Кривые линии. Общие сведения о кривых линиях и их проецировании

Кривые линии. Общие сведения о кривых линиях и их проецировании


Кривую линию можно представить себе как траекторию движущейся точки на плоскости или в пространстве. Примером служат известные из курса черчения средней школы спираль Архимеда и цилиндрическая винтовая линия. Кривая линия может быть также получена в результате взаимного пересечения поверхностей (например, двух цилиндрических) или при пересечении поверхности плоскостью (например, эллипс, получающийся при пересечении боковой поверхности прямого кругового цилиндра плоскостью, составляющей с осью цилиндра некоторый острый угол). Кривая линия в ряде случаев представляет собой геометрическое место точек, отвечающих определенным для этой кривой условиям (окружность, эллипс, парабола и т. п.). Кривая линия определяется положениями составляющих ее точек. Точки кривой определяются их координатами. Кривые линии могут быть плоские, т. е. такие, которые всеми своими точками лежат в одной плоскости, и пространственные, т. е. такие, точки которых не принадлежат одной плоскости. Примерами плоских кривых линий являются окружность, эллипс, парабола, спираль Архимеда; примерами пространственных кривых — винтовая линия, линия пересечения боковых поверхностей прямых круговых цилиндра и конуса. Для построения проекций кривой линии (плоской или пространственной) необходимо построить проекции ряда принадлежащих ей точек (рисунок 206). Пространственная кривая проецируется в виде плоской, плоская кривая — также в виде плоской или в виде прямой линии, если кривая находится в плоскости, перпендикулярной к плоскости проекций. Линия считается закономерной, если в своем образовании она подчинена какому-либо геометрическому закону. Если при этом кривая определяется в декартовых координатах алгебраическим уравнением, то она называется а.ггебраической. Примером может служить эллипс, его X2 у2 уравнение -— + —- = 1. Степень уравнения определяет «порядок» кри-а b вой: эллипс — кривая второго порядка. Кривая, представляющая собой проекцию кривой некоторого порядка, сохраняет тот же порядок или оказывается кривой более низкого порядка. Касательная к кривой проецируется в общем случае в виде касательной к проекции этой кривой. Если, например, к окружности, расположенной в плоскости, составляющей с плоскостью проекций острый угол, проведена касательная, то она проецируется в касательную к эллипсу, представляющему собой проекцию этой окружности. На рисунке 206 изображены пространственная кривая, ее проекции на тс, и на л2, касательная к кривой в ее точке К и проекции этой касательной. Проецирующая плоскость, проходящая через касательную к проекции кривой, касается кривой в пространстве. Чтобы отчетливее представить себе кривую в пространстве, следует при задании плоской или пространственной кривой ее проекциями указать на проекциях некоторые точки, характерные для самой кривой или для ее расположения относительно плоскостей проекций. Например, могут быть отмечены точки кривой, наиболее удаленные относительно плоскостей проекции и наиболее близкие к ним; для этого надо проводить плоскости, касательные к кривой и параллельные соответствующим плоскостям проекций: на рисунке 207 плоскость а, параллельная плоскости тг2 позволяет установить, что точка G на кривой в пространстве наиболее удалена от плоскости л2. Рисунок 207 Искривленность кривой линии, плоской или пространственной, может быть неизменной (на всем протяжении кривой или на отдельных ее участках) или изменяться в разных точках кривой. Например, искривленность окружности или искривленность цилиндрической винтовойлинии неизменна на веем их протяжении, а искривленность эллипса повторяется в ею квадрантах, но в пределах одного квадранта непрерывно изменяется. Применяется термин кривизна линии. Кривизна выражается числом; она характеризует кривую в данной ее точке, точнее, на бесконечно малой дуге — окрестности этой точки. Длина некоторого участка кривой как плоской, так и пространственной определяется приближенно, путем замены кривой линии ломаной, вписанной в эту кривую, и измерения длины звеньев этой ломаной линии (это, конечно, не относится к тем кривым, длина которых может быть определена путем несложных вычислений). Для уменьшения ошибки следует брать отрезки ломаной, мало отличающиеся по длине от луг кривой, хордами которых являются эти отрезки. Получаем ломаную, лдина которой может быть приближенно принята за длину кривой.