Взаимное положение двух прямых

Взаимное положение двух прямых


Параллельные прямые. К числу свойств параллельного проецирована относится следующее: проекции двух параллельных прямых парт-лельны между собой. Если (рисунок 91) прямая А В параллельна прямой СД то проецирующие плоскости; а и р параллельны между собой и при пересечении этих плоскостей с плоскостью проекций я0 получаются параллельные между собой проекции А°В° и C°D°. Однако хотя А°В° ||С0/)0(рисунок 91), прямые, для которых А°Н* и C°D° являются проекциями, могут быть не параллельны между собой: например, прямая ЛВ не параллельна прямой С,/),. Из указанного свойства параллельного проецирования следует, что горизонтальные проекции параллельных прямых параллельны между собой, фронтальные проекции параллельны между собой и профшьные проекции парал,1ельны между собой. Справедливо ли обратное заключение, т. е. будут ли параллельны две прямые в пространстве, если на чертеже их одноименные проекции попарно параллельны? Да, если даны параллельные между собой проекции на каждой из трех плоскостей проекций л,, тс, и л3. Но если даны параллельные между собой проекции прямых лишь на двух плоскостях проекций, то этим параллельность прямых в пространстве подтверждается всегда для прямых общего положения и может не подтвердиться для прямых, параллельных одной из плоскостей проекций. Пример дан на рисунке 92. Хотя профильные прямые ЛВ и CD заданы проекциями А'В\ А"В" и С'/)', С"D", между собой параплан-ными, но сами прямые не параллельны — это видно из взаимного расположения их профильных проекций, построенных по заданным проекциям. Итак, вопрос был решен при помощи проекций прямых на той плоскости проекций, по отношению к которой данные прямые параллельны. На рисунке 93 показан случай, когда можно установить, что профильные прямые АВ и CD не параллельны между собой, не прибегая к построению третьей проекции: достаточно обратить внимание на чередование буквенных обозначений. Если через данную точку А требуется провести прямую, параллельную данной прямой LM, то (рисунок 94, слева) построение сводится к проведению через точку А" прямой, параллельной L"Л/", и через точку А' прямой, параллельной L'M'.В случае, изображенном на рисунке 94 справа, параллельные прямые расположены в общей для них проецирующей плоскости, перпендикулярной к плоскости я,. Поэтому горизонтальные проекции этих прямых расположены на одной прямой. Пересекающиеся прямые. Если прямые линии пересекаются, то их одноименные проекции пересекаются между собой в точке, которая является проекцией точки пересечения этих прямых. Действительно (рисунок 95), если точка К принадлежит обеим прямым А В и CD, то проекция этой точки должна быть точкой пересечения проекций данных прямых. Заключение о том, что данные на чертеже прямые пересекаются между собой, можно сделать всегда по отношению к прямым общего положения, независимо от того, даны ли проекции на грех или двух плос костях проекций. Необходимым и достаточным условием является лишь то, чтобы тонки пересечения одноименных проекций находились на одном и том же перпендикуляре к соответствующей оси проекций (рисунок 96). х Рисунок 96 Но если одна из данных прямых параллельна какой-либо из плоскостей проекций, а на чертеже не даны проекции на этой плоскости, то нельзя утверждать, что такие прямые пересекаются между собой, хотя бы и было соблюдено указанное выше условие. Например, в случае, данном на рисунке 97, прямые АВ и CD, из которых прямая CD параллельна плоскости я3, нс пересекаются между собой; это может быть подтверждено построением профильных проекций или применением правила о делении отрезков в данном отношении. Изображенные на рисунке 98 пересекающиеся прямые расположены в общей для них проецирующей плоскости, перпендикулярной к плоскости я2. Поэтому фронтальные проекции этих прямых расположены на одной прямой. Скрещивающиеся прямые. Скрещивающиеся прямые линии не пересекаются и не параллельны между собой. На рисунке 99 изображены две скрещивающиеся прямые общего положения: хотя одноименные проекции и пересекаются между собой, но точки их пересечения не могут быть соединены линией связи, параллельной линиям связи L"L' и М"М\ т. е. эти прямые не пересекаются между собой. Прямые, изображенные на рисунках 92, 93 и 97, также скрещивающиеся. Рисунок 99 Как надо рассматривать точку пересечения одноименных проекций скрещивающихся прямых? Она представляет собой проекции двух точек, из которых одна принадлежит первой, а другая — второй из этих скрещивающихся прямых. Например, на рисунке 100 точка с проекциями К" и К' принадлежит прямой ЛВ, а точка с проекциями L" и L' принадлежит прямой CD. Эти точки одинаково удалены от плоскости л2» но расстояния их от плоскости л,, различны: точка с проекциями L" и L' дальше от я,, чем точка с проекциями К" и К'. Точки с проекциями Л/", М' и N", N' одинаково удалены от плоскости я,, но расстояния этих точек от плоскости я2 различны: точка с проекциями /V" и N' дальше от я2, чем точка с проекциями М" и М\ Точка с проекциями М" и Л/' принадлежит прямой АВ, а точка с проекциями /V" и N' принадлежит прямой CD.