Правило умножения вероятностей Формула полной вероятности

Правило умножения вероятностей Формула полной вероятности


Пусть П — эксперимент, совокупность случайных событий, Р{А) — правило вычисления вероятностей для любого случайного события А € Часто возникает потребность изучения совместного осуществления нескольких случайных событий в следующей постановке: известно, что в результате однократного осуществления эксперимента П реализовалось случайное событие В. Что можно сказать о степени достоверности осуществления события Л? Ясно, что если события А и В несовместны, то осущсстааснис события В означает невозможность осуществления события А втом же испытании. Если же событие А подчинено событию В (В влечет за собой А, В С А), то осуществление В влечет за собой осуществление А (рис. 32). Однако эти две ситуации в известном смысле крайние, и для любого другого события А достоверность его осуществления вместе с В должна быть тем выше, чем большую долю в В составляют элементарные исходы А Вышеизложенное дает основание для следующего определения. Определение. Условной вероятностью случайного события А относительно случайного события В. Р{В} > 0, называется число Отметим очевидные свойства условной вероятности: поскольку Из свойства дистрибутивности сложения событий Правило умножения вероятностей Формула полной вероятности Отсюда следует искомое. Условные вероятности позволяют ввести в рассмотрение одну важную теоретико-вероятностную конструкцию, связанную с осуществившимся в эксперименте Q случайным событием В (ненулевой вероятности) — конструкцию сужения, или ограничения, эксперимента П на событие В. Рассмотрим эксперимент QB такой, что (см. рис.34). (Заметим, что — является сигма-алгеброй.) Рис. 34 Определение эксперимента QB корректно в том смысле, что любое событие из а -алгебры случайных событий обладает вероятностью. Эксперимент С1В называется сужением эксперимента Q. Пример 1. Эксперимент ft состоит в одновременном подбрасывании двух игральных кубиков с последующей фиксацией значений, оказавшихся на верхних гранях кубиков. Найти вероятность того, что на кубиках выпали разные числа, если известно, что сумма выпавших очков оказалась равна 8. Опишем пространство элементарных исходов рассматриваемого эксперимента списком ft, элементами которого являются упорядоченные наборы пар чисел (t, j), где t — число, выпавшее на первом кубике, j — на втором. Имеем Число всех возможных исходов . В силу физической симметрии эксперимента положим Событие состоит из 30 равновозможных элементарных исходов, поэтому событие из 5 равновозможных исходов — Совмещение событий А и В имеет следующую структуру: Формула условной вероятности дает Тот же результат можно получить, рассмотрев сужение эксперимента ft, индуцированное событием В. В этом конкретном эксперименте имеем ^ Игральный кубик — симметричный однородный куб, на каждую грань которого нанесены символы от 1 до 6 с соблюдением следующего правила: сумма значений на противоположных гранях равна 7. Таких кубиков существует ровно два, но для дальнейшего не важно, о каком из них идет речь. Проиллюстрируем приведенные выше рассуждения таблицей Отметим еще несколько полезных соотношений, связанных с понятием условной вероятности. 4.1. Правило умножения вероятностей Это соотношение очевидным образом следует из определения (1) и может быть легко обобщено на случай п совмещаемых событий если только Пример 1. Список экзаменационных вопросов содержит 25 вопросов, из которых студент подготовил только 20. Экзаменатор задает ему два вопроса, выбирая их из списка случайным образом. Найти вероятность того, что студент знает ответ на оба предложенных ему вопроса. 4 1. Один из способов получения ответа на поставленный вопрос следующий: пространство элементарных исходов рассматриваемого эксперимента П состоит из всевозможных (вообще говоря, неупорядоченных) пар номеров вопросов, которые может предложить преподаватель. Всего их |П| = C|j. Событие А, состоящее в том, что студент знает ответ на оба предложенных вопроса, состоит из тех пар (i, j) вопросов, которые он подготовил. Их См- Учитывая случайность выбора вопросов преподавателем можем считать все исходы в П равновозможными, а потому 2. Другой способ — использование понятия условной вероятности: пусть событие В — «первый из предложенных студенту вопросов ему известен», событие С — «второй из предложенных студенту вопросов ему известен». Тогда событие А —"«студент знает ответ на оба предложенные ему вопроса* — есть совмещение событий В и С и по правилу умножения (2) Но Р{В} — 20/25 — вероятность извлечь из совокупности 25 ра в невозможных вопросов любой из 20 известных студенту, тогда вероятность Р{С\В} извлечь из оставшихся 24 вопросов любой из оставшихся 19 известных студенту дается соотношением и теперь осталось применить формулу умножения (4). 4.2. Формула полной вероятности Пусть случайные события попарно несовместны, П. Совокупность событий {Hj} будем называть полной группой несовместных событий в эксперименте Q. Тогда для любого случайного события А справедливо равенство Действительно, из следует и при этом . По правилу сложения вероятностей отсюда получаем Правило же умножения (3) дает Правило умножения вероятностей Формула полной вероятности отк>'да и следует требуемое. Заметим, что в рамках принятой теории соотношение (5) формализует естественный перебор альтернатив: если Я|, Я2, ... , Яп — альтернативные события, то А происходит либо вместе с Следующий ниже пример иллюстрирует эту мысль. Пример. Известно, что 5 % мужчин и 0,25 % женщин — дальтоники. Найти вероятность того, что наугад выбранный человек — дальтоник (предполагается, что число мужчин NM и число женщин NM одинаковы, Вероятность того, что наугад выбранный человек — дальтоник, должна быть, очевидно, пропорциональна общему количеству дальтоников Na, которое в свою очередь является суммой количества дальтоников-мужчин ( от количества мужчин) и количества дальтоников-женщин (0.25% от количества женщин): Доля дальтоников дается соотношением Р{-человек — дальтоник»} Проведенные наводящие рассуждения формализуются следующим образом: пусть Д — событие, состоящее в том, что наугад выбранный человек — дальтоник, М — что он мужчина, Ж — женщина. Заметим, что события М и Ж в рассматриваемом эксперименте (случайный выбор индивидуума из содержащей одинаковое число мужчин и женщин совокупности) образуют полную группу несовместных событий. В силу N„ = Nж можно считать что Для вероятности события Д из (5) получаем В качестве Р{Д|М} разумно, исходя из условия задачи, взять долю дальтоников среди мужчин . Аналогично и для Поэтому 4.3. Формула Бейеса Формула условной вероятности (1) может быть прочитана и следующим образом: пусть А и Я — два события ненулевой вероятности. Формальными выкладками получаем,что поскольку Последняя формула интерпретируется гак: пусть a priori (до проведения испытания) мы оценили вероятности событий А и Я. Проведем эксперимент Q и, если событие А осуществилось, пересчитаем вероятность события Я в соответствии с (6). Получим Р{Н\А} — апостериорную (послеопытную) вероятность Я, которая уточняет наше знание о возможностях осуществления события Я в последующих испытаниях. Эта интерпретация становится особо интересной, если применить формулу (6) к полной системе несовместных событий Соотношение (7) позволяет при известных априорных вероятностях событий Hj, и сведении о том, какое событие А осуществилось в данном испытании, найти апостериорное распределение вероятностей События Hj в этой трактовке носят имя «гипотез», а само соотношение (7) служит основой весьма плодотворного подхода в современной статистике, носящем имя «бей-есовского» подхода. Формула (7) называется формулой Бейеса или формулой гипотез. Пример. Оператор на мониторе локатора может зафиксировать сигнал, являющийся следом либо объекта, либо его имитации. При этом в одном случае из пяти оператор ошибается. Известно, что в поле наблюдения оператора объекты появляются вдвое реже, чем их имитации. Оператор идентифицировал сигнал на экране монитора как сигнал от объекта. Какова вероятность того, что в поле наблюдения находится действительно объект, а не его имитация? Пусть — гипотеза, состоящая в том, что в поле наблюдения находится обьект (имитация). Событие О — «сигнал на экране монитора идентифицирован как сигнал от объекта*. Задача состоит в нахождении вероятности Р{Н110}. По формуле (7) получаем Условия задачи дают основания для следующей оценки априорных вероятностей: Окончательно получаем Независимость случайных событий Формула условной вероятности позволяет ввести в рассмотрение еще одно важное понятие — понятие зависимости и независимости случайных событий. Если трактовать независимость случайных событий в некотором эксперименте как отсутствие влияния осуществления или неосуществления одного или нескольких событий на осуществление или неосуществление другого или других событий, то разумно оценивать степень такой зависимости изменением вероятности осуществления событий второй группы при наличии информации об осуществлении событий первой группы. Приведенное соображение даст основание для следующего определения. Определение. Будем говорить, что событие А не зависит от события J3, если Сразу же отметим, что несмотря на внешнюю асимметрию данного определения, понятие независимости взаимно: если А не зависит от В, то и В не зависит от А. 4 Действительно, если событие А не зависит от события В, то правило умножения вероятностей (2) принимает вид Отсюда легко получаем если только . Последнее соотношение и означает независимость В от А в смысле определения (8). ► Для событий положительной вероятности соотношение (9) и определение (8) равносильны, и любое из них может быть принято в качестве определения независимости пары случайных событий. Если события А и В независимы, то также независимы следующие пары событий: что легко проверить, воспользовавшись определением (8) и тем обстоятельством, что независимы пары событий . Пример I. В эксперименте с бросанием монеты события Г (выпадение герба) и Р (выпадение решки), очевидно, зависимы, так как осуществление одного из них влечет за собой невозможность осуществления другого. Формально • Пример 2. По ведомостям о расходе запасных частей было установлено, что при ремонте автомобильных двигателей деталь А была заменена в среднем в 36% случаев, деталь В — в 42% случаев, а обе эти детали одновременно заменялись в среднем в 30% случаев. Связаны ли между собой выход из строя детали А у детали В? 4 Пусть А — событие, состоящее в том, что деталь А вышла из строя и подлежит замене; В — вышла из строя и подлежит замене деталь В. Условие задачи дает основание для следующей оценки вероятностей событий А, В и А П В: По формуле условной вероятности получаем Это означает, что замена детали А при условии, что заменяется деталь В, происходит почти вдвое чаще, чем безусловная замена этой детали, что, конечно, свидетельствует о наличии связи между выходом из строя деталей А и В. Определение. Будем говорить, что события п независимы в совокупности, если для любого ВЫПОЛНЯЮТСЯ СООТНОШСНИЯ Например, независимость в совокупности событий А\, А2, А} по определению (10) означает, что они независимы попарно, т. е. 9 но кроме тою. должны иметь мосто еще и соотношения }, или им эквивалентные, например . Приводимый ниже пример иллюстрирует недостаточность попарной независимости для обеспечения независимости событий в совокупности. Пример 3. В урне лежат четыре геометрически идентичных шара, три из которых окрашены соответ-сгвенно в красный, синий и зеленый цвета, а окраска четвертого шара содержит все это три цвета. Эксперимент состоит в извлечении шара из урны. Обозначим события следующим образом: К — «извлеченный шар содержит красный цвет», С — «извлеченный шар содержит синий цвет», 3 — «извлеченный шар содержит зеленый цвет». Пространство элементарных исходов Л опишем списком равновозможных исходов означающих соответственно, что извлечен красный, синий, зеленый или трехцветный шар. При этом Получаем Заметим, что поэтому Правило умножения вероятностей Формула полной вероятности отхуда следует попарная независимость событий К. С и 3. В то же время и Р{КСЗ} =s 1/4. Отсюда, например, в то время как Из определения (10) следует, что события Анезависимы в совокупности тогда и только тогда, когда для любого г, и любых выполняется равенство Замечание. Отметим, что наличие «длинной» цепочки соотношений (11) не гарантирует справедливость «более коротких» цепочек. Пример 4. В урне лежит 8 физически идентичных шаров — 2 красных. 2 зеленых и по одному синему, красно-синему, сине-зеленому и трехцветному. Эксперимент состоит в извлечении шара из урны. Пространство элементарных исходов опишем следующим списком: Пусть события К, С и 3 такие же. как и в предыдущем примере. Тогда В то же время