Зная, как связаны между собой ускорение и координата колеблющегося тела, можно на основе математического анализа найти зависимость координаты от времени. Ускорение — вторая производная координаты по времени. Мгновенная скорость, как вам известно из курса математики, представляет собой производную координаты по времени. Ускорение — это производная скорости по времени, или вторая производная координаты по времени1. Поэтому уравнение (3.4) можно записать так: (3.11) где х" — вторая производная координаты по времени. Согласно уравнению (3.11) при свободных колебаниях координата х изменяется со временем так, что вторая производная координаты по времени прямо пропорциональна самой координате и противоположна ей по знаку. Гармонические колебания. Как же координата х зависит от времени? Ясно, что она должна меняться со временем периодически. Вам известны периодические функции синус и косинус. Косинус, например, при возрастании аргумента от нуля вначале меняется медленно (рис. 59), а потом все быстрее и быстрее приближается к нулю. Пройдя через нуль, он возрастает по модулю вначале быстро, а затем все медленнее и медленнее вплоть до достижения максимального значения. Точно так же меняется координата шарика на пружине, выведенного из положения равновесия. Координата уменьшается вначале медленно, а потом все быстрее и быстрее по мере приближения шарика к равновесию. Пройдя положение равновесия с максимальной скоростью, шарик смещается в противоположную сторону, и его координата меняется все медленнее и медленнее вплоть до остановки шарика. Итак, косинус при возрастании аргумента меняется примерно так же, как и координата шарика в зависимости от времени. Кроме того, и это главное, косинус и синус, как известно из курса математики, обладают тем свойством, что вторая производная этих функций пропорциональна самим функциям, взятым с противоположным знаком. В математическом анализе доказывается, что никакие другие функции таким свойством не обладают. Все это позволяет с полным Для краткости мы говорим об ускорении и скорости. В действительности имеются в виду проекции этих векторных величин. основанием утверждать, что координата тела, совершающего свободные колебания, меняется с течением времени по закону синуса или косинуса. Периодические изменения физической величины в зависимости от времени, происходящие по закону синуса или косинуса, называются гармоническими колебаниями. Вначале мы будем рассматривать гармонические изменения координаты. В дальнейшем ознакомимся с гармоническими изменениями других величин. Амплитуда колебаний. Важной характеристикой колебательного движения является амплитуда. Амплитудой гармонических колебаний называется модуль наибольшего смещения тела от положения равновесия. Амплитуда может иметь различные значения в зависимости от того, "насколько мы смещаем тело от положения равновесия в начальный момент времени, и от того, какая скорость сообщается при этом телу. Амплитуда определяется начальными условиями. Но максимальные значения модуля синуса и косинуса равны единице. Поэтому решение уравнения (3.11) не может выражаться просто косинусом или синусом. Оно должно иметь вид произведения амплитуды хт на синус или косинус. Решение уравнения движения, описывающего свободные колебания. Какую же форму имеет решение уравнения (3.11)? Нельзя просто считать, что х=хт cos t или х~хт sin t, так как в этом случае вместо , Но небольшое усложнение формы решения сразу приведет нас к цели. Чтобы в выражении второй производной х"(/) был множитель —, запишем решение уравнения в следующем виде: В этом случае первая производная принимает вид а вторая производная будет равна: Мы получили в точности уравнение (3.11). Следовательно, функция (3.12) есть решение исходного уравнения (3.11). Конечно, решением исходного уравнения будет также функция Обозначим постоянную величину J, зависящую от свойств системы, через (00: Тогда решение уравнения (3.11) можно записать в более компактной форме: Само же уравнение движения (3.11) принимает вид График" зависимости координаты тела от времени согласно (3.14) представляет собой косинусоиду Период и частота гармонических колебаний. Выясним теперь физический смысл величины Q При колебаниях движения тела периодически повторяются. Минимальный промежуток времени Т, через который движение тела полностью повторяется, называют периодом колебания.] Зная период, можно определить частоту колебаний, т. е. число колебаний в единицу времени, Например в секунду. Если одно колебание совершается за время Т, то число колебаний за секунду v определяется так: В международной системе единиц (СИ) частота колебаний равна единице, если в секунду совершается одно колебание. Единица частоты называется герцем (сокращенно: Гц) в честь немецкого физика Г. Герца. Через промежуток времени, равный периоду Т, т. е. при увеличении аргумента косинуса на ю0Т, движение повторяется и косинус принимает прежнее значение. Но из математики известно, что наименьший период косинуса равен 2л. Следовательно, Таким образом, величина со0 — это число колебаний тела, но не за 1 с, а за 2л с. Она называется циклической или круговой частотой:'. 1 Часто в дальнейшем для краткости мы будем называть циклическую частоту просто частотой. Отличить циклическую частоту со от частоты v можно по обозначениям. Частоту свободных колебаний называют собственной частотой колебательной системы. Зависимость частоты и периода свободных колебаний от свойств системы. Собственная частота колебаний тела, прикрепленного к пружине, согласно (3.13) равна: Она тем больше, чем больше жесткость пружины, и тем меньше, чем больше масса тела. Это естественно: жесткая пружина сообщает телу большее ускорение, быстрее меняет скорость тела. А чем тело массивнее, тем медленнее оно изменяет скорость под влиянием силы. Период колебания равен: (3.18) Располагая набором пружин различной жесткости и телами различной массы, нетрудно убедиться, что формулы (3.13) и (3.18) правильно описывают характер зависимости ю0 и Т от k и т. Коэффициент пропорциональности между ускорением аТ и смещением s в уравнении (3.10), описывающем колебания маятника, представляет собой, как и в уравнении (3.11), квадрат циклической частоты. Следовательно, собственная частота колебаний математического маятника при малых углах отклонения нити от вертикали зависит от длины маятника и ускорения свободного падения так: Период же колебания равен: Эта формула была впервые получена и проверена на опыте голландским ученым Г. Гюйгенсом, современником И. Ньютона. Период колебания возрастает с увеличением длины маятника. От массы маятника он не зависит. Это легко проверить на опыте с различными маятниками. Зависимость периода от ускорения свободного падения также можно обнаружить. Чем меньше g, тем больше период колебания маятника и, следовательно, тем медленнее идут часы с маятником. Так, часы с маятником в виде груза на стержне отстанут в сутки почти на 3 с, если их поднять из подвала на верхний этаж Московского университета (высота 200 м). И это только за счет уменьшения ускорения свободного падения с высотой. Зависимость периода колебания маятника от значения g используется на практике. Измеряя период колебания, можно очень точно определить g. Ускорение свободного падения меняется с географической широтой. Но и на данной широте оно не везде одинаково. Ведь плотность земной коры не всюду одинакова. В районах, где залегают плотные породы, ускорение g несколько больше. Это учитывается при поисках полезных ископаемых. Так, железная руда обладает повышенной плотностью по сравнению с обычными породами. Проведенные под руководством академика А. А. Михайлова измерения ускорения свободного падения под Курском позволили уточнить места залегания железной руды. Сначала они были обнаружены посредством магнитных измерений. Замечательно, что период колебания тела на пружине и период колебания маятника при малых углах отклонения не зависят от амплитуды колебаний. Наглядно это можно представить себе так. При увеличении амплитуды в два раза сила, направленная к положению равновесия, также увеличится в два раза, в два раза возрастет ускорение и в два раза большее значение будет иметь приобретенная скорость. В результате вдвое больший путь к положению равновесия тело проделает за то же время, что и при колебаниях с первоначальной (в два раза меньшей) амплитудой. Отметим, что только при малых углах колебания маятника совершаются по гармоническому закону. Если углы отклонения нити от вертикали не малы, то ускорение уже не будет пропорциональным смещению.