Примеры движения тела. Методы решения задач Равномерное прямолинейное движение тела Неравномерное движение тела Равнопеременное движение

Примеры движения тела. Методы решения задач. Равномерное прямолинейное движение тела. Неравномерное движение тела. Равнопеременное движение.


Рассмотрим некоторые характерные примеры движения тела, знание которых будет полезно при дальнейшем изучении физики. 1. Равномерное прямолинейное движение тела. При равномерном прямолинейном движении тело совершает равные перемещения Аг за одинаковые промежутки времени At. Иными словами, скорость v тела не зависит от времени и остаётся постоянной в процессе движения: v = const. При этом зависимость r(t) имеет вид: где г0 - радиус-вектор тела в начальный момент времени t = О. В этой связи вспомним замечание о начальных условиях, сделанное на стр. 7 и стр. 8. Вектор г() здесь является тем начальным условием, которое позволяет однозначно определить радиус-вектор г тела в любой момент времени в процессе движения. Векторное уравнение (7) равносильно системе двух скалярных уравнений, выражающих зависимость от времени / координат хну движущегося тела: где х0 и у0 - начальные координаты тела в момент времени t = О, проекции вектора скорости v на координатные оси Ох и Оу соответственно. Траектория равномерного прямолинейного движения тела графически представляет собой отрезок прямой линии (рис. 9), тангенс угла наклона которой к оси абсцисс равен отношению проекций скорости на оси координат: tga = vxJvx. Аналитическое уравнение траектории, т. е. зависимость у(х), легко получить, исключив параметр / из системы уравнений (8): Пример 3. Равномерное прямолинейное движение тела на плоскости хОу описывается уравнениями: (величины измерены в СИ). Запишите уравнение траектории тела. Изобразите графически зависимость модуля вектора скорости от времени v(t). Определите путь, пройденный телом в течение первых пяти секунд движения. Решение. Сравнивая уравнения движения, представленные в условии задачи, с системой уравнений (8), находим: Уравнение траектории получим, подставив эти значения в общее уравнение Модуль v скорости тела определим, зная г\ и vv: График зависимости v(t) представлен на рис. 10. При равномерном прямолинейном движении пройденный путь AS численно равен модулю вектора АР перемещения тела. Вектор А г для такого движения найдём из уравнения (7): А г =r(t)-r0 = vt. Его модуль равен: А г = vt. Таким образом, при равномерном движении путь, пройденный телом в течение времени /, определяется по формуле AS = vt, т. е. численно равен площади прямоугольника под графиком зависимости v(t). Этот вывод можно обобщить и на случай неравномерного движения. В нашем примере путь равен площади прямоугольника, заштрихо- Примеры движения тела. Методы решения задач. Равномерное прямолинейное движение тела. Неравномерное движение тела. Равнопеременное движение. ванного на рис. с Пример 4. Координаты тела при равномерном прямолинейном движении на плоскости хОу за время / = 2 с изменились от начальных значений х0 = 5 м, у0 = 7 м до значений х = -3м и у = 1 м . Найдите модуль скорости тела. Запишите уравнение траектории тела. Изобразите графически траекторию тела и направление вектора его скорости. Постройте графики зависимости координат тела от времени. Решение. Проекции скорости на оси координат можно найти с помощью уравнений движения (8) и численных данных задачи: Тогда модуль скорости и = Jvx2 + vy2 = 5м/с. Уравнение траектории v(.x") с учётом (9) и численных данных задачи имеет вид: 4 4 Положение тела в начальный и конечный моменты времени (точки А и В), его траектория и направление скорости изображены на рис. 11. Зависимость координат тела от времени легко найти аналитически, подставляя начальные условия и значения vx и i>t в общие уравнения движения (. Графически эти зависимости представлены в виде отрезков прямых на рис. 12. У;х Рис. 12 Заметим, что тангенсы углов наклона отрезков прямых на рис. 12 численно равны коэффициентам при t в соответствующих уравнениях Л'(/) и y(t\ т. е. значениям vx и V ' tg« = -4, tg/? = -3. Неравномерное движение тела. Для неравномерного движения характерно то, что с течением времени изменяется скорость движущегося тела, а в общем случае и его ускорение. В качестве примера может служить движение, при котором тело проходит различные участки своего пути с разной скоростью. Такое движение принято характеризовать, прежде всего, средней путевой скоростью. Причём прилагательное «путевая» в условиях задач часто опускается. * Пример 5. Любитель бега трусцой пробежал половину пути со скоростью vx = 10 км/ч . Затем половину оставшегося времени бежал со скоростью v2 = 8 км/ч, а потом до конца пути шёл пешком со скоростью v3 = 4 км/ч . Определить среднюю скорость движения бегуна. Решение. Из смысла условия задачи следует, что здесь речь идёт о средней путевой скорости. Разобьём весь путь AS на три участка AS,,AS2 и АS3. Время движения на каждом участке обозначим соответственно Atl9At2 и Ал. Средняя скорость бегуна согласно определению, выраженному формулой (3), будет равна: По условию задачи . Поскольку , учитывая, что , найдём время движения на отдельных участках: Подставляя эти значения в выражение для vc?, получим: Заметим, что иногда учащиеся подсчитывают среднюю путевую скорость движения по формуле vcp = (п, где v, - скорость движения на /-м участке, п — число участков пути. Аналогично поступают и с вектором средней скорости v . Следует иметь в виду, что такой расчёт в общем случае является ошибочным. Другим характерным примером неравномерного движения служит так называемое равнопеременное движение, которое целесообразно рассмотреть подробно, не выходя при этом за рамки школьной программы. Равнопеременное движение. Равнопеременным называется такое неравномерное движение, при котором скорость v за любые равные промежутки времени At изменяется на одинаковую величину Av. В этом случае ускорение а тела не зависит от времени и остаётся постоянным в процессе движения: Примеры движения тела. Методы решения задач. Равномерное прямолинейное движение тела. Неравномерное движение тела. Равнопеременное движение. (при этом v * const, и траектория движения не обязательно прямолинейная). При равнопеременном движении скорость v тела изменяется с течением времени по закону где v0 - скорость тела в начальный момент времени / = 0. В свою очередь, зависимость ?(t) имеет вид: где г0 - начальный радиус-вектор тела при t = 0. Вновь заметим, что величины v0 и г0 представляют собой начальные условия, позволяющие в любой момент времени однозначно определить векторы v и г. При координатном способе описания равнопеременного движения векторным уравнениям (11) и (12) равносильны следующие системы уравнений для проекций скорости и радиус-вектора тела на оси выбранной системы отсчёта. Здесь мы ограничиваемся случаем плоского движения, при котором траектория тела лежит в одной плоскости, совпадающей с координатной: где x0 и y0- начальные абсцисса и ордината тела (при / = 0), и0х и v0v - проекции начальной скорости ди тела на координатные оси, ах и ау - проекции вектора ускорения на оси Ох и Оу соответственно. В принципе формулы (И) и (12) или равносильные им системы уравнений (13) и (14) позволяют решить любую задачу на движение тела с постоянным ускорением. В случае прямолинейного движения тела удобнее одну координатную ось, например ось Ох, совместить с траекторией тела. Тогда для описания движения будет достаточно одной этой оси, в проекциях на которую векторные уравнения (11) и (12) дают: Если на промежутке времени от 0 до i направление движения тела не изменялось на противоположное, то разность х-х0 текущей и начальной координат тела совпадает с пройденным путём S, следовательно, Эту формулу можно записать по-другому, если подставить в неё время /, выраженное из уравнения vx = v0v + at. Это время будет Тогда для пути S после несложных преобразований получим Удобство этой формулы заключается в том, что она не содержит времени t в явном виде. Вместе с тем надо помнить, что формула получена в предположении о неизменности направления движения тела. Пример 6. За 2 с прямолинейного равноускоренного движения тело прошло 20 м , увеличив свою скорость в 3 раза. Определите конечную скорость тела. (ЕГЭ, 2005г., уровень В). Решение. Пусть за время / = 2 с скорость тела изменилась от v0 до v. Направим координатную ось Ох вдоль траектории тела в сторону движения. Тогда в проекциях на эту ось можно записать v = v0 + at, где а - модуль ускорения тела. По условию v() =~v и- следовательно, За время t тело, движущееся с таким ускорением, пройдёт путь С учётом выражении для vQ и а получим S =—vt. Откуда искомая 3 S скорость v =--. Подставляя сюда значения S = 20 м и t = 2 с, найдём Примеры движения тела. Методы решения задач. Равномерное прямолинейное движение тела. Неравномерное движение тела. Равнопеременное движение. окончательно и = 15м/с. Одним из наиболее наглядных примеров равнопеременного движения является движение тела в поле тяжести Земли, которое мы имеем возможность наблюдать повседневно. Для решения задач в этом случае надо заменить в приведённых выше формулах вектор а на ускорение свободного падения g, сообщаемое силой гравитационного притяжения всякому телу, движущемуся в поле тяжести Земли. Рассмотрим три конкретных случая такого движения. Пример 7. Движение тела, брошенного вертикально. Тело бросили с поверхности земли, сообщив ему начальную скорость v0, направленную вертикально вверх. Пренебрегая сопротивлением воздуха, определите время г полёта тела до момента падения на землю; скорость тела в момент падения; максимальную высоту И подъёма тела над землёй; время г, подъёма тела на максимальную высоту; путь S, пройденный телом за время полёта и перемещение тела. Начертите графики зависимости от времени / вертикальной координаты тела и проекции на вертикальную ось его скорости в процессе полёта. Решение. Поскольку движение полностью происходит в вертикальном направлении, то для определения пространственного положения тела достаточно одной координатной оси Оу. Направим её вертикально вверх, начало отсчёта О поместим в точку бросания (рис. 13). Начальные условия движения тела: у0 = 0, v0v = v(). Проекция ускорения тела на ось Оу в отсутствие сопротивления воздуха равна av=-g, т. к. вектор g направлен вертикально вниз противоположно направ- рис> 13 лению координатной оси. Вторые уравнения систем (13) и (14) с учётом начальных условии имеют вид: Пусть при t = г тело упало на землю. В этот момент у = 0 и урав- нение (16) даёт: Откуда для г получаем: г = 0 или 2 у г = —- . Значение г = 0 соответствует начальному моменту бросания тела с поверхности земли, и для нас интереса не представляет. Следо- вательно, время полета тела г = —- . метр t из системы (18): >j(.v) = 2v, Уравнение >'(*) траектории движения тела получим, исключив па- ляет собой квадратичную функцию, то траекторией движения тела является участок параболы с вершиной в точке бросания. Ветви параболы направлены вниз. Графики, требуемые в условии данного примера, представлены соответственно на рис. 17 и рис. 18. Рис. 18 Пример 9. Движение тела, брошенного под углом к горизонту. Тело бросили с поверхности земли с начальной скоростью v0, направленной под углом а к горизонту (рис. 19). Пренебрегая сопротивлением воздуха, определите время г полёта тела до его падения на землю, дальность / полёта тела, скорость тела в момент падения на землю, максимальную высоту Н подъёма тела над землёй, время г, подъёма тела на максимальную высоту. Запишите уравнение траектории тела. Решение. Направим оси прямоугольной системы координат, как показано на рис. 19. Начало отсчёта О поместим в точку бросания. Тогда начальные условия движения тела таковы: х0 = 0, у0 =0, v0k=v0cosа, v0v=v0sina. При отсутствии сопротивления воздуха ах = 0, ау =-g. С учётом этих значений системы уравнений (13) и (14) имеют вид: Пусть при / = г тело упало на землю, тогда: у = 0, х = /. Уравнения Примеры движения тела. Методы решения задач. Равномерное прямолинейное движение тела. Неравномерное движение тела. Равнопеременное движение. системы (20) дают: /. (Здесь использовано равенство Из полученного выражения для / легко определить угол сх , при котором дальность полёта тела будет максимальной. Действительно, величина / как функция от а принимает максимальное значение в том случае, когда sin 2сх = 1. Это возможно, если Модуль скорости тела в момент падения на землю определим с помощью теоремы Пифагора: v = . В соответствии с системой уравнений (19) в этот момент (при / = г) имеем: Следовательно, Направление скорости тела в момент падения составляет угол а с направлением оси Ох. Этот угол отсчитывается по часовой стрелке от направления оси Ох. Пусть при t = г, тело достигло максимальной высоты. В этот момент vv =0, у = Н. Соответствующие уравнения систем (19) и (20) дают: Отсюда последовательно находим: Видим, что Уравнение траектории получим, исключив из системы (20) время /: . График траектории тела представляет Примеры движения тела. Методы решения задач. Равномерное прямолинейное движение тела. Неравномерное движение тела. Равнопеременное движение. собой участок параболы, ветви которой направлены вниз.