Наклонная асимптота графика функции. Общие рекомендации по вычислению пределов. Асимптотические многочлены использование символов.
Пусть главной частью б.б. при х оо функции f(x) является Ах и, кроме того, f(x) - Ах = 6 + а(х), где и а(а?) — б.м. функция при х —> оо. Тогда поведение функции f(x) при х —У оо хорошо описывает линейная зависимость
у = Ах + Ь} (10.28)
а график функции f(x) неограниченно приближается к прямой, которая задается уравнением (10.28).
Действительно, сколь бы узкой ни была выбрана заштрихованная на рис. 10.2 полоса (иначе, сколь бы ни было маг ло положительное число е), существует число М > 0, такое, что с учетом определения 7.10 при |х| > М имеем |/(х)-у| = = \f(x)-Ax-b\ = \a(x)\
М = тах{|М1|, |М2|}
график f(x) расположен внутри этой полосы.
Определение 10.8. Прямую у = Ах + Ь называют наклонной асимптотой графика функции у = /(г), если эту функцию можно представить в виде f(x) = Ах + 6 + где R и а(з) — б.м. функция при х-уоо.
Наклонная асимптота графика функции. Общие рекомендации по вычислению пределов. Асимптотические многочлены использование символов.
В частном случае, при А = 0 получаем горизонтальную асимптоту с уравнением у = 6.
Теорема 10.6. Для существования у графика функции f(x) асимптоты с уравнением у = Ах + Ь необходимо и достаточно, чтобы существовали конечные пределы
Необходимость условия следует из определения 10.8, так как имеем /(х)/х = А + Ь/х + а(х)/х и f(x)- Ах = Ь-|-а'(х) и после перехода в этих равенствах к пределу при х оо с учетом определения 7.10 получим (10.29). Достаточность условия докажем с использованием теоремы 7.3 о связи функции, ее конечного предела и б.м. функции. Из второго равенства (10.29) имеем f(x)-Ax = b + a(x)} где а(х) —функция, б.м. при х -f оо, что соответствует представлению функции f(x) в определении 10.8.
Отметим, что, строго говоря, для существования у графика функции f(x) асимптоты (горизонтальной или наклонной) достаточно существования при А € R лишь второго предела в (10.29). В самом деле, если он существует, то f(x) - , или f(x)/x = A + b/x + afy/x, и существует при х -»оо конечный первый предел в (10.29), который в частном случае может быть равен и нулю. Однако для практического нахождения коэффициентов в уравнении (10.28) асимптоты нужно использовать оба равенства (10.29), причем сначала первое, а затем (после вычисления А) — второе.
Если в (10.29) существуют пределы только при х +оо или только при х , то получаем односторонние наклонные асимптоты (правостороннюю или левостороннюю). В отличие от них наклонную асимптоту, отвечающую определению 10.8, называют двусторонней.
10.6. Общие рекомендации по вычислению пределов
Вычисление пределов является одной из основных практических задач математического анализа. Кратко систематизируем те правила и приемы вычисления пределов функций, которые были изложены выше, и дадим некоторые общие рекомендации.
1. Использование свойства непрерывности функции. Если под знаком предела при х стоит непрерывная в точке а функция /(я), то в силу (9.1)
В этом случае важно помнить, что все элементарные функции непрерывны в своей области определения) знать свойства функций, непрерывных в точке (см. 0.2).
Пример 10.11. а. Многочлен Рг{х) = х2 - 4х + 3 непрерывен в любой точке числовой прямой R, и поэтому, согласно (10.30), limP2(x) = P2(5) = 8.
х-f 5
б. Для рациональной функции /(х) = (х4-:г3+х)/(х5+2) в силу ее непрерывности в точке х = 1 lim /(х) = /(1) = 1/3.
в. Функция h(x) = (х2 + 1)х+2 непрерывна как суперпозиция непрерывных функций. Поэтому lira Л(х) = h(2) = 54 = 625.
Наклонная асимптота графика функции. Общие рекомендации по вычислению пределов. Асимптотические многочлены использование символов.
2. Использование свойств б.м. и б.б. функций. Нередко правила предельного перехода при арифметических операциях над функциями не удается использовать непосредственно ввиду ограничений на их применение.
Пример 10.12. а. Для вычисления lim (sinx)/x нельзя
применить правило (7.24) вычисления предела частного, так как lim sinx не существует, a lim х не является конечным.
Но при х-юо 1/х является б.м. функцией, a sinx — ограниченной. Поэтому по теореме 7.4 их произведение есть функция, б.м. при х оо, и в силу определения 7.10 lim (sinx)/x = 0.
б. Для вычисления
неприменимо правило (7.22) вычисления предела суммы, поскольку слагаемые не имеют конечного предела) являются при х 1 б.б. функциями и их сумма по свойству 4 в 7.5 есть в общем случае неопределенность. Но в данном случае
и искомый предел равен -1.
3. Раскрытие неопределенностей. Неопределенности типа 0/0 и 1°° встретились при рассмотрении замечательных пределов (см. 7.7). Возникновение неопределенностей типа оо/оо и оо-оо (или оо + оо) неизбежно при вычислении в (10.29) коэффициентов уравнения (10.28) асимптоты графика функции. На практике возникают также-неопределенности типа О оо, 0° и оо°. Под раскрытием неопределенности понимают проведение таких тождественных преобразований, в результате которых предел можно вычислить по известным правилам. Наиболее общие правила существуют для неопределенностей типа 0/0 и оо/оо, и связаны они с выделением главной части б.м. и б.б. функций, т.е. с заменой их более простыми эквивалентными функциями.
Неопределенность типа 0/0 возникает, когда необходимо вычислить предел отношения f(x)/g(x) при х-+а или я-юо, a f(x) и д(х) являются при таком стремлении аргумента х б.м. функциями. Основная трудность раскрытия неопределенности этого типа — выделить главную часть этих функций вида А(х-а)к при х-+а и вида А/хк при з-юо (если это вообще возможно). После замены, согласно теореме 10.4, отношения f(x)/g(x) под знаком предела на отношение их главных частей и сокращения на одинаковую степень х-а или х придем к вычислению lim В(х-а)1 или lim Вх~1, которые равны
В} если / = 0, и равны 0, если / > 0. При эти пределы будут бесконечными.
Пример 10.13. а. Найдем
Наклонная асимптота графика функции. Общие рекомендации по вычислению пределов. Асимптотические многочлены использование символов.
Под знаком предела имеем отношение сумм б.м. функций при х 0. Поскольку с учетом (10.18) и определения 10.2 х2 tgx2 j=qo(2x3) и ®2sin2xr=0o(a;arctgx), главными частями при х 0 числителя и знаменателя под знаком предела соответственно будут 2х3 и -xarctgx, причем sarctgz^QS2-
б. Вычислим
С учетом (10.18) ln(l + 2х + Зх2)^2* + Зх2. Так как х2 = = о(х), то 2х + Зх2 В СИЛУ транзитивности свойства
эквивалентности получаем ln(l + 2х + 3x2)^2Jq2x. Поскольку tgxx~0* и а?3 = о(х), главной частью числителя при х 0 будет 2х + х = 3х. Так как из (10.18) ех - l^Qxy главной частью знаменателя 1 + 2х-ех = 2х-(еж-1) при х->0 будет 2х - х = х. В итоге найдем
Неопределенность типа сю/оо также можно раскрыть выделением главных частей, но теперь уже б.б. функций, или же, опираясь на теорему 7.5 о связи б.б. и б.м. функций, привести эту неопределенность к типу 0/0.
При вычислении предела разности /(х) - д(х) при х а или х-> оо, когда /(х) и д(х) при таком стремлении аргумента х являются б.б. функциями, возникает неопределенность типа оо - оо. В зависимости от удобства последующих вычислений тождественным преобразованием
эту неопределенность можно привести к типу 0/0 или оо/оо. Отметим, что в некоторых случаях освободиться от неопределенности типа оо - оо в иррациональных выражениях можно путем переноса иррациональности в знаменатель.
Если при х а или х -у оо f(x) — б.м. функция, а д(х) — б.б. функция, то вычисление предела произведения f(x)g(x) при указанном стремлении аргумента х связано с раскрытием неопределенности типа 0 • оо. Тождественным преобразованием
ее можно свести к типу 0/0 или оо/оо.
Неопределенность типа 1°° возникает при вычислении предела показательно-степенной функции (см. пример 9.7) u(x)v(x) при х а или х оо, когда при таком стремлении аргумента х u(z) 1, a v(x) является б.б. функцией. Из (9.18) имеем
Вт = exp(fim ф)1пи(«)). (10.32)
Отсюда следует, что неопределенность типа 1°° можно раскрыть вычислением предела произведения v(x)lnu(x), что, в свою очередь, связано с раскрытием неопределенности типа оо • 0, поскольку при u(s) ->• 1 \пи(х)->0. С учетом (10.20) и теоремы 10.4 при вычислении предела (10.32) lnu(x) можно заменить выражением u(x) - 1.
Неопределенность типа 0° также возникает при вычислении предела функции (и(х))^х\ но когда при х а или х ->• оо и(х) и v(x) являются б.м. функциями. Тогда при и(х) 0 lnu(x) ->• -оо и вычисление предела в (10.32) связано с раскрытием неопределенности типа 0 • оо.
К аналогичной ситуации приводит неопределенность оо°, возникающая при вычислении предела функции когда
при х а или х оо и(х) и v(x) являются соответственно функциями. Теперь при и(х) оо 1пи(ж) оо, и :нова приходим к неопределенности типа 0 • оо.
Таким образом, все рассмотренные типы неопределенно-:тей тождественными преобразованиями могут быть сведены к двум основным типам: 0/0 и оо/оо (и даже одному типу 0/0).
Пример 10.14. Для вычисления предела lim (2 - х)^**/2),
связанного с раскрытием неопределенности типа 1°°, используем (10.32), положив и(х) = 2 - х и и(я) = tg(?rx/2):
Km (2 - *)*«»/*> = exp(lim tg у • ln(2 - *)).
Чтобы найти предел в показателе экспоненты, т.е. раскрыть неопределенность типа оо • 0, проведем замену переменных и элементарные преобразования тригонометрических функций с последующей заменой отношения б.м. функций им эквивалентными согласно (10.18) и теореме
В итоге lim (2 - *)*«/») = e2/*.
Тот же результат следует и из (9.19), если при помощи такой же замены переменных, учитывая (10.18) и теорему 10.4, предварительно вычислить
Однако не всегда для раскрытия неопределенности типа 1°° необходимо предварительно раскрывать неопределенность
типа оо * 0, чтобы затем применить (10.32) или (9.19). В некоторых случаях показательно-степенную функцию, стоящую под знаком предела, удается преобразовать к такому виду, что и основание степени u(z) и показатель степени v(z) будут иметь конечные пределы (см. (9.16)). Тогда можно непосредственно использовать (9.18). Например, при вычислении lim (l+8ins)ct5X положим u(x) = (l + sinx)1/81"* и v(x) = cosa:,
i-fir
так что с учетом второго замечательного предела в виде (7.42)
а в силу непрерывности функции сова: lim сова; = -1. Таким
образом, применительно к (9.18) имеем Ь = е и с=-1, т.е. искомый предел равен Ьс = е"1 = 1/е.
Пример 10.15. Пусть —многочлены степени n и m соответственно . При х-too Рп(х) и Qm(x) являются б.б. функциями, а для их отношения
при
при n=m, (10.33) оо при п>тп.
В случае п> т для п-т = 2к (ке N) в (10.33) получим -Ьоо, а для п - т = 2к - 1 при х -foo будет +оо и при х -оо будет -оо. При п - т = 1 график этого отношения имеет наклонную асимптоту с коэффициентами
в уравнении (10.28), которые нетрудно найти из (10.29). Ясно, что при п = т f(x)x=000{g(x)) и bof(x) ^aogix).
Если Рп(а) = 0 и Qm(a) = 0, то при вычислении предела и> отношения при х а приходим к неопределенности типа 0/0 В этом случае многочлены Рп{х) и Qm(x) можно представить в виде (см. 4.4)
где Т{(х) — некоторые многочлены и Т,(а) ^0 (t = 1, 2). В итоге поучаем
Дополнение 10.1. Асимптотические многочлены
К понятию прямолинейной асимптоты графика функции примыкает понятие, которое вводится согласно следующему определению.
Определение 10.9. Многочлен Pn(s) = aozn+ai:rn~1 + ...+ + an при х->+оо именуют асимптотическим для функции /(ж), определенной в окрестности бесконечной точки +оо расширенной числовой прямой, если
.
Ясно, что аналогичное определение можно дать и при х-> -¥ -оо. Геометрически условие (10.34) означает, что при 2;->+оо графики функции f(x) и асимптотического многочлена Рп{х) неограниченно сближаются. Алгоритм нахождения коэффициентов такого многочлена устанавливает следующая теорема.
Теорема 10.7. Многочлен Pn(s) является асимптотическим для функции /(х) при х +оо тогда и только тогда, когда при х -f оо существует п -f 1 конечных пределов, определяющих коэффициенты многочлена:
Если многочлен Pn(x) является асимптотическим для /(х) и верно (10.34), то почленным делением (10.34) на хп и переходом к пределу при х -foo устанавливаем существование первого из указанных пределов и равенство его коэффициенту ао, а затем аналогичным путем последовательным делением на устанавливаем существование всех, кроме последнего, пределов и их равенство соответственно коэффициентам ai, ..., an_i. Существование последнего предела и равенство его коэффициенту ап следует непосредственно из (10.34) в силу теоремы 7.3 о связи функции, ее предела и б.м. функции.
Обратно, если существуют все указанные конечные пределы, причем ао Ф 0, то, согласно теореме 7.3, из последнего предела получаем
Наклонная асимптота графика функции. Общие рекомендации по вычислению пределов. Асимптотические многочлены использование символов.
где a(x) — б.м. функция при х +оо, что отвечает условию (10.34).
Определение 10.9 обобщает понятия наклонной и горизонтальной асимптот, поскольку Pi(x) = аох + ai и Ро(я) = во» ао Ф 0. Отметим, что нахождение каждого слагаемого асимптотического многочлена, по существу, соответствует выделению главной части сначала функции /(х), затем разности
25-644
Если для сложной функции удается найти такой многочлен, то это обычно облегчает анализ ее поведения при х 6 оо, так как построение графика и исследование многочлена проще, чем самой функции.
Пример 10.1в. Пусть /(х) = у/хА + х2 + 1 - х. Проверим, существует ли для /(х) асимптотический полином при х -Ьоо. Ясно, что отличный от нуля конечный lim /(х)/хп
будет при п = 2. Вычислим
Затем найдем
Для раскрытия неопределенности типа оо —оо перенесем иррациональность под знаком последнего предела в знаменатель:
Отсюда ясно, что при . Наконец, вычислим
Снова перенесем иррациональность в знаменатель:
Теперь нетрудно установить, что при . В итоге асимптотическим многочленом для данной функции будет Р2(х) = х2-х + 1/2.
Об использовании символов О и о
В математической литературе символы О и о, называемые по имени немецкого математика Э.Г.Г. Ландау (1877-1938) символами Ландау, используют при сравнении не только б.м. и б.б. функций. Для произвольных функций запись
№х*аОШ) (Ю-35)
о
означает существование такой проколотой окрестности U (а) точки а и такой константы С > 0, что для определенных в
(а) функций f(x) и д(х) справедливо неравенство
В этом случае функцию f(x) называют ограниченной по сравнению с д(х) при х а. В частном случае д(х) = 1
о
Vx € U (а) из (10.36) получим условие ограниченности функции
о
(см. 3.4) f(x) в U(а), которому соответствует обозначение
т=ао( 1).
Отметим, что в (10.36) возможно д(х) = 0 только для тех
о
точек х £ U(а), для которых и f(x) = 0, тогда как f(x) = 0
о
допустимо в любой точке х € U(a). Поэтому из (10.35) не следует обратного соотношения
т.е. в общем случае символ О в смысле (10.35) не обладает свойством симметрии.
о
Если существует такая U.(a), в которой д(х) ф 0, то
о
из (10.35) следует f(x)/g(x)x=aO( 1), т.е. в U»(a) ограничено отношение f(x)/g(x). Аналогично из (10.37) имеем
25*
если существует U*.(а), такая, что /(х)фО
о
Vx е и„(а). Если же имеют место и (10.35), и (10.37), то f(x) и д(х) называют функциями одного порядка при х-¥ а.
Достаточным условием указанных свойств является существование при х а конечного отличного от нуля предела отношения f(x)/g(x) (или g(x)/f(x)). В самом деле, пусть 3 lim f(x)/g(x) = с ф 0. Тогда в силу теоремы 7.3 о связи функ-
х—¥а
ции, ее предела и б.м. функции
0 0 fix)
3Ui(e): Vx€tJi(e) ^ = с + а(х),
где a(x) — функция, б.м. при x a. Из определения 7.10 б.м. функции следует, что а(х) ограничена при х->а, т.е.
. В итоге с учетом (1.4)
т.е. . Кроме того, в и поэтому е. справедливо (10.36) и (10.35). Согласно свойству 3 (см. 7.4) сохранения функцией знака своего предела 3U3(a): Vx € U3(a) f{x)/g(x) ф 0. Тогда Vx € U3(a) $(x)//(x) = l/(c+a(x)) и 3 lim g{x)/f(x) = 1/c ф 0. Отсюда
аналогичным путем можно показать, что g(x)/f{x)x=aO{l) и верно (10.37).
Итак, (10.1) определяет символ О в более узком смысле, чем условие (10.36), но не противоречит ему. Из (10.36) следуют некоторые очевидные свойства этого символа, при записи которых опустим обозначение аргумента х у функций /(х), д(х)у h(x) и р(х), определенных в некоторой окрестности точки а, и не будем сопровождать равенства указанием, что х а:
Характерная особенность этих свойств в том, что символ О может стоять как в правой, так и в левой части равенства. Более того, имеют смысл равенства вида / + 0(у) = Л + 0(р), но читать их принято лишь слева направо, хотя не исключено, что они могут остаться верными и при чтении в обратном направлении.
В случае произвольных функций запись
Д*)ла°(зИ) (10-38)
означает существование для любого € > 0 такой проколотой
окрестности U (а) точки а, что для определенных в U (а) функций f(x) и д(х) справедливо неравенство
причем функцию f(x) называют б.м. по сравнению с д(х)
о
при х-+а. В частном случае, когда ^г(аг) = 1 при х € U(a), из (10.39) получим условие определения 7.10 б.м. функции при х а, которому соответствует обозначение f{x)x=ao( 1).
о
Если существует такая U*(a), в которой д(х) ф 0, то условию (10.39) равносильно существование нулевого предела отношения f(x)/g(x) при х а, т.е. (10.3) определяет символ о также в более узком смысле, чем условие (10.39), но тоже не противоречит ему.
Сохраняя принятые выше упрощения в записи, приведем вытекающие из (10.36) и (10.39) свойства символов О и о:
f = o(g) => f = 0(g):
К этим свойствам относятся те же замечания, что и к свойствам символа О. Отметим, что в математической литера-туре произвольные функции fug, определенные в некоторой
о
проколотой окрестности U(a) точки а и удовлетворяющие условию f - д = о(д) — o(f), называют эквивалентными при х а, вкладывая в это понятие более широкий смысл, нежели это связано с определениями 10.5 и 10.7 эквивалентных при х а соответственно б.м. и б.б. функций.
Вопросы и задами
10.1. Привести примеры б.м. и б.б. функций при
10.2. Пусть ). Доказать, что
10.3. Найти порядок малости относительно х-а при х -У а и выделить главную часть вида А(х - а)к функций:
ПРИ а= Установить порядок малости относительно 1/х при ж->оо и выделить главную часть вида А/хк функций:
10.5. Доказать, что х1/* г_=И)о(а:п) при любом фиксированном п € N. Построить функцию более высокого порядка малости при х +0 по сравнению с ж1/*.
10.6. Привести примеры несравнимых б.м. функций при х —f О, х а и х —оо.
10.7. Привести пример аналитически заданной функции, которая одновременно является б.м. при х 1 и х 2 и б.б. при х 3 и х 4.
10.8. Привести примеры б.б. функций при х а, предел отношения которых при х а равен: 1; 1 + 0; 0; -0; -оо; оо; не существует.
10.9. Установить порядок роста относительно х при х 4оо и выделить главную часть вида Ахк функций:
x3 + sinx; х2 + ЮОх +10000; \/х2-х + у/х\
х2 + х+1 2х5 г—==
10.10. Найти порядок роста относительно 1/(х-а) при х —► а и выделить главную часть вида А/(х - а)* функций:
10.11. Доказать утверждения 10.1 и 10.2.
Найти пределы отношений (shx)/x и (thx)/x при х ->0.
10.13. Найти
v '
10.14. Может ли график функции иметь две разные асимптоты при х +оо ?
10.15. Установить, сверху или снизу приближается график к наклонной асимптоте при х —> +оо и при х —f -оо для функций:
10.16. Найти, при каких n,m€N имеет асимптоту при X +оо функция
10.17. Для функции у/х2 + 4х + 5 - 2 найти асимптоты и построить ее график.
10.18. Для функции у/х6 -1 найти главные части при х —> ±1 и х оо, построить графики функции и найденных главных частей.
10.19. Для функции (х2 - Зх)/(х - 1) найти все асимптоты, главные части при x-fO, x-fl и х -f 3, построить графики функции и найденных главных частей.
10.20. Для функции х2/у/\х2-1\ найти все асимптоты, главные части при х -f ±1 и х 0, построить графики функции и найденных главных частей.
СПИСОК РЕКОМЕНДУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
Учебники и учебные пособия
Бугров Я. С., Никольский С.М. Высшая математика. Дифференциальное и интегральное исчисление: Учеб. для втузов. 2-е изд.,перераб. и доп. М.: Наука, 1984. 432 с.
Заманский М. Введение в современную алгебру и анализ / Пер. с франц. Е.И. Ствчкиной. М.: Наука, 1974. 488 с.
Зорин В. А. Математический анализ: Учеб. для студентов университетов, обучающихся по специальностям „Математика" и „Механика": В 2 т. Т. 1. М.: Наука, 1981. 544 е.; Т. 2. М.: Наука, 1984. 640 с.
Ильин В.А., Садовничий В.А., Сендов Бл.Х. Математический анализ: Начальный курс / Под ред. А.Н. Тихонова. 2-е изд., перераб. М.: Изд-во МГУ, 1985. 662 с.
Ильин В.А., Поэнлк Э.Г. Основы математического анализа: В 2 т. Т. 1. 4-е изд., перераб. и доп. М.: Наука, 1982. 616 с.
Кудрявцев Л.Д. Курс математического анализа: В 3 т. 2-е изд., перераб. и доп. T.l. М.: Высш. шк., 1988. 712 е.; Т.З. М.: Высш. шк., 1989. 352 с.
Математический анализ / И.И. Ллшко, А.К. Болрчук, Я.Г. Гай, А.Ф. Калайда: Учеб. для студентов математических специальностей университетов: В 3 т. Т. 1. Киев: Вища школа, 1983. 496 с.
Наклонная асимптота графика функции. Общие рекомендации по вычислению пределов. Асимптотические многочлены использование символов.
Мышкис А.Д. Лекции по высшей математике. М.: Наука, 1969. 640 с.
Пизо Ш., Заманский М. Курс математики: Алгебра и анализ / Пер. с франц. Е.И. Стечкиной. М.: Наука, 1971. 656 с.
Пискунов Н.С. Дифференциальное и интегральное исчисления: Учеб. пособ. для втузов: В 2 т. Т. 1. М.: Наука, 1985. 432 с.
Уваров В.Б. Математический анализ: Учеб. пособ. для вузов. М.: Высш. шк., 1984. 288 с.
Фихтенгольц Г.М. Курс дифференциального и интегрального исчисления: Учеб. пособ. для вузов: В 3 т. Т. 1. 6-е изд., стереотип. М.: Наука, 1966. 608 с.
26-644
Хавин В. П. Основы математического анализа: Учеб. пособ. для вузов: В 3 т. Т. 1. Л.: Изд-во ЛГУ, 1989. 448 с.
Шварц Л. Анализ / Пер. с франц. под ред. С. Г. Крейна: В 2 т. Т. 1. М.: Мир, 1972. 824 с.
Шерстнёв А.Н. Конспект лекции по математическому анализу. Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1993. 302 с.
Шилов Г.Е. Математический анализ: Функции одного переменного: В 2 т. Т. 1. М.: Наука, 1969. 528 с.
Справочные издания
Александрова Н.В. Математические термины: Справочник. М.: Высш. шк., 1978. 190 с.
Бронштейн И.Н., Семендлев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. 13-е изд., испр. М.: Наука, 1986. 544 с.
Воднее В.Т., Наумович А.Ф., Наумович Н.Ф. Математический словарь высшей школы / Под ред. Ю.С. Богданова. Минск: Вышзйш. шк., 1984. 528 с.
Герасимович A.M., Рысюк Н.А. Математический анализ: Справочное пособие для студентов втузов и инженеров: В 2 т. Т. 1. Минск: Вышзйш. шк., 1989. 288 с.
Дороговцев А.Я. Математический анализ: Справочное пособие дЛя преподавателей математики, инженерно-технических работников и студентов. Киев: В ища шк., 1985. 528 с.
Математический энциклопедический словарь / Гл. ред. Ю.В. Прохоров. М.: Сов. энцикл., 1988. 848 с.
Сиеорский В.П. Математический аппарат инженера. 2-е изд., стереотип. Киев: Техшка, 1977. 768 с.
Фор Р., Кофман А., Дени-Папен М. Современная математика / Пер. с франц. под ред. А.Н. Колмогорова. М.: Мир, 1966. 272 с.
Задачники
Богданов Ю.С., Кастрица О.А. Начала анализа в задачах и упражнениях. Минск: Вышзйш. шк., 1988. 176 с.
Виноградова И.А., Олехник С.Н., Садовничий В.А. Задачи и упражнения по математическому анализу / Под общ. ред. В.А. Садовничего. М.: Изд-во МГУ, 1988. 416 с.
Данко П.Е., Попов А.Г., Кожевникова Т. Я. Высшая математика в упражнениях и задачах: В 2 т. Т. 1. 4-е изд., испр. и доп. М.: Высш. шк., 1986. 304 с.
Демидович Б. П. Сборник задач и упражнении по математическому анализу. 9-е изд., стереотип. М.: Наука, 1977. 528 с.
Дороговцев А.Я. Математический анализ: Сборник задач. Киев: В ища шк., 1987. 408 с.
Задачи и упражнения по математическому анализу для втузов1 / Под ред. Б.П. Демидовича. 7-е изд., стереотип. М.: Наука, 1970. 472 с.
Каплан И.А. Практические занятия по высшей математике. 3-е изд. Харьков: Изд-во ХГУ, 1967. 946 с.
Лефор Г. Алгебра и анализ: Задачи / Пер. с франц. Е.И. Стечкиной. М.: Наука, 1973. 464 с.
Марон И.А. Дифференциальное и интегральное исчисление в примерах и задачах: Функции одной переменной. М.: Наука, 1970. 400 с.
Математический анализ в вопросах и задачах / Под ред. В.Ф. Буту-зова. М.: Высш. шк., 1984. 200 с.
Математический анализ в примерах и задачах: В 2 т. Т. 1. Введение в анализ, производная, интеграл / И.И. Ляшко, А.К, Боярчук, Я.Г. Гай, Г.П. Головач. Киев: Вшца шк., 1974. 680 с.
Михайленко В.М., Антонюк Р.А. Сборник прикладных задач по высшей математике. Киев: Выща шк., 1990. 168 с.
Очам Ю.С. Сборник задач по математическому анализу: Общая теория множеств и функции. М.: Просвещение, 1981. 272 с.
Садовничий В.А., Григорьлн А.А., Конлеин С.В. Задачи студенческих математических олимпиад. М.: Изд-во МГУ, 1987. 311 с.
Садовничий В.А., Подколэин А.С. Задачи студенческих олимпиад по математике. М.: Наука, 1978. 208 с.
Сборник задач по алгебре / Под ред. А.И. Кострикина. М.: Наука, 1987. 352 с.
Сборник задач по математике для втузов: Линейная алгебра и основы математического анализа / Под ред. А.В. Ефимова, Б.П. Демидовича: В 3 т. Т. 1. М.: Наука, 1981. 484 с.
Сборник задач по математическому анализу. Предел. Непрерывность. Дифференцируемость / Под ред. Л.Д. Кудрявцева. М.: Наука, 1984. 592 с.
1 Отражен опыт преподавания высшей математики в МВТУ им. Н.Э. Баумана 26* опулярная комбинаторика. М.: Наука, 1975. 208 с. Гусак Г.М., Гусак Е.А. Функции и пределы. Минск: Вышэйш. шк., 1987. 208 с.
Деменчук В.В. На пороге алгебры. Минск: Вышэйш. шк., 1987. 144 с. Дужин С.В., Чеботаревский Б.Д. От орнаментов до дифференциальных уравнений. Популярное введение в теорию групп преобразований. Минск: Вышэйш. шк., 1988. 256 с.
Клейн Ф. Элементарная математика с точки зрения высшей: В 2 т. Т. 1. Арифметика. Алгебра. Анализ / Пер. с нем. под ред. В.Г. Болтянского. 4-е изд. М.: Наука, 1987. 432 с.
Курант Р., Роббинс Г. Что такое математика. Элементарный очерк идей и методов / Пер. с англ. под ред. B.JI. Гончарова. М.: Просвещение, 1967. 664 с.
Попов Ю.П., Пухначсв Ю.В. Математика в образах. М.: Знание, 1989. 208 с.
Стюарт Я. Концепции современной математики / Пер. с англ. Н.И. Плужников ой и Г.М. Цукерман. Минск: Вышэйш. шк., 1980. 382 с.
Тарасов JI.B. Математический анализ: Беседы об основных понятиях. М.: Просвещение, 1979. 144 с.
Книги по истории развития математики
Вейль Г. Математическое мышление / Пер. с англ. и нем. под ред. Б.В. Бирюкова и А.Н. Паршина. М.: Наука, 1989. 400 с.
Даан-Далъмедико А., Пейффер Ж. Пути и лабиринты: Очерки по истории математики / Пер. с франц. под ред. И.Г. Башмаковой. М.: Мир, 1986. 432 с.
Клайн М. Математика. Поиск истины / Пер. с англ. под ред. Ю.В. Сачкова и В.И. Аршинова. М.: Мир, 1988. 296 с.
Клайн М. Математика. Утрата определенности / Пер. с англ. под ред. И. М. Яглома. М.: Мир, 1984. 447 с.
Рыбников К.А. Возникновение и развитие математической науки. М.: Просвещение, 1987. 160 с.
Строй к Д.Я. Краткий очерк истории математики / Пер. с нем. И.Б. Погребысского. 3-е изд. М.: Наука, 1978. 336 с.
Фрейман JI.C. Творцы высшей математики. М.: Наука, 1968. 216 с.
