Вектор-функция скалярного аргумента Годограф Предел и непрерывность вектор-функции скалярного аргумента
Вектор-функция скалярного аргумента. Годограф. Предел и непрерывность вектор-функции скалярного аргумента.Определение 1. Вектор г называется вектор-функцией скалярного аргумента t, если каждому значению скаляра из области допустимых значений соответствует определенное значение вектора г. Будем это записывать так:
Если вектор г является функцией скалярного аргумента t
то координаты х, у, z вектора г также будут функциями аргумента t:
Вектор-функция скалярного аргумента. Годограф. Предел и непрерывность вектор-функции скалярного аргумента
Обратно, если координаты вектора г являются функциями t% то функцией t будет и сам вектор г:
Таким образом, задание вектор-функции r(f) равносильно заданию трех скалярных функций y(t), z(t).
Определение 2. Годографом вектор-фун-кции r(t) скалярного аргумента называется геометрическое место точек, которое описывает конец вектора г(*) при изменении скаляра t, когда начало вектора r(f) помешено в фиксированную точку О пространства (рис. I).
Годографом ради уса-вектора г = г(*) дви- Рис. 1
жушейся точки будет сама траектория L этой
точки. Годографом скорости v = v(J) этой точки будет некоторая другая линия L\ (рис.2). Так, если материальная точка движется по окружности с постоянной скоростью |v| = const, то ее годограф скоростей также представляет собой окружность с центром в точке 0\ и с радиусом равным |v|.
Пример 1. Построить годограф вектора г = ti + t\ + t\.
Решение. 1. Это построение можно весги по точкам, составляя таблицу:
Рис.3
2i Можн поступить и тйк. Обозначив через х, у, z координаты вектора V, будем иметь Нц
И ключря из этих уравнений параметр 1У получим уравнения поверхностей у — z = х1, линия пересечения L которых и определит годограф вектора г( ) (рис.3). D>
Задачи для самостоятельного решения
. Построить годографы векторов:
Пусть вектор-функция г = скалярного аргумента t определена в некоторой окрестности значения to аргумента t, кроме, быть может, амого значения доопределение 1. Постоянный вектор Л называется пределом вектора г(t) при , если для любого е > 0 существует б > 0 такое, что лля всех t ф to, удовлетворяющих условию 11 - выполняется неравенство
Как и в обычном анализе, пишут limr(0=A. Рис.4
Геометрически это означает, что вектор ) при t —* to стремится к вектору А как по длине, так и по направлению (рис.4).
пределение 2. Вектор а(£) называется бесконечно малым при t —» to, если а(£) имеет предел при t -*• to и этот предел равен улю:
Вектор-функция скалярного аргумента. Годограф. Предел и непрерывность вектор-функции скалярного аргумента
ли, что то же, для любого есуществует 6 > 0 такое, что для всех t Ф to, удовлетворяющих условию , выполняется неравенство |а(£)|
ример 1. Показать, что вектор есть бесконечно алый вектор при t -* 0.
Решение. Имеем
ткуда видно, что если для всякого е 0 взять 6 = ~, то при —0| будем
меть |. Согласно определению это означает, что a(t) есть бесконечно алый вектор при t 0. 1>
адачи для самостоятельного решения
г . Показать, что предел модуля вектора равен модулю его предела, если последний предел существует.
. Доказать, что для того чтобы вектор-функция г(*) имела при to предел А, необходимо и достаточно, чтобы г( можно было представить в виде
Вектор-функция скалярного аргумента. Годограф. Предел и непрерывность вектор-функции скалярного аргумента
де a(t) — бесконечно маши при t -* t0 вектор.
14. Вектор-функиия а+ b(*) непрерывна при t = t0. Следует ли отсюда, что векторы a(t) и b(J) также непрерывны при t — to?
15. Доказать, что если a( — непрерывные вектор-функиии, то их скалярное произведение (a(*),b(f)) и векторное произведение |a(f),b(t)] также непрерывны. |