Дифференциальные уравнения и их решения Понятие о дифференциальном уравнении Геометрический смысл

Дифференциальные уравнения и их решения. Понятие о дифференциальном уравнении. Геометрический смысл.


Дифференциальным уравнением называется соотношение связывающее значения независимого переменного ж, искомой функции у = у(х) и ее производных до некоторого порядка n ^ 1. Порядок п старшей производной, входящей в уравнение, называется порядком уравнения. Подразумевается, что в (1) значения у, у*,..., у^ берутся при одном и том же х. Решением уравнения (1) называется функция, определенная на некотором интервале (или отрезке), имеющая производные до порядка п и удовлетворяющая этому уравнению, то есть при подстановке ее в уравнение обращающая его в тождество на этом интервале. Если искомая функция зависит от нескольких переменных, и в уравнение входят ее частные производные, то уравнение называется уравнением с частными производными. Такие уравнения здесь не рассматриваются, кроме последнего параграфа. В отличие от них уравнение (1) называется обыкновенным дифференциальным уравнением. Примеры показывают, что дифференциальное уравнение, вообще говоря, имеет много решений. Так, уравнению у/ - 2х = О удовлетворяет функция у = х2 + с при любом постоянном с. Если же в задаче, которая привела к дифференциальному уравнению, ищется единственное решение, то должно быть задано и начальное условие, то есть значение искомой функции при каком-то значении х. Например, задание начального условия у( 1) = 5 позволяет найти с, при котором решение у = х2 + с уравнения у1 -2х = О удовлетворяет этому условию: у = 5 при х = 1, то есть I2 + с = 5, с Дифференциальные уравнения и их решения. Понятие о дифференциальном уравнении. Геометрический смысл В главе 2 будет доказано, что если /(ж, у) и df/dy непрерывны в области 2>, то для любой точки (жо, уо) € D существует единственное решение уравнения у* = /(ж, у) с начальным условием у(хо) = у Для уравнения и-го порядка у(п) = нужны п начальных условий . 2. Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям. Первые примеры применения дифференциальных уравнений для решения геометрических и физических задач дали Ньютон и Лейбниц. Рассмотрим несколько задач такого рода. I Задача 1. Найти кривую, любая касательная к которой пере- i 1 секает ось абсцисс в точке, абсцисса которой вдвое меньше ! I абсциссы точки касания. Рис.1 Решение задачи. Запишем уравнение кривой в виде у = у(х). Касательная в точке М(х,у) пересекает ось абсцисс в точке К. В прямоугольном треугольнике МРК (рис. 1) известен катет РМ = у и tg a = х/ (геометрический смысл производной). Поэтому КР = РМ/ tg a = y/tf. По условию КР = ОК = ОР/2, то есть Решить это уравнение можно методом, изложенным в п. 1 § 2. Это дает у = сх2, с — любое. При с = 0 получается прямая у = 0, она не является решением задачи. Поэтому искомые кривые у = сх2 (с Ф 0) — параболы. поэтому нужны два начальных условия: положение тела x(to) = х0 и его скорость = хо в какой-либо момент Рассмотрим подробнее частный случай, когда / — упругая сила, по закону Гуна пропорциональная отклонению тела от положения равновесия х = 0 и направленная в сторону положения равновесия, то есть / = -кх. Тогда уравнение движения принимает вид тх" = -кх и имеет решение произвольные постоянные, которые можно найти, зная начальные условия (непосредственно проверяется, что это — решение; метод его отыскания излагается Дифференциальные уравнения и их решения. Понятие о дифференциальном уравнении. Геометрический смысл Если движутся п тел, силы взаимодействия которых зависят от положения тел и их скоростей, то написав уравнения движения для каждого тела, получаем систему п дифференциальных уравнений. Если тела движутся не по прямой, а в пространстве, то подобные уравнения пишутся для каждой координаты каждого тела, и получается система из 3п уравнений. | Задача 3. В электрическую цепь по- £ следовательно включены источник постоянного тока с напряжением V, катушка самоиндукции L, сопротивление R и выключатель, который замыкает цепь при t = 0. Найти силу тока в цепи при t Решение задачи. Согласно физическим законам ([7], § 13) при последовательном соединении во всех элементах цепи сила тока I(t) одна и та же. Сумма падений напряжения на всех элементах цепи равна напряжению источника тока, то есть Решить уравнение можно методом п. 1 § 2. С учетом условия 1(0) = 0 имеем Следовательно, сила тока монотонно возрастает от I = 0 при t = О и стремится (на практике очень быстро) к предельному значению /(оо) = V/R — к тому значению, которое получилось бы по закону Ома при отсутствии самоиндукции. 4 Некоторые области применения дифференциальных уравнений: системы автоматического управления; расчет движения ракет, спутников и небесных тел; расчет токов в сложных электрических цепях; динамика механических и физических процессов в технике; кинетика химических реакций; отдельные вопросы биологии. 13. | Геометрический смысл уравнения у1 f(x,y). Для каждой точки (х,у) из области D, где определена функция /, уравнение у' = f(xt у) определяет значение производной у' решения, проходящего через эту точку. Но у* = tg а, где а — угол наклона касательной к кривой, проходящей через эту точку (рис. 1). Таким образом, уравнение j/ = /(ж, у) определяет в области D пале направлений: в каждой точке уравнение определяет направление касательной к решению, проходящему через эту точку. Можно наглядно изобразить это поле, если в области D взять достаточно «густое» множество из конечного числа точек и через каждую его точку (х,у) провести короткий отрезок под углом а к оси Ох> где tga = f(x, у). Проводя в области D кривые, идущие везде приблизительно по направлению ближайших отрезков, получаем представление о ходе решений данного уравнения. Метод изоклин помогает построить поле направлений. Изоклиной (линией равного наклона) для уравнения у* = f(xt у) называется геометрическое место точек, где /(ж, у) = fc, k = const. Для нескольких к из множества значений функции /, в том числе для к = 0 и к = оо (если /(ж, у) принимает эти значения), строим изоклины /(ж, у) = к, стараясь не оставить на чертеже больших областей без изоклин или хотя бы без пометок типа «здесь у1 > 2». Через многие точки каждой изоклины f(x, у) = к проводим короткие отрезки под углом a (tga = к) к оси Ох. По этому полю направлений строим интегральные кривые — графики решений данного уравнения. Эти кривые в точках пересечения с каждой изоклиной должны иметь касательные, параллельные отрезкам, построенным на этой изоклине. Иногда полезно проводить не только изоклины, но и другие кривые — такие, которые пересекаются полем направлений только в одну сторону. Дифференциальные уравнения и их решения. Понятие о дифференциальном уравнении. Геометрический смысл I Пример 1. С помощью метода изоклин приближенно постро- i I итъ несколько интегральных кривых уравнения у' = х - у2. I Решение примера. Для нескольких значений к, например, для к = 0,±1, ±2 проведем изоклины х-у2 =к.Это — параболы. Каждую изоклину х - у2 = к пересечем короткими отрезками под углом a, tga = к, к оси Ох, не доходящими до других изоклин. Проведем интегральные кривые, например, через точки (1,1), (0,0), (1,-1), (-1, -1), согласуясь, как указано выше, с направлениями отрезков на изоклинах. Полученный рис. 3 дает общее представление о решениях уравнения Хотя рисунок приближенный, из него можно получить некоторые точные сведения о решениях. В области х имеем , и там решения только убывают, а в области х > у2 — только возрастают. На параболе х = у2 имеем t/ = 0 и интегральные кривые могут пересекать ее только слева направо, достигая минимума в точке пересечения. Поэтому из области х > у2 решения не выходят. В замкнутой области х ^ у2 -f 1 имеем $/ = х-у2 > 1, по-этому все проходящие там решения, возрастая, вхо- Рис 3 дят в полосу между изоклинами х - у2 = 1 и х - у2 = 0 и остаются там, так как поле направлений на границах этой полосы при у > 1/2 не дает им выйти. Метод изоклин обычно дает представление о поведении всех решений данного уравнения. Но он обладает малой точностью и применим только к узким классам уравнений: к уравнениям первого порядка у1 = /(х, у), к системам вида Дифференциальные уравнения и их решения. Понятие о дифференциальном уравнении. Геометрический смысл (система сводится к уравнению ) и к уравнениям вида (замена у* = z приводит к системе , отсюда . Кроме того, если функция /(ж, у) сложная, то трудно строить изоклины.