Геометрические вероятности

Геометрические вероятности


Другая схема описания экспериментов с неоднозначно прогнозируемыми исходами, которая позволяет довольно просто ввести количественную характеристику осуществимости того или иного события — это схема геометрических вероятностей, которая , как и рассмотренная выше схема случаев, эксплуатирует идею оравновозможности исходов эксперимента. Аналогично тому, как это было проделано в схеме случаев, количественная характеристика осуществимости события — его вероятность — определяется как нормированная некоторым образом величина, пропорциональная запасу исходов, благоприятствующих осуществлению события. Пусть множество исходов исследуемого эксперимента может быть описано как множество П точек некоторого «геометрического континуума» — каждому исходу соответствует некоторая точка и каждой точке отвечает некоторый исход. В качестве «геометрического континуума» Q может выступать отрезок на прямой, дуга спрямляемой кривой на плоскости или в пространстве, квадрируемое множество на плоскости (треугольник, прямоугольник, круг, эллипс и т.п.) или часть квадрируемой поверхности, некоторый объем в пространстве (многогранник — призма, пирамида, шар, эллипсоид и т. п.) Событием назовем любое квадрируемое подмножество множества Как и в схеме случаев, событие состоит из точек-и сходов, однако уже не любая совокупность исходов образует событие, а только такая, меру которой (длину, площадь, объем) мы можем измерить. Предполагая равновозможность исходов, назовем вероятностью события А число, пропорциональное мере подмножества А множества П: Геометрические вероятности Если 0 — событие, невозможное в данном эксперименте, a Q — достоверное, то положим Р(0) = О, = 1. Вероятность любого события А будет при этом заключена между нулем — вероятностью события невозможного, и единицей — вероятностью события достоверного4*. Условие нормировки позволяет найти константу к — коэффициент пропорциональности, задающий вероятность. Он оказывается равен Таким образом, в схеме геометрических вероятностей вероятность любого события определяется как отношение меры подмножества А, описывающего событие, к мере множества il, описывающего эксперимент в целом: Отметим некоторые свойства так определенной вероятности: Свойство очевидно следует из того обстоятельства, что множество, содержащееся внутри другого, не может быть больше последнего. Как и в схеме случаев, события в схеме геометрических вероятностей можно объединять, совмещать и строить на их основе противоположные — при этом будут получаться, вообще говоря, отличные от исходных события. Следующее свойство весьма важно. 3. Если события — несовместны, то в частности, справедлив принцип дополнительности: Это свойство, называемое обычно правилом сложения вероятностей, очевидно следует из аддитивности меры5*. В заключение отметим, что вероятность осуществления любого исхода в схеме геометрических вероятностей всегда равна нулю, равно как равна нулю вероятность любого события, описываемого «тощим» множеством точек, т.е. множеством, мера которого (соответственно — длина, площадь, объем) равна нулю. Рассмотрим несколько примеров, иллюстрирующих вычисление вероятностей в схеме геометрических вероятностей. Пример 1. Эксперимент состоит в случайном выборе точки из отрезка [а, 6|. Найти вероятность того, что выбрана точка, лежащая в левой половине рассматриваемого отрезка. •4 По определению, вероятность выбора точки из любого множества на отрезке [a, bJ пропорциональна длине этого множества. Следовательно, искомая вероятность равна 0,5: 4> Однако, в отличие от схемы случаев, здесь уже возможны события, имеющие нулевую вероятность, и могут не быть достоверными события с вероятностью единица. Мера (длина, площадь, объем) суммы непересекающихся множеств равна сумме их мер. Пример 2. Эксперимент состоит в случайном выборе точки Л/г/) из квадрата имеет действительные корни? Равные корни? 4 Хорошо известно, что у квадратного уравнения корми действительны, если его дискриминант неотрицателен. В рассматриваемом случае дискриминант D дается соотношением и будет неотрицателен, если ((, rj) удовлетворяют условию т е если точка М(£, rj) будет выбрана из множества А, являющегося пересечением квадрата К и множества точек, описываемого вышеприведенными условиями (рис. 1). Геометрические вероятности Рис. 1. Случайный выбор точки из квадрата К Следовательно, для искомой вероятности получаем: Далее, корни квадратного уравнения совпадают, если D = 0. Этому значению дискриминанта отвечает отрезок оси 0£ от -1 до +1 и отрезок биссектрисы первого и третьего координатного угла, лежащий внутри квадрата К (рис. 1). Легко понять, что площадь этого множества точек равна нулю и, следовательно, вероятность совпадения корней рассматриваемого уравнения равна нулю. Следующий пример является классическим6* и призван проиллюстрировать то простое соображение, что понятие «случайности» не является очевидным и одинаково понимаемым всеми, а потому должно быть, вообще говоря, аккуратно формализовано, иначе использование вероятностных соображений может привести к недоразумениям. Пример 3. В круге радиуса R случайным образом выбрана хорда. Какова вероятность того, что длина этой хорды больше радиуса? В первую очередь следует понять, что значит хорда выбрана случайно. 1. Поскольку длина хорды однозначно определяется расстоянием этой хорды от центра круга, то одна из возможных интерпретаций случайного выбора может выглядеть так: Случайный выбор хорды эквивалентен случайному выбору точки на диаметре круга. Длина хорды, находящейся на расстоянии d от центра, равна , и для того чтобы длина хорды превышала длину радиуса круга, нужно, чтобы выбранная точка была расположена от центра круга на расстоянии, не превышающем d = RV3/2 (рис. 2) Поэтому искомая вероятность раана Вероятно впервые эта задача обсуждалась в книге Ж. J1. Бертрана «Исчисление вероятностей», вышедшей в 1889 году. Заметим, что помимо рассмотренных ниже, существуетеше по крайней мере три различных возможности формализации данной задачи. 2 Всякая хорда может быть задана парой точек на окружности, являющихся ее концами. Поэтому другая интерпретация случайного выбора хорды может быть сформулирована так. Случайный выбор хорды эквивалентен случайному выбору пары точек на дуге окружности. Рис. 3. Задача Бертрана — второй способ Выбирая на окружности начало отсчета и задавая направление обхода (например, против часовой стрелки), пометим положение любой точки на окружности ее координатой, меняющейся» в пределах от 0 до 2». Множество хорд может быть описано множеством упорядоченных пар чисел (z, у). 0 ^ z ^ у 2тг — координат начала и конца каждой из хорд (рис. 3, слева). Это множество на плоскости координат (z, у) изображается треугольником ОАВ (рис. 3, справа). Понятно, что длина хорды будет больше радиуса, если координаты начала и конца хорды удовлетворяют условиям Последние могут быть записаны одним двойным неравенством Множество точек (z, у), удовлетворяющих этому условию, заштриховано на рис.3 (справа). Теперь легко находим и искомая вероятность равна три» SoAB что отличается от результата, полученного выше