Условные вероятности Взаимное влияние и независимость

Условные вероятности Взаимное влияние и независимость


Информация о реализации некоторого события в эксперименте может менять наши представления о шансах на осуществление других событий. Пример 1. Пусть в эксперименте с бросанием симметричной монеты рассматриваются события Г — выпадение герба и Р — выпадение решки. Очевидно, что если нам известно: выпал герб, т.е. осуществилось событие Г, то осуществление события Р — выпадение решки в этом эксперименте невозможно. Пример 2. Если в эксперименте с извлечением карты извлечена карта то очевидно, что одновременно осуществились события ф = {извлечена карта масти пик} и А* = {извлечен король}. Другими словами, осуществление события К+ влечет за собой осуществление и этих событий. Но, конечно, может оказаться и так, что осуществление одного из событий в эксперименте ничего не говорит нам об осуществлении или неосуществлении другого, точнее, не меняет наших представлений о шансах на его осуществление. Пример 3. Рассмотрим эксперимент, состоящий в двукратном извлечении шаров из урны с последующим возвращением извлеченного шара обратно в урну. Пусть в урне лежит N = тп + п соответственно черных (т) и белых (п) шаров. Рассмотрим события: А — шар, извлеченный первым, белый, В — шар, извлеченный вторым, белый. Поскольку после каждого извлечения шар возвращается в урну, то ясно, что зависимости между этими событиями нет. Из общих соображений понятно, что при условии осуществления одного из событий шансы на осуществление другого должны быть пропорциональны запасу их общих исходов7* — чем значительнее общая часть рассматриваемых событий, тем выше должны быть шансы на осуществление одного из них, в предположении, что другое произошло. Введем соответствующее формальное понятие. Условной вероятностью осуществления события А относительно события В назовем число где S (А П В), S(B) — запас исходов эксперимента благоприятствующих осуществлению соответственно событий А Г) В и В. Пусть событие В фиксировано и таково, что Р(В) > 0. Тогда условная вероятность обладает следующими очевидными свойствами: Условные вероятности Взаимное влияние и независимость 2. Если события А и В — несовместны, то Р(А\В) = 0, если же события А и В таковы, что В составляет часть в частности 3. Для условных вероятностей справедливо правило сложения если только события А\ и А2 несовместны. Таким образом, условная вероятность обладает всеми свойствами вероятности и описывает шансы на осуществление события А при уже происшедшем событии В. Очевидно, что, вообще говоря, Сразу же заметим, что условная вероятность может быть вычислена как отношение вероятности совместного осуществления событий А и В к вероятности события-условия В\ Из последнего соотношения следует правило умножения вероятностей справедливое для событий с положетельной вероятностью. Рассмотрим несколько примеров, иллюстрирующих введенное понятие. Пример 4. Из урны, содержащей п белых и m черных шаров, извлекают без возвращения пару шаров. Какова вероятность извлечь вторым черный шар, если известно, что первым был извлечен черный? Очевидно, что если первым был извлечен черный шар, то в урне осталось всего n + m-1 шаров, среди которых черных m - I. Поэтому искомая вероятность равна -. 7) Под запасом исходов мы понимаем здесь количество исходов п схеме случаев либо меру (длину, площадь, объем) соответствующего множества исходов в схеме геометрических вероятностей. 81 В этом случае говорят, что событие А подчинено событию В и записывают это так: А Э В. Пример 5. Эксперимент состоит в случайном выборе точки из квадрата I}. Найти вероятность того, что первая координата точки не превышает 0,5, если известно, что выбрана точка, лежащая выше биссектрисы первого и третьего координатных углов (рис.4). Из рисунка легко усмотреть, что вероятность события В — {выбрана точка, лежащая выше биссектрисы} равна 0,5, а вероятность совместного осуществления событий . Отсюда для искомой вероятности получаем Понятие условной вероятности позволяет ввести также количественную меру, характеризующую степень влияния одного из событий на другое. Будем говорить, что событие А не зависит от события В, если осуществление события А не меняет вероятности осуществления события В, т.е. если условная вероятность Р(А\В) совпадает с безусловной Р(А): В противном случае будем говорить, что событие А зависит от В. Сразу же отметим, что понятия зависимости-независимости, несмотря на явную несимметричность определения, носят взаимный характер — если событие А зависит (не зависит) от события Б, то и событие В зависит (не зависит) от события А. Действительно, пусть событие А не зависит от события В. Рассмотрим но, в силу независимости, , откуда и следует независимость В от случае независимых событий правило умножения вероятностей принимает особенно простой вид: вероятность совместного осуществления двух событий равна произведению их вероятностей: Соотношение (5) может быть принято в качестве определения независимости. Нижеследующие примеры иллюстрируют использование правила умножения при вычислении вероятностей событий. Пример 6. Из урны, содержащей п белых и m черных шаров, извлекают три шара. Какова вероятность того, что среди извлеченных есть хотя бы один белый шар? Заметим, что интересующее нас событие А противоположно событию — все извлеченные шары черные. В соответствии с принципом дополнительности Р{А) - 1 - Р{ А). Вероятность события А найдем, воспользовавшись тем, что А = 1ч П 2Ч П Зч, где события »'ч означают, что шар, извлеченный 1-м — черный. В соответствии с правилом умножения получаем Для вероятностей, участвующих в этом соотношении, легко получаем Пример 7. В круге радиуса R случайным образом независимо друг от друга выбрано N точек. Найти вероятность того, что расстояние от центра круга до ближайшей из них будет не менее г. Ясно, что если ближайшая из точек находится от центра на расстоянии не меньшем г, то и все прочие будут находиться от центра на не меньшем расстоянии. Вероятность того, что случайная в круге точка находится от центра на расстоянии не меньшем г, дается отношением В соответствии с правилом умножения (5), искомая вероятность равна Условные вероятности Взаимное влияние и независимость Пример 8. Некто забыл последнюю цифру номера телефона и набирает ее наугад. Какова вероятность того, что он дозвонится до нужного абонента не более чем за три попытки? Воспользуемся принципом дополнительности — противоположным рассматриваемому событию А будет событие А, состоящее в том, что первые три попытки дозвониться до нужного абонента оказались безуспешными. Последовательные попытки дозаониться до нужного абонента >Г|, — зависимые события, так как однажды набранная и не принесшая успеха цифра в дальнейшем уже не набирается. Применим прааило умножения (4): Для сомножителей очевидно имеем Отсюда и для искомой вероятности получаем Пример Исследовать связь между темным цветом глаз у отца (событие Т0) и сына (событие Те) на основании следующих данных, полученных при переписи населения Англии и Уэльса в 1891 году. Темноглазые отцы и темноглазые сыновья (Т0Те) составляли 5% среди всех обследованных, темноглазые отцы и светлоглазые сыновья (Г0!Ге) — 7,9%. светлоглазые отцы и темноглазые сыновья (Т0Те) — 8,9%, светлоглазые отцы и светлоглазые сыновья (Т0ТС) — 78,2%. Для оценки исследуемой связи найдем условные вероятности P(Tt\T0) и P^^Tq) и сравним их с соответствующей безусловной Р(Те). По определению имеем Условия задачи дают основания для следующей оценки вероятностей|0) Поскольку очевидно, что , постольку Р Отсюда В то же время . Сравнивая значения условной и безусловной вероятностей, делаем заключение о наличии связи между темным цветом глаз у отца и темным цветом глаз у сына — у темноглазых отцов темноглазые сыновья встречаются почти втрое чаще, чем вообще среди обследованных. Заметим, между_прочим, что светлоглазые сыновья у темноглазых отцов встречаются примерно а 6 случаях из 10 (P(Te\TQ) = Подсчитаем теперь вероятность Р(Те\Т0). Рассуждения, аналогичные вышеприведенным, дают: Заключаем, что светлоглазые отцы, вообще говоря, могут иметь темноглазых сыновей, однако значительно реже, чем светлоглазых — примерно в одном случае из 10 у светлоглазых отцов темноглазые сыновья и, соответственно, в 9 случаях из 10 — светлоглазые. 9) Задача заимствована из задачника J1. Д. Мешалкина. 10) Как обычно, полагаем вероятность пропорциональной запасу случаев.