Алгебраические кривы.

Я мог бы привести здесь несколько способов нанесения и понимания ряда кривых линий, при этом каждая кривая сложнее, чем любая предыдущая, но я считаю, что наилучший способ сгруппировать вместе все такие кривые и затем классифицировать их по порядку — это признание того факта, что все точки этих кривых, которые мы можем назвать «геометрическими», то есть, те, которые допускают четкое и точное измерение, должны иметь определенное отношение ко всем точкам прямой линии, и, что это отношение должно быть выражено посредством единого уравнения. [Декарт (1637), с.48] В этом отрывке Декарт определяет то, что мы называем алгебраическими кривыми. Тот факт, что он называет их «геометрическими», показывает его привязанность к идее греков, что кривые являются результатом геометрических построений. Он использует обозначение уравнений не для того, чтобы непосредственно определить кривые, а для того, чтобы ограничить понятие геометрического построения строже, чем это делали греки, ограничивая в связи с этим понятие кривой. Как мы видели в разделе, греки рассматривали некоторые построения, такие как вращение одного круга на другом, которые способны создавать трансцендентные кривые.

Декарт назвал такие кривые «механическими» и нашел способ исключить их, ограничившись кривыми, «выраженными посредством единого уравнения». Из строк, следующих за приведенным отрывком, становится понятно, что он имеет в виду полиномиальные уравнения, поскольку он дает классификацию уравнений по степени. Отказ Декарта от трансцендентных кривых был близорук, поскольку исчисление вскоре предоставило методы оперирования ими, но, тем не менее, он был плодотворен, чтобы сконцентрироваться на алгебраических кривых. Понятие степени, в частности, было полезной мерой сложности. Кривые первой степени простейшие из возможных, а именно, прямые линии: второй степени следующие но простоте, конические сечения.

С помощью кривых третьей степени видны новые явления точек перегиба, двойных точек и точек возврата. Точки перегиба и возврата знакомы из, соответственно: мы также видели точку возврата на циссоиде. Классический пример кубической кривой с двойной точкой декартов лист (1638): «Лист» это замкнутая область справа от двойной точки: Декарт неправильно понял остаток кривой вследствие пренебрежения отрицательными координатами. Верная форма листа впервые дана Гюйгенсом (1692). это рисунок Гюйгенса, который также показывает асимптоту кривой. Рисунок листа Гюйгенса Отличное описание ранней истории кривых можно найти у Брис-корна и Кнёррера (1981), глава 1. Множество отдельных кривых, с чертежами, уравнениями и историческими заметками, можно найти у Гомеса Тейксейры. Развитие понятия кривой Декартом изучал Бос (1981). Упражнения Лист — это кубическая кривая, к которой применим метод хорд Диофанта. Берем линию, проходящую через «очевидную» рациональную точку на кривой, и находим другую точку пересечения. Это построение также дает нам возможность выразить произвольную точку на кривой на основе параметра. Покажите, что декартов лист имеет параметрические уравнения и иснользуйте эти уравнения, чтобы ноказать, что он касателен к осям. Покажите, что уравнение листа может быть записано в виде Покажите, что х стремятся по мере того, как на листе, и, следовательно, выведите уравнение его асимптоты из упражнения. Целое семейство «многолисговых» кривых изучал Гранди (1723): Розы Гранди заданы полярными уравнениями для целых значений [ показывает некоторые из этих кривых, как дано Гранди (1723)]. Покажите, что розы Гранди алгебраические. Покажите, что «роза» для имеет декартово уравнение Розы Гранди.