параболы. Точка О, лежащая на оси симметрии, называется вершиной параболы и делит параметр р пополам. Для построения параболы по заданной величине параметра р проводят ось симметрии параболы (на рисунке вертикально) и откладывают отрезок KF-p. Через точку К перпендикулярно оси симметрии проводят директрису DDV Отрезок Доделят пополам и получают вершину О параболы. ()т вершины О вниз на оси симметрии намечают ряд произвольных точек 1—5 с постепенно увеличивающимся расстоянием между ними. Через эти точки проводят вспомогательные прямые, перпендикулярные оси симметрии. На вспомогательных прямых из фокуса Сделают засечки радиусом, равным расстоянию от прямой до директрисы. Полученные точки принадлежат параболе. Гипербола — плоская кривая, состоящая из двух разомкнутых, симметрично расположенных ветвей (рисунок 214). Разность расстояний от каждой точки гиперболы до двух данных точек (фокусов F и F,) есть величина постоянная и равная расстоянию между вершинами гиперболы A w В. Рассмотрим прием построения гиперболы по заданным вершинам А и В и фокусному расстоянию FFr Разделив фокусное расстояние FF{ пополам, получают точку О, от которой в обе стороны откладывают по Рисунок 214 половине заданного расстояния между вершинами Aw В. Вниз от фокуса F намечают ряд произвольных точек 1—4 с постепенно увеличивающимся расстоянием между ними. Из фокуса F описывают дугу вспомогательной окружности радиусом /?, равным, например, расстоянию от вершины гиперболы В до точки 4. Из фокуса F{ проводят вторую дугу вспомогательной окружности радиусом г, равным расстоянию от вершины Л до точки 4. На пересечении этих дуг находят точки, принадлежащие гиперболе. Таким же способом находят остальные точки гиперболы. Вторую ветвь гиперболы строят аналогичным образом. Синусоида — плоская кривая, изображающая изменение синуса в зависимости от изменения угла (рисунок 215). Величина L называется длиной волны синусоиды, L = nD. Для построения синусоиды проводят горизонтальную ось и на ней откладывают заданную длину волны AB-L. Отрезок А В делят на несколько равных частей, например на 12. Слева вычерчивают окружность, диаметром D и делят ее также на 12 равных частей. Точки деления нумеруют и через них проводят горизонтальные прямые. Из точек деления отрезка АВ восставляют перпендикуляры к оси синусоиды и на их пересечении с горизонтальными прямыми находят точки синусоиды. Полученные точки синусоиды соединяют по лекалу кривой. Спираль Архимеда — плоская кривая, которую описывает точка, движущаяся равномерно от центра О по равномерно вращающемуся радиусу (рисунок 216). 1 г 1 1 ^ Для построения спирали Архимеда задают ее шаг Я, из центра О проводят окружность радиусом, равным шагу Я спирали, и делят шаг и окружность на несколько равных частей, например на 8. Точки деления нумеруют. Из центра О проводят радиальные прямые, проходящие через точки деления окружности. Из центра О радиусами О/, 02 и т. д. проводят Дуги до пересечения с соответствующими радиальными прямыми. Полученные точки, принадлежащие спирали Архимеда, соединяют плавной кривой по лекалу. Циклоида — плоская кривая, которую описывает точка А, лежащая на окружности, которая катится без скольжения по прямой СВ (рисунок 217). На направляющей прямой ВС откладывают длину АЕ производящей окружности диаметра Д равную лD. Окружность диаметра D и отрезок АЕ прямой ВС делят на равные части, например на 8. Из точек деления прямой /4£(/,, 2, и т. д.) восставляют перпендикуляры до пересечения с продолжением горизонтальной оси окружности в точках О,, 02 и т. д. А из точек деления окружности (У, 2 и т. д.) проводят горизонтальные прямые. Из точек О,, 07 и т. д. как из центров, проводят окружности диаметра Д которые пересекаясь с соответствующими горизонтальными прямыми, образуют точки, принадлежащие циклоиде.