Вектор-функция скалярного аргумента Годограф Предел и непрерывность вектор-функции скалярного аргумента

Вектор-функция скалярного аргумента. Годограф. Предел и непрерывность вектор-функции скалярного аргумента.


Определение 1. Вектор г называется вектор-функцией скалярного аргумента t, если каждому значению скаляра из области допустимых значений соответствует определенное значение вектора г. Будем это записывать так: Если вектор г является функцией скалярного аргумента t то координаты х, у, z вектора г также будут функциями аргумента t: Вектор-функция скалярного аргумента. Годограф. Предел и непрерывность вектор-функции скалярного аргумента Обратно, если координаты вектора г являются функциями t% то функцией t будет и сам вектор г: Таким образом, задание вектор-функции r(f) равносильно заданию трех скалярных функций y(t), z(t). Определение 2. Годографом вектор-фун-кции r(t) скалярного аргумента называется геометрическое место точек, которое описывает конец вектора г(*) при изменении скаляра t, когда начало вектора r(f) помешено в фиксированную точку О пространства (рис. I). Годографом ради уса-вектора г = г(*) дви- Рис. 1 жушейся точки будет сама траектория L этой точки. Годографом скорости v = v(J) этой точки будет некоторая другая линия L\ (рис.2). Так, если материальная точка движется по окружности с постоянной скоростью |v| = const, то ее годограф скоростей также представляет собой окружность с центром в точке 0\ и с радиусом равным |v|. Пример 1. Построить годограф вектора г = ti + t\ + t\. Решение. 1. Это построение можно весги по точкам, составляя таблицу: Рис.3 2i Можн поступить и тйк. Обозначив через х, у, z координаты вектора V, будем иметь Нц И ключря из этих уравнений параметр 1У получим уравнения поверхностей у — z = х1, линия пересечения L которых и определит годограф вектора г( ) (рис.3). D> Задачи для самостоятельного решения . Построить годографы векторов: Пусть вектор-функция г = скалярного аргумента t определена в некоторой окрестности значения to аргумента t, кроме, быть может, амого значения доопределение 1. Постоянный вектор Л называется пределом вектора г(t) при , если для любого е > 0 существует б > 0 такое, что лля всех t ф to, удовлетворяющих условию 11 - выполняется неравенство Как и в обычном анализе, пишут limr(0=A. Рис.4 Геометрически это означает, что вектор ) при t —* to стремится к вектору А как по длине, так и по направлению (рис.4). пределение 2. Вектор а(£) называется бесконечно малым при t —» to, если а(£) имеет предел при t -*• to и этот предел равен улю: Вектор-функция скалярного аргумента. Годограф. Предел и непрерывность вектор-функции скалярного аргумента ли, что то же, для любого есуществует 6 > 0 такое, что для всех t Ф to, удовлетворяющих условию , выполняется неравенство |а(£)| ример 1. Показать, что вектор есть бесконечно алый вектор при t -* 0. Решение. Имеем ткуда видно, что если для всякого е 0 взять 6 = ~, то при —0| будем меть |. Согласно определению это означает, что a(t) есть бесконечно алый вектор при t 0. 1> адачи для самостоятельного решения г . Показать, что предел модуля вектора равен модулю его предела, если последний предел существует. . Доказать, что для того чтобы вектор-функция г(*) имела при to предел А, необходимо и достаточно, чтобы г( можно было представить в виде Вектор-функция скалярного аргумента. Годограф. Предел и непрерывность вектор-функции скалярного аргумента де a(t) — бесконечно маши при t -* t0 вектор. 14. Вектор-функиия а+ b(*) непрерывна при t = t0. Следует ли отсюда, что векторы a(t) и b(J) также непрерывны при t — to? 15. Доказать, что если a( — непрерывные вектор-функиии, то их скалярное произведение (a(*),b(f)) и векторное произведение |a(f),b(t)] также непрерывны.