Взаимное пересечение поверхностей тел

Взаимное пересечение поверхностей тел


Конструкции деталей можно рассматривать как сочетание различных геометрических тел. Необходимо уметь строить линии пересечения поверхностей этих тел. В зависимости от вида поверхностей тел линии пересечения могут быть лекальными кривыми или ломаными. Для решения задач на построение линий пересечения поверхностей необходимо предварительно усвоить построение точек пересечения прямой с поверхностями различных геометрических тел. Если прямая пересекается с поверхностью тела, получаются две точки, одновременно принадлежащие как поверхности тела, так и прямой линии. Такие точки называются точками входа и выхода. Для нахождения этих точек выполняются построения в следующем порядке. Через данную прямую проводят вспомогательную плоскость (обычно проецирующую). Например, на рисунке 195, где изображено пересечение прямой ЛВ с поверхностью пирамиды, через прямую проведена вспомогательная горизонтально-проецирующая плоскость а'. Затем находят линии пересечения вспомогательной плоскости с поверхностью данного геометрического тела (линии КС и ED). На пересечении полученных линий с заданной прямой находят искомые точки (точки N и М). Рисунок 195 На комплексном чертеже точки входа и выхода определяют следующим образом (рисунок 195). Горизонтальные проекции К'С и Е'О' прямых КС и ED совпадают с горизонтальным следом плоскости Л^. Фронтальные проекции точек К", С", Е" и D" определяют, пользуясь вертикальными линиями связи, проведенными из точек К\ С', £' и D' до пересечения с фронтальными проекциями оснований пирамиды. Соединяют точку К" с С" и Е" с D" прямыми. На пересечении фронтальных проекций найденных прямых с проекцией Л" В" данной прямой получают фронтальные проекции N"v\ М" искомых точек входа и выхода. Проведя через них вертикальные линии связи, находят горизонтальные проекции N' и М' этих точек. В некоторых частных случаях можно обойтись без применения вспомогательной плоскости. Например, точки входа и выхода прямой ЛВ с поверхностью прямого кругового цилиндра (рисунок 196) определяют следующим образом. I Горизонтальная проекция цилиндрической поверхности представляет собой окружность, поэтому горизонтальные проекции всех точек, расположенных на цилиндрической поверхности, в том числе и двух искомых точек будут расположены на этой окружности. Фронтальные проекции N" и М" искомых точек определяют, проводя через точки ЛГ и М' вертикальные линии связи до встречи с данной фронтальной проекцией А "В" прямой ЛВ. На рисунке 197 показано построение точек входа и выхода прямой ЛВ и поверхности прямого кругового конуса. Через прямую ЛВ проводят вспомогательную плоскость а, проходящую через вершину конуса. Плоскость а пересечет конус по образующим SH3 и 57/4. На комплексном чертеже изображение плоскости а строят следующим образом. На прямой АВ берут произвольную точку К и соединяют ее с вершиной S конуса прямой линией. Две пересекающиеся прямые АВ и SK определяют плоскость га. Чтобы найти точки входа и выхода, необходимо построить горизонтальные проекции образующих 5Я3 и SHA. Для этого продолжим S"К" и А"В" до пересечения с осью х в точках Н"и Н". Опустим линию связи из точки К" до пересечения с А'В', полученную точку К' соединим с S\ Продлим горизонтальную проекцию прямой S'К' до пересечения с линией связи, опущенной из точки //^ получим точку Н\. Из точки //," проведем линию связи до пересечения с продолжением прямой А'В\ получим точку Н\. Через точки Н\ и Н'г пройдет горизонтальный след плоскости AJa. Основание конуса является горизонтальным следом конической поверхности. Поэтому, определив точки пересечения этого следа со еледом h'Q{1 плоскости а, можно найти и тс две образующие, по которым коническая поверхность пересекается вспомогательной плоскостью а. На комплексном чертеже горизонтальная проекция основания конуса (окружность) пересекается со следом h'Qtl в точках Н\ и Н\. Эти точки соединяю! с вершиной S и получают следы S'H\ и S Н\ образующих 5//3 и SH4. На пересечении найденных образующих с данной прямой АВ находят искомые точки М и N — точки входа и выхода прямой АВ с конической поверхностью. Горизонтальные проекции точек Л/' и N' находят на пересечении тризонтальных проекций образующих S'H\ и S'H\ с горизонтальной проекцией прямой А'В'. Через точки М' и N' проводят вертикальные линии связи до пересечения с А"В" и находят фронтальные проекции М" и N" точек входа и выхода. Точки входа и выхода прямой А В с поверхностью сферы (рисунок 198) находят, проведя через прямую АВ вспомогательную фронтально-проецирующую плоскость а. Вспомогательная плоскость а пересекает сферу по окружности, которая проецируется на плоскость я, в виде эллипса, что затрудняет построение. Поэтому в данном случае необходимо применить способ перемены плоскостей проекций. Новую плоскость проекций выбирают так, чтобы вспомогательная плоскость а была бы ей параллельна, т. е. следует провести новую ось проекций к2/кА гак, чтобы она была параллельна фронтальной проекции А" В" прямой А В (для упрощения построений на рисунке 198 ось л2/п4 проведена через проекцию А"В"). Затем необходимо построить новую горизонтальную проекцию АпВ'у прямой АВ и новую горизонтальную проекцию окружности диаметра D, по которой плоскость а пересекает сферу. На пересечении новых горизонтальных проекций точек А,УВ1У и новой горизонтальной проекции окружности находим положение двух искомых точек M'yNn. Обратным построением определяем фронтальные М" и Л'" и горизонтальные М' и N' проекции точек входа и выхода.