Совмещение экспериментов

Совмещение экспериментов


Часто возникает потребность в совместном рассмотрении событий из разных экспериментов. Формальная теория, изложенная выше, вообще говоря, не позволяет этого сделать, так как все определения и утверждения предыдущих разделов относятся к единому для рассматриваемых в них событий пространству элементарных исходов. Ниже будет предложен способ построения общего пространства элементарных исходов для конечной совокупности различных экспериментов. Пусть Два вероятностных пространства, описывающих два различных эксперимента. Отметим, что совместное рассмотрение любых событий из этих экспериментов должно давать, во-первых, возможность рассмотрения в рамках общей модели любых событий каждого из экспериментов в отдельности, а во-вторых, в предположении отсутствия какого бы то ни было взаимодействия между экспериментами, события из разных экспериментов в рамках общей модели должны быть независимыми. Этим требованиям удовлетворяет конструкция совмещения экспериментов. Рассмотрим эксперимент, состоящий в совместном осуществлении экспериментов, описываемых вероятностными пространствами {fy, Fj, Р|} и {Q2> F2} ^2}. при условии отсутствия взаимодействия между ними. Совокупность элементарных исходов этого эксперимента опишем множеством всех возможных упорядоченных пар Совмещение экспериментов Случайными событиями в этом эксперименте назовем любые подмножества множества (1) вида т.е. любые упорядоченные пары случайных событий из рассматриваемых экспериментов, дополнив их всевозможными не более чем счетными объединениями, пересечениями и отрицаниями и т.д. (т.е. построим (7-алгебру случайных событий — наименьшую т-алгсбру, включающую в себя события вида (2)). Вероятность на множестве случайных событий определим соотношением Определение. Вероятностное пространство {12, F, Р}, задаваемое соотношениями (1), (2), (3), будем называть совмещением экспериментов Такой способ определения вероятностного пространства корректен в том смысле, что любому событию (не только вида (2)) приписана вероятность, удовлетворяющая всем предъявляемым к ней требованиям. Любое событие А\ из первого эксперимента может быть отождествлено с событием А| = (j4|, П2) из совмещения экспериментов и при этом аналогично А2 — А2) отождествляется с А2 и Отметим, что определение (3), мотивированное отсутствием взаимодействия между экспериментами, постулирует независимость в рамках совмещения экспериментов любых событий из различных экспериментов. Действительно Эта схема очевидным образом распространяется на случай любого конечного числа совмещаемых экспериментов. Рассмотрим несколько примеров, иллюстрирующихрассмотренную конструкцию. Пример 1. Пусть {fl|, Р|} — вероятностное пространство, описывающее эксперимент, связанный с бросанием симметричного игрального кубика: Вероятностное пространство {П2, fi, Pj) описывает аналогичный предыдущему и независимый от него эксперимент. Тогда О = П] х ftj — эксперимент, описывающий двукратное бросание игрального кубика (или, что то же, одновременное бросание двух физически идентичных симметричных игральных кубиков) — описывается так (рис.35): Например, событие «на первом кубике выпала двойка» описывается всеми точками Q вида событие «на обоих кубиках выпали одинаковые числа» — точками П вида Пример 2. Биномиальный эксперимент. В эксперименте, описанном вероятностным пространством {Q, F, Р}, рассмотрим некоторое событие Y, которое в дальнейшем будем называть «успех», и для которого Событие Y будет расцениваться как «неуспех»: Свяжем с описанным выше экспериментом дискретный эксперимент с двумя элементарными исходами , который будем называть экспериментом Вернулли с параметром р. Последовательность п независимых испытаний, в каждом из которых событие Y происходит с не- Совмещение экспериментов изменной вероятностью р, является п-кратным совмещением эксперимента Л . Элементарными исходами, составляющими пространство элементарных событий будут всевозможные упорядоченные наборы длины п, составленные из символов Y или У. Легко подсчитать, что общее число таких наборов (элементарных исходов) = 2я. Каждому элементарному исходу в соответствии с правилом (3) припишем вероятность pkqn~k, если только этот исход содержит ровно к символов Y (описывает такой результат эксперимента, когда в серии из п независимых испытаний наблюдалось к успехов и, соответственно, п- к неудач.) Введем в рассмотрение следующие события: А=ь = {«ровно к успехов в серии из п испытаний»}; А-^ъ = {«не менее к успехов в серии из п испытаний-}; А^к = {«не более к успехов в серии из п испытаний»}; г^А^к = {«количество успехов в серии из п испытаний заключена в пределах от г до к»}. Сразу заметим, что поскольку если только к Ф г. то Аналогично Для событий А=к имеем , где каждый элементарный исход содержит ровно символов К. Поскольку всего таких исходов С*, то Эксперимент, являющийся п-кратным совмещением бернуллневского эксперимента с параметром р. будем называть биномиальным экспериментом с параметрами (п, р). Схема биномиального эксперимента находит широкое применение в различных прикладных задачах. Рассмотрим два конкретных примера. Пример 1. Телевизионный завод выпускает в среднем 2% некачественных кинескопов. Сборочный цех получил 10 кинескопов. Какова вероятность того, что среди полученных не более 2 некачественных? Событие У — «соответствующий кинескоп качественный», У — «соответствующий кинескоп некачественный». Количество испытаний п = 10. В качестве вероятности успеха условие задачи дает основание принять величину 0,98. Следует найти Имеем Пример 2. Урновая схема с возвращением. В урне лежит N = т + 1 геометрически идентичных шаров, соответственно m черного и I белого цвета. Эксперимент состоит в п-кратном извлечении шара из урны с последующим возвращением извлеченного шара (после фиксации его цвета). Какова вероятность того, что среди извлеченных шаров число шаров белого цвета окажется не менее г? 4 Пусть У — событие, состоящее в том, что извлеченный шар белый, У — черный. Тогда р{У} = ; количество испытаний — п. Следует найти . Существенным обстоятельством, позволившим применить конструкцию совмещения экспериментов (в рассмотренном примере — совмещения однократных извлечений шара из урны) является неизменность вероятности извлечения белого шара — следствие процедуры выбора с возвращением. Пример 3. Полиномиальный эксперимент. Пусть — полная система несовместных собы-к тий, . Свяжем с рассматриваемым экспериментом дискретный эксперимент и рассмотрим последовательность п независимых испытаний, в каждом из которых может происходить любое из событий Яу с вероятностью pj — n-кратное совмещение эксперимента 0я. Его элементарные исходы — упорядоченные наборы длины п, составленные из символов на любом месте набора может стоять любой из символов Hj. Заметим, что || = кп. В соответствии с правилом (2) каждому исходу, составленному из Г| символов Н\, г2 символов Я2,..., гк символов , припишем вероятность Введем в рассмотрение событие - {«ровно г, осуществлений Я роено гк осуществлений Нк•}, где Все исходы, составляющие событие .Г|к, имеют одну и ту же вероятность ,ргкк, и всего их , (см. Приложение). Тем самым, Этот эксперимент будем называть полиномиальным экспериментом с параметрами , Рк)• Рассмотрим конкретный пример. Пример. Двое друзей договорились встретиться в определенном месте в 10 часов утра. Известно, что каждый из них приходит к месту встречи случайным образом в любой момент времени от 9.45 до 10.15 независимо от момента прихода к месту встречи другого. Найти вероятность того, что одному из них придется ожидать другого не более 10 минут. Пусть — пространство элементарных исходов, описывающее моменты прихода к месту встречи одного из друзей, Я2 — второго: П В каждом из указанных экспериментов естественными наблюдаемыми событиями будут события, состоящие в приходе к месту встречи в некотором временнбм промежутке (ft, /?) С (9^, 10^. Единицей измерения времени выбран час. Вероятность события в силу случайности момента прихода к месту встречи первого из друзей резонно считать пропорциональной длине промежутка (о, 0): Коэффициент пропорциональности к определим из условия нормировки Совмещение экспериментов Для fij поступаем аналогично. Заметим, что случайными событиями в рассматриваемых экспериментах будут элементы борелввской т-алгебры на промежутке 10 Совмещением экспериментов и П) будет эксперимент, пространство элементарных исходов которого можно описать точками квадрата на плоскости (t, т): В соответстаии с рассмотренной выше конструкцией вероятности любого случайного события из совмещения будут определяться соотношением (вероятность попадания в прямоугольник пропорциональна его площади). Отсюда, для любого события, описываемого квадрируемым подмножеством множества точек квадрата Q, вероятность пропорциональна площади (8) Интересующее нас событие — «время ожидания одним из друзей другого не превышает 10 минут» — описывается множеством тех точек О, для которых (напомним, что время измеряется в часах: 10 минут = 1/6 часа) Поэтому, в соответствии с (8) имеем Собственно вычисление площадей проиллюстрировано на рис. 36.